高二数学排列第三课时

高二数学排列(第三课时)一 教学目标教学知识点： 排列、排列数公式、相邻问题二不相邻问题、捆绑法、插空法 .能力训练要求1. 进一步熟悉排列数公式及全排列数公式的应用；2. 明确相邻问题与不相邻问题的特征；3. 掌握捆绑法与插空法的简单应用 ；4. 注重逆向 : 思维与转化思想的应用； 5. 提高分析、解决问题的能力 .渗透目标： 要求学生能够运用联系的观点看问题 , 抓住事物之间的本质联系 , 从而掌握根本的解题方法 .二 教学重点：相邻问题与不相邻问题 .三 教学万法：启发引导式 启发学生在分析问题时抓住相邻与不相 邻的本质,与解决相邻问题的捆绑法、解决不相邻问题的插空法产生联系 .引导学生在正面考虑问题产生困难时尝试考虑问题的反面 , 即运用逆向思维解题 , 并且注重转化思想的应用 , 积累总结常见的转 化途径 .四 数学过程I. 复习回顾 师 上一节 , 我们一起探讨了排列知识在实际中的应用 , 初步明确了相邻问题及不相邻问题的本质特征 , 现在 , 请一位同学简单谈一下自己的认识 . 生 对于相邻问题 , 我们通常用捆绑法解决 , 而对于不相邻问题 , 我们通常用插空法解决 师 好 , 这位罔学回答得非常简明正确 . 这一节乎我们将继续熟悉捆绑法与插空法的应用 , 并进一步了解逆向思考方法与转化思想的应用 . 讲授新课 例1 用 1，2，3，4，5，6 这六个数字可组成多少个无重复数字且不能被 5 整除的五位数 ?分析 : 我们不可能将这所有符合要求的数字一一列出 , 但可由不同角度出发 , 利用不同方法 , 得到结果后进行对照 .解法一 : （位置分析法）组成符合条件的五位数可分两步完成：第一步，确定个位数字 , 有_5种方法；第二步，确定其他各位数字， 共有_种方法,由分步计数原理可得_5*=600 个解法二 : （元素分析法）将符合条件的五位数分为两类:第一类 : 不含 5 的五位数共有_个；第二类：含有数字 5 的五位数有_4*个；由分类计数原理 ,所求五位数共有有_+4*个； 600( 个 ).解法三: （间接法）由指定 6 个数字组成元重复数字的五位数共有有_个, 其中能被5整除的有有_个,故所求五位数共有_-个；3600 .评述 :解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法 若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件 若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素 间接法有的也称做排除法或排异法，运用了逆向思考方法 , 即考虑问题的反面 , 此类解法适用正面情形较多或正面求解困难的题目，实际上 也体现了由 正向 到 逆向 的转化。有时用这种方法解决问题来得简单、明快。 倒 2 八个人排成一排，其中甲、乙、丙 3 人中 , 有两人相邻，但这三人不同时相邻的排列法有多少种 ?分析 : 考虑此题可尝试两种思路 . 思路一 : 抓住此题中相邻与不相邻的本质 , 综合运用 捆绑法 与 插空法 解决 .思路二 : 采用逆向思考方法，虑问题的反面 , 即间接求解目。解法一 : 先将除甲、乙、丙外5人排列有_种排法 , 再从甲乙、丙 3 人中选 2人排列后捆绑 , 与剩余 1 人在 5 人形成的 6 个空中排列有_*种排法。由分步计数原理共有不同排列为_*=21600解法二 : 甲、乙、丙 3 人中有两人相邻但这三人不同时相邻的反面有两种情形：甲、乙、丙三人互不相邻，甲、乙、丙三人不分开 .而甲、乙、丙三人互不相邻可用 插空法 , 有_*种排法 .甲、乙、丙三人不分开可用 捆绑法 将甲、乙、丙三人捆绑后与其余 5 人全排列 ,再对甲、乙、丙三人全排列有_*种排法 . 最后从八人的全排列中减去上述两种情形的排列数 , 即可得不同排列法有_-*-*=21600评述 : 上面两解法都牵涉到了 捆绑法 与 插空法 的应用 ,捆绑法、插入法对于有的问题的确是适用的好方法，要求同学们认真搞清在什么条件下使用并能加以体会并熟练掌握。. 课堂练习1. 7 名班委中有 A 、 B 、 C, 有 7 种不同的职务 , 现对 7 名班委进行职务具体分工 .(1) 若正副班长两职只能由这三人中选两人担任 , 有多少种分工方案 ? (2)若正副班长两职至少要选这三人中的 1 人担任 , 有多少种分工方案?2. 一条铁路原有 n 个车站 , 为适应客运需要 , 新增加了m个车站 (m1),客运车票增加了62种, 问原有多少个车站 ? 现有多少 个车站 ?3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？4 三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？5 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法6 七位同学排成一列 , 其中有四名男生 , 三名女生 .若甲、乙两位同学必须排在两端； 若甲、乙都不得排在两端 ；若男生必须相邻； 若三名女生互不相邻； 若四名男生互不相邻 ； 若甲、乙两名女生相邻且不与第三名女生相邻 ； 若甲在乙的右方； 若甲不在左端，乙不在右端； 如果两端都不能排女生； 如果两端不能都排女生； 排成两排，前排4人，后排3人； 四名男生身高不同，按照从高到低一种顺序站； 女生不能站两端，某男生不站中间； 上述情形 , 各有多少种排法 ?IV. 课时小结 师 通过本节学习 , 要求大家逐渐掌握处理相邻问题与不相邻问题的常用方法 , 即捆绑善与插空法的应用并了解逆向思考方 法与转化思想的应用 .V. 课后作业(一) 课本 P96 8 、10； 苏大本节内容。(二) 1. 预习课本 P96-P94； 2. 预习提纲(1)组合概念的关键是什么 ? (2)组合与排列有何区别与联系 ? (3)组合数公式的推导与排列数公式有何联系 ?1. 7 名班委中有 A 、 B 、 C, 有 7 种不同的职务 , 现对 7 名班委进行职务具体分工 .(1) 若正副班长两职只能由这三人中选两人担任 , 有多少种分工方案 ? (2)若正副班长两职至少要选这三人中的 1 人担任 , 有多少种分工方案?分析 : 第 (1) 小题分两步进行 , 优先安排受限制的正副班长 , 然后再排其余班委职务 , 问题 (2)可采用逆向思考亦法间接求解 . 解： (1) 先安排正副班长有有_种方法, 再去排其余职务有_种方法, 依分步计数原理 , 共有_*=720种不同的分工方案 .(2) 7 人的任意分工方案有_种,A 、B、C 三人中无一人任正副班长的分工方案有_*种, 因此 A 、 B 、 C 三人中至少有 1 人任正副班长的方案有_-*= 3600 种 .或用直接法_*+3*2*4*= 3600 种。2. 一条铁路原有 n 个车站 , 为适应客运需要 , 新增加了m个车站 (m1),客运车票增加了62种, 问原有多少个车站 ? 现有多少 个车站 ?解 : 设原有 n 个车站 ,原有客运车票_种，又现有 (n+m) 个车站 , 现有客运车票_种，-=62. (n+m)( n+m-l) 一n(n-1) = 62, 即 2mn 十 m2-m=62.整理得 m(2n+m-l) = 312.可得方程组 或 解方程组得: m=2,n=15. 