高二数学棱柱人教知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学高二数学棱柱棱柱人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 棱柱 二. 教学重难点： 1. 棱柱的概念 2. 棱柱的分类 3. 棱柱的性质 4. 特殊四棱柱的关系 【典型例题典型例题】 例 1 一个斜三棱柱的底面是边长为 4 的正三角形，侧棱长为 5，若侧棱 111 CBAABC 和底面三角形的相邻两边都成角，求这个三棱柱的体积。 1 AA45 解：解：过点作面 ABC 于 O，则 O 落在内，再过 O 点分别作 OEAB 1 AOA1ABC 于 E，OFAC 于 F，连结，则EA1FA1AEEA 1 为直角三角形 ，EAA145 1AE A5 1 AA ，同理 2 25 1 EAAE 2 25 1 FA OE=OF FAEA 11 AO 是的平分线，由是正三角形知BACABC30EAO 在中， AOERt 3 25 AO 3 5 1 OA 斜三棱柱的体积是 111 CBAABC 20 3 5 2 3 4 2 1 2 三棱柱 V 用心 爱心 专心 例 2 正三棱柱的底面边长为，在侧棱上截取，在侧棱 111 CBAABC a 1 BB 2 a BD 上截取，过 A、D、E 作棱柱的截面。 1 CCaCE （1）求证：截面侧面；ADE 11A ACC （2）求截面面积。 （1）证明：证明：延长 ED、CB 交于 F，连结 AF ECDB/ 2 1 FC FB EC DB ABBCFB ，即 又90FACACFA AAFA 1 侧面 由 FA截面 ADE 截面 ADE侧面FACCAA 11 11A ACC （2）解：解：在中，FACRtaAC aFC2 又 D 为斜边 EF 的中点aAF3FAERt 2 4 6 23 4 1 2 1 2 1 2 1 aaaAEFASS AFEADE 例 3 在长方体中， 1111 DCBAABCD （1）设对角线 D1B 与自出发的三条棱分别成、角，求证： 1 D 22 coscos ；1cos2 （2）设与经过的三个表面成、角，求证：BD1 1 D 2coscoscos 222 用心 爱心 专心 证明：证明： （1）如图，连结，不妨设，长方体的三条棱长分别为 1 BC 11C BDcba, 设，则 同理lBD 1 2 2 2 cos l a 2 2 2 2 2 2 cos,cos l c l b 1coscoscos 2 2 2 222 222 l l l cba （2）连结 平面CD1BC 11D DCC 就是与平面所成的角，不妨设，则CBD1BD1 11D DCCCBD1 2 22 2 cos l ba 同理， 2 22 2 cos l cb 2 22 2 cos l ac 2 2)(2 coscoscos 2 2 2 222 222 l l l cba 例 4 在底面边长为，侧棱长为的正四棱柱中，求：aa2 1111 DCBAABCD （1）点 B 到平面的距离；CAB1 （2）以为棱，和为面所成二面角的正切值。CB1CAB1CBB1 解：解： （1）如图，设点 E 为 AC 的中点，作于 OEBBO 1 平面 ABCD 1 ,BBBEAC 用心 爱心 专心 AC平面，又面 EBB1BOEBB1EACEBBOAC 1 , 平面 BO 为 B 到平面 AB1C 的距离BOCAB1 在中，BEBRt 1 aBE 2 2 aBB2 1 2 3 4 2 1 22 1 a aaEB 由面积关系得 3 2 1 1 a EB BBBE BO （2）由平面BOCBAFCAB 11 , 是二面角的平面角CBBF 1 BFABCBA 1 在中，CBBRt 1 BCBBCBBF 11 aBF 5 2 2 5 :tanBFABBFA 例 5 已知在斜三棱柱中，平面与平面所成的二面角为 111 CBAABC ABAB 11 CACA 11 ，与、的距离分别为，侧面的面积为，120 1 AA 1 BB 1 CCcmcm 24,16CBCB 11 2 19160cm 求此三棱柱的侧棱长。 解：解：如图所示，在边上取一点 E，过点 E 在平面中作，交 1 AABBAA 111 AAGE 于点 G，过点 E 在平面中作，交于点 F，则为已知二 1 BBCCAA 111 AAEF 1 CCGEF 面角的平面角，所以，连结。因为，所以平面120GEFGFEEFGE 1 AA 。由棱柱的性质知，所以，。因而GEF 111 /CCBBAAGFCC 1 GFBB 1 为侧面的高。GFCBCB 11 用心 爱心 专心 由题意知，而cmGE16cmEF24120GEF 所以在中，GEF120cos2 22 EFGEEFCEGF )(198) 2 1 (241622416 22 cm 又，即 11BCC B S19160 1 BBGF19160198 1 BB 所以，所以三棱柱的侧棱长为。cmBB20 1 cm20 例 6 平行六面体的底面是矩形，侧棱长为，点在底面 ABCD 1111 DCBAABCD cm2 1 C 内的射影 H 是 CD 的中点，与底面 ABCD 成角，二面角的平面角CC160 11 DCCA 等于，求该平行六面体的表面积与体积。