高二数学椭圆双曲线知识精讲人教实验B

高二数学椭圆 双曲线知识精讲一. 本周教学内容： 2.2 椭圆；2.3 双曲线 教学目的： 1. 了解圆锥曲线的实际背景，掌握椭圆和双曲线的定义、标准方程、几何图形及其简单性质； 2. 掌握求椭圆和双曲线标准方程的求法，会分析椭圆和双曲线的简单性质。二. 重点、难点： 重点：椭圆和双曲线的定义、标准方程、几何图形及其简单性质； 难点：椭圆与双曲线的标准方程的建立和推导及其几何性质的实际应用。 知识分析（一）椭圆 1. 椭圆的定义：在平面内，与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于| F1F2|）的点（记为M）的轨迹（或集合）叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。用符号表示为（常数） 说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于|F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于|F1F2|时，我们得到的是线段F1F2；当这个“常数”小于|F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A1，A2，B1，B2，于是我们易得|A1A2|的值就是那个“常数”，且|B2F2|、|B2F1|、|B1F2|、|B1F1|也等于那个“常数”。 这样，在RtOB2F2中，|OF2|=c，|B2F2|=a，于是|OB2|2=a2c2。从而|OB2|也有一定的意义了。 2. 椭圆的标准方程 （1）椭圆的标准方程的推导 椭圆的标准方程的推导采用的是求曲线方程的一般步骤，在这个过程要注意： 曲线的方程依赖于坐标系，曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标不同，曲线的方程也不同，所以为了使方程简单，必须注意坐标系的选择。求椭圆的方程时，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方。同学们通过观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，可以发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁。 在求方程时，设椭圆的焦距为2c（c0），椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为2a（a0），这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便导出的椭圆的方程形式简单。 对带根式的方程的化简是同学们感到困难的，特别是由点M适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数，即的化简整理需要多加注意。一方面，教材采用的是分子有理化加一次开方的处理方法，这时应注意x=0时的特殊情形；（详细解法见教材P4243）另一方面，我们也可以采用移项加两次平方的方法，这种方法不需要讨论，但运算较麻烦。过程如下： 以下同教材处理方式。 这里令是为了使方程的形式整齐而便于记忆，同时b还有特定的几何意义。 在学习曲线和方程的概念时，我们知道，求得椭圆的方程以后，一般应证明所求得的方程确是椭圆的方程，就是说，要证明坐标适合方程的点在椭圆上。由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材不要求也没有给出证明，对同学们也不做要求。 （2）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 相同点是：形状相同、大小相同；都有ab0，。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（c，0）和（c，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，c）和（0，c）。椭圆的焦点在x轴上标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中y2项的分母较大。 （3）另外，形如中，只要A，B，C同号，就是椭圆方程，它可以化为。 例如，方程就是椭圆方程，它可以化为标准方程，这时。 3. 椭圆的几何性质 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率。对于第一类性质，只要的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出的有关性质。 总结如下：方程图形范围对称性关于x轴，y轴，坐标原点对称关于x轴，y轴，坐标原点对称顶点A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）A1（0，-a），A2（0，a）B1（-b，0），B2（b，0）离心率 特别的，对于离心率e，因为ac0，所以0e0作为方程的参数，再根据题设中的最值条件求出b的值。 例4. 2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点。近地点A距地面200km，远地点B距地面350km。