所以原有 15 个车站,现有 17 个车站.3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有_ 种，歌唱节目之间以及两端共有_6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有_ 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：_*43200.（2）先排舞蹈节目有_ 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有_5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：_*2880种方法。说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（2）中，若先排歌唱节目有 ，再排舞蹈节目有 ，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。4 三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 种不同排法对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 对种不同的排法，因此共有 种不同的排法（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 种方法，因此共有 种不同的排法（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，所以共有 种不同的排法解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法，（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 种不同的排法；如果首位排女生，有 种排法，这时末位就只能排男生，有 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有 种不同的排法，这样可有 种不同排法因此共有 种不同的排法解法2：3个女生和5个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生排法 种，就能得到两端不都是女生的排法种数因此共有 种不同的排法5 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法分析与解法1： 6六门课总的排法是 ，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有 种排法，如图中；数学排在最后一节有 种排法，如图中；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： （种）分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况：（1）体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有 种；（2）数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法 种；（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法 种；（4）数学排在第一节，体育排在最后一节，有排法 四类排法并列，不重复也不遗漏，故总的排法有： （种）分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况：（1）体育，数学既不在最后也不在开头一节，有 种排法；（2）数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法；（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法；（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法上述 21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种 ，故总排法数为 （种）下面再提出一个问题，请予解答问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法说明：解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法 6 七位同学排成一列 , 其中有四名男生 , 三名女生 .若甲、乙两位同学必须排在两端； 若甲、乙都不得排在两端 ；若男生必须相邻； 若三名女生互不相邻； 若四名男生互不相邻 ； 若甲、乙两名女生相邻且不与第三名女生相邻 ； 若甲在乙的右方； 若甲不在左端，乙不在右端； 如果两端都不能排女生； 如果两端不能都排女生； 排成两排，前排4人，后排3人； 四名男生身高不同，按照从高到低一种顺序站； 女生不能站两端，某男生不站中间； 上述情形 , 各有多少种排法 ?分析 : 若有特殊要求元素 , 则根据情况考虑先排或后排，如、考虑先排 , 、考虑后排 .相邻问题常用捆绑法 , 不相邻问题常用插空法 .解 : 先将甲、乙排在两端 , 再排其余 5 人 , 共有 =240 种 ； 先将甲、乙排在中间 5 个位置中的两个位置上 , 再排其余 5 人 , 共有=2400 种 ；（捆绑法）因为四个男生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体( 捆绑 在一起)，这样同三名女生合一起共有4个元素，然成一排，有 种不同排法；对于其中的每一种排法，四个男生之间又都有种不同的排法(排列四名男生间的相互顺序)，因此共有 =576 种不同的排法 （插空法）要保证女生全分开，可先把4个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有3个空档，加上两边两个男生外侧的2个位置，共有5个位置，再把3个女生插入这5个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻。由于4个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法，因此共有 =1440 种不同的排法先排三名女生 , 再将四名男生排在4 个空位上 , 共有=144 种；先排四名男生 , 再将甲乙捆绑后看作 1 人与第三名女生排在 5 个空位上 , 最后排甲乙两人 , 共有 =960 种 .若甲在乙的右方，七个位置中任选五个排其它各人，问题就已解决，因为留下两个位置甲、乙的排法是既定的；共有 （种）；或者/2.若甲不在左端，女生乙不在右端,采用排除法，在七个人的全排列中，去掉甲在左端的 个，再去掉乙在右端的 个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的 种排除了两次，要找回来一次共有 （种）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选4个男生中的2个，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余5位都