30 解：解：如图所示，底面 ABCD，交 CD 于 H，BCCD，则 BCC1C，两侧面HC1 与是矩形，易知是与底面所成角，则CCBB 11 DDAA 111 HCCCC1ABCD ，60 1 HCCHC1CC1CCCH 1 , 360sin22, 160cosCHCD 作于 E，连结 AE，易知 AD侧面，则，等CCDE 1 DDCC 11 CCAE 1 AED 于二面角的平面角，且 11 DCCA30AED)60sin(30tanCDDEAD ，于是平行六面体的侧面积为：130tan 1111 DCBAABCD )60sin(2 11 CCCDCCBCS侧 )(31 (4) 2 3 2221 (2 2 cm )(32(4)31 (4221 2 cmS 表 体积为)(32321)( 3 1 cmHCCDBCV 用心 爱心 专心 例 7 在各棱长均为 1 的正三棱柱中， 111 CBAABC （1）求与侧面所成角的正切值； 1 BC 11A ABB （2）如果 M 为的中点，求截面与底面所成角的大小。 1 CCMAB1 解：解： （1）如图，取的中点 D，连结 BD、DC1 11B A 由为正三棱柱 1111 CBCA 111 BADC 111 CBAABC 侧面DCBB 11 DC1BBAA 11 为和侧面所成的角， 1 DBC 1 BC 11A ABB 2 5 , 2 3 1 DBDC 5 15 :tan 11 DBDCDBC （2）如图， 是在底面上的射影 ，取ABCMAB1 ABC Scos MAB S 1 : AB1的中点 N，连结 DN ，而 又 M 为 CC1的中点AADN 1 2 1 / AA1 / 1 CC 1 2 1 /CCDN 又 面MCDN 1 / MNDC / 1 DC1 1 AB 平面且 MN 1 AB 2 3 MN2 2 1 2 1 1 1 MNABS MAB ，而 4 6 2 3 4 3 ABC S 2 2 4 6 : 4 3 cos 45 用心 爱心 专心 【模拟试题模拟试题】（答题时间：45 分钟） 一. 填空题： 1. 一个棱柱为正四棱柱的条件是（ ） A. 底面是正方形，有两个侧面是矩形 B. 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C. 每个侧面都是全等的矩形的四棱柱 D. 底面是正方形，相邻两个侧面是矩形 2. 下面的选项中，正确的是（ ） A. 侧棱不垂直于底面的棱柱不是正棱柱 B. 斜棱柱的侧棱有时垂直于底面 C. 底面是正多边形的棱柱为正棱柱 D. 正棱柱的高可以与侧棱不相等 3. 正方体的一条对角线与任一个面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 3 3 3 6 2 2 3 1 4. 设长方体的全面积是 22，所有棱长之和为 24，则长方体的对角线长为（ ） A. 6 B. C. D. 2221114 5. 正方体两条对角线所成的锐角的斜弦值为（ ） A. 0 B. C. D. 3 1 6 1 3 2 6. 长方体中，点 E、F、G 分别是、 1111 DCBAABCD 2 1 ABAA1AD 1 DD AB、CC1的中点，则异面直线 A1E 与 GF 所成的角是（ ） A. B. 5 15 arccos 4 C. D. 5 10 arccos 2 用心 爱心 专心 7. 直平行六面体的底面为菱形，其底面面积为，两个对角面面积是和， 2 4cm 2 5cm 2 6cm 那么它的体积是（ ） A. B. C. D. 3 302cm 3 30cm 3 152cm 3 154cm 8. 已知三棱柱的体积是 V，E、E1分别是、的中点，F、F1分 111 CBAABC AB 11B A 别是 AC、A1C1的中点，则三棱柱的体积是（ ） 111 FEAAEF A. B. C. D. 无法计算 2 V 4 V 3 V 二. 解答题 1. 如图，正三棱柱的底面边长为 8，面对角线，D 为 AC 的中 111 CBAABC 10 1 BC 点。 （1）求证：平面；/ 1 ABBDC1 （2）求异面直线与所成角的大小。 1 AB 1 BC 2. 四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为， 1111 DCBAABCD a)20(bab 上底一个顶点与下底面四个顶点等距离。 1 A （1）求证：两个对角面一个是矩形，一个垂直于底面，且两个对角面互相垂直； （2）求两对角面的面积。 用心 爱心 专心 用心 爱心 专心 【试题答案试题答案】 一. 1. D 2. A 3. A 4. D 5. B 6. D 7. C 8. B 二. 1.（1）证明：连结 B1C，设，则为的中位线OBCCB 11 DO 1 CAB 平面DOAB / 1 / 1 ABBDC1 （2）解： 为与所成的角或其补角ABOD 1 /DOB 1 AB 1 BC 在中， DOB5 2 1 2 1 11 BCABDO348 2 3 , 5DBBO 25 1 552 482525 2 cos 222 OBDO BDOBDO DOB 即与所成角的大小为 25 1 arccosDOB 1 AB 1 BC 25 1 arccos 2.（1）证明：如图，作 A1O底面 ABCD，O 为垂足 到 A、B、C、D 等距离 1 A O 为正方形 ABCD 的中心，于是对角面底面