已知地球半径R=6371km（如图所示） （1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程； （2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6105km，问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s？（结果精确到1km/s）（注：km/s即千米/秒） 解：（1）设椭圆的方程为。由题设条件得 解得a=6646，c=75 所以 所求椭圆的方程为 （注：由得椭圆的方程为，也是正确的） （2）从15日9时到16日6时共21个小时，即213600s。 减去开始的9分50秒，即960+50=590（s），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60=650（s），得飞船巡天飞行的时间是213600650=74950（s） 平均速度是 所以飞船巡天飞行的平均速度是8km/s。 点评：本题的近地点即为a-c，远地点即为a+c，从而确定椭圆的标准方程。 例5. 设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值。 解法一：由已知|PF1|+|PF2|=6， 根据直角的不同位置，分两种情况 若PF2F1为直角，则 即，得 故 若F1PF2为直角，则 即 得 故 解法二：由椭圆的对称性不妨设P（x，y）（x0，y0），则由已知可得F1（，0），F2（，0） 根据直角的不同位置，分两种情况 若PF2F1为直角，则P（，） 于是 若F1PF2为直角，则 解得，即P（） 于是|PF1|=4，|PF2|=2 故 点评：由于题中仅已知PF1F2为一个直角三角形，直角顶点未明确，所以应分类讨论。同时，由于P为椭圆上一点，利用|PF1|+|PF2|=6来求解。（二）双曲线 1. 双曲线的定义：在平面内，与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|且不等于零）的点（记为M）的轨迹（或集合）叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。用符号表示为（常数） 说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形； （2）作为到这两个定点的距离的差的绝对值的“常数”，必须满足小于| F1F2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于|F1F2|时，我们得到的是两条射线；而当这个“常数”大于|F1F2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （3）注意定义中的关键词“绝对值”。事实上若去掉定义中“绝对值”三个字，动点轨迹只能是双曲线的一支。而完整的双曲线是两支。 （4）下面我们对双曲线进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的一条对称轴与双曲线的交点记为A1，A2，于是我们易得| A1A2|的值就是那个“常数”。 2. 双曲线的标准方程 （1）双曲线的标准方程的推导 双曲线的标准方程的推导采用的还是求曲线方程的一般步骤，在这个过程要注意： 双曲线的方程的推导可以参考椭圆的标准方程的推导过程；与建立椭圆的标准方程一样，建立双曲线的标准方程，是从“平面内到两定点的距离差的绝对值是常数（与椭圆不同，这个常数要大于0且小于|F1F2|）的点 M 的轨迹”这个双曲线的定义出发，推导出它的标准方程。推导过程说明，双曲线上任意一点的坐标都适合方程；但关于坐标适合方程的点都在双曲线上，同椭圆一样，教材中未加证明。 同椭圆一样，我们教材中对的化简整理采用的是分子有理化加一次开方的处理方法，这时就不需要注意x = 0 时的特殊情形了（为什么？）；（详细解法见教材P5253）另一方面，我们同样可以采用移项加两次平方的方法，过程略。 根据双曲线定义求双曲线的标准方程，思想方法与推导过程和椭圆完全类似。但应注意椭圆标准方程的推导中，是令；而在双曲线标准方程的推导过程中，是令。a，b，c之间的关系与椭圆中不同，不要搞混。引入不仅是化简的需要，而且还有实际的几何背景，2b就是虚轴的长。 （2）中心在原点、焦点分别在x轴上，y 轴上的双曲线标准方程分别为： 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a 0，b 0，。（a，b大小不确定） 不同点是：两种双曲线相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个双曲线的焦点坐标为（c，0）和（c，0）， 第二个双曲线的焦点坐标为（0，c）和（0，c）。双曲线的焦点在x轴上标准方程中x2项的系数为正数，y2项的系数为负数；双曲线的焦点在 y 轴上标准方程中y2项的系数为正数，x2项的系数为负数。 （3）另外，形如中，只要A，B异号，C0就是双曲线方程，它可以化为。 例如，方程就是双曲线方程，它可以化为标准方程，这时。 （4）在学习过程中，同学们可抓住双曲线与椭圆标准方程的异同，列表进行对比，掌握椭圆、双曲线的标准方程以及它们之间的区别和联系： 3. 双曲线的几何性质 （1）双曲线的范围 由双曲线的标准方程，可得。当时，才有实数值；对于y的任何值，x都有实数值。要讲清在直线x =a，x=a之间没有图象，当x的绝对值无限增大时，y的绝对值也无限增大，所以曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭曲线。 （2）双曲线的对称性 双曲线的对称性与椭圆完全相同，也是既关于x轴对称，也关于y轴对称，还关于原点呈中心对称。 （3）双曲线的顶点 双曲线有两个顶点（a，0），（a，0）。当x=0时，方程y 2 = b 2无实数根，所以它与y轴无交点，2b是双曲线的虚轴的长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这与椭圆不同。 （4）双曲线的渐近线 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形。椭圆是封闭曲线，没有渐近线，而双曲线有两条渐近线，做出双曲线的渐近线就完全地掌握双曲线的变化趋势。学习双曲线的渐近线时，应注意以下问题： 要明确双曲线的渐近线是哪两条直线。过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线，画双曲线时，应先画出它的渐近线。 要理解“渐近”两字的含义。当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0。 要掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的求法。最简单且实用的方法是：把标准方程中的“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线的渐近线方程为即；双曲线的渐近线方程为即； 要掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法。简单且实用的方法是：如果两条渐近线的方程为AxBy=0，那么双曲线的方程为(AxBy)(AxBy)=m，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定。 （5）双曲线的离心率 与椭圆一样，我们把比值叫做双曲线的离心率，椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据。由于，当e的值从接近于1逐渐增大时，的值就从接近于0逐渐增大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，就是说双曲线的“张口”逐渐增大。 （6）椭圆与双曲线的标准方程和图形、性质对比表如下：【典型例题】 例1. 已知圆C1：和圆C2：。动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。 解析：圆C1的圆心C1（-3，0），半径r=1 圆C2的圆心C2（3，0），半径R=3 设动圆M的圆心M（x，y），动圆半径为R 由于OC1与OC2均外切，|MC1|=1+R，|MC2|=3+R 两式相减：|MC2|MC1|=2 点M的轨迹是以C1、C2为焦点，中心在原点，实轴长为2的双曲线的一支，又a=1，c=3 b2=c2a2=8 动点M的轨迹方程为： 点评：解决本题的关键是寻找点 M 所满足的条件，对于圆与圆的相切问题，自然应考虑圆心距与半径的关系，且注意同圆的半径相等这一条件。 例2. F1和F2为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF2=90，求F1PF2的面积。 解析：解法一： 而 则 解法二：由双曲线方程知，a2=4，b2=1，c2=5 设P点坐标为（x0，y0），则可得方程组 解得： 点评：由双曲线的定义及直角三角形知识即可求得。 例3. 双曲线的中心在原点，实轴在x轴上，且与圆x2+y2=5交于点P（2，-1），如果圆在点P的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴一个端点的连线，求双曲线的方程。 解析：双曲线的中心在原点，实轴在x轴上 双曲线的方程为 点P（2，-1）在双曲线上 圆x2+y2=5在P点的切线平行于双曲线左顶点（-a，0）与虚轴上端点（0，b）的连线，而圆的切线斜率k切与kOP的乘积为-1 即 解得， 双曲线方程为： 点评：正确利用直线的斜率公式及圆的切线的几何性质，双曲线的几何性质是求解本题的关键。【模拟试题】一. 选择题 1. 椭圆的两焦点的坐标为（ ） A. B. （5，0） C. （0，）D. （0，5） 2. 椭圆的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. （0，+）B. （0，2）C. （1，+）D. （0，1） 4. 椭圆与椭圆有（ ） A. 相同的焦点B. 相同的顶点 C. 相同的离心率D. 相同的长、短轴 5. 已知椭圆的离心率为，则k的值为（ ） A. 4B. C. 4或D. 6. 焦点分别是（0，-2），（0，2），且经过点P（-3，2）的双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. “ABac，b、a、c成等差数列时，顶点A的轨迹方程。 18. 若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，求该椭圆的离心率。 19. 如图，F为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点