丁玉美_数字信号处理_第4章_快速傅里叶变换.ppt

第4章快速傅里叶变换(FFT),4.1引言4.2基2FFT算法4.3进一步减少运算量的措施4.4分裂基FFT算法4.5离散哈特莱变换(DHT),4.1引言,DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。因直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。,4.2基2FFT算法,4.2.1直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径长度为N的有限长序列x(n)的DFT为考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按(4.2.1)式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复数加法。,(4.2.1),如前所述，N点DFT的复乘次数等于N2。显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子WmN具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为,(4.2.2),其对称性表现为,或者,4.2.2时域抽取法基2FFT基本原理FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(DecimationInTimeFFT,简称DIT-FFT)和频域抽取法FFT(DecimationInFrequencyFFT,简称DIFFFT)。下面先介绍DIFFFT算法。设序列x(n)的长度为N，且满足,为自然数,按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列,则x(n)的DFT为,由于,所以,其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即,(4.2.5),(4.2.6),由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且，所以X(k)又可表示为,(4.2.7),(4.2.8),图4.2.1蝶形运算符号,图4.2.2N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8),与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长的子序列x3(l)和x4(l)，即,那么，X1(k)又可表示为,(4.2.9),式中,同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和WmN/2的对称性Wk+N/4N/2=-WkN/2最后得到：,(4.2.10),用同样的方法可计算出,(4.2.11),其中,图4.2.3N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8),图4.2.4N点DITFFT运算流图(N=8),4.2.3DITFFT算法与直接计算DFT运算量的比较每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘次数为,复数加次数为,例如，N=210=1024时,图4.2.5FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线,4.2.4DITFFT的运算规律及编程思想1.原位计算由图4.2.4可以看出，DITFFT的运算过程很有规律。N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。2.旋转因子的变化规律如上所述，N点DITFFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子WpN，称其为旋转因子，p称为旋转因子的指数。,观察图4.2.4不难发现，第L级共有2L-1个不同的旋转因子。N=23=8时的各级旋转因子表示如下：L=1时，WpN=WJN/4=WJ2L，J=0L=2时，WpN=WJN/2=WJ2L，J=0，1L=3时，WpN=WJN=WJ2L，J=0，1，2，3对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为,(4.2.12),(4.2.13),3.蝶形运算规律设序列x(n)经时域抽选(倒序)后，存入数组X中。如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式：X(J)XL-1(J)+XL-1(J+B)WpNXL(J+B)XL-1(J)-XL-1(J+B)WpN式中p=J2M-L；J=0,1,，2L-1-1；L=1,2,，M,下标L表示第L级运算，XL(J)则表示第L级运算后数组元素X(J)的值。如果要用实数运算完成上述蝶形运算，可按下面的算法进行。设T=XL-1(J+B)WpN=TR+jTIXL-1(J)=XR(J)+jXI(J)式中下标R表示取实部，I表示取虚部，,则,4.编程思想及程序框图,图4.2.6DITFFT运算和程序框图,5.序列的倒序DITFFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，但仔细分析就会发现这种倒序是很有规律的。由于N=2M，所以顺序数可用M位二进制数(nM-1nM-2n1n0)表示。,图4.2.7形成倒序的树状图(N=23),表4.2.1顺序和倒序二进制数对照表,图4.2.8倒序规律,图4.2.9倒序程序框图,4.2.5频域抽取法FFT(DIFFFT)在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法，简称DIFFFT。设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：,偶数,奇数,将X(k)分解成偶数组与奇数组，当k取偶数(k=2r,r=0,1,N/2-1)时,(4.2.14),当k取奇数(k=2r+1,r=0,1,N/2-1)时,(4.2.15),将x1(n)和x2(n)分别代入(4.2.14)和(4.2.15)式，可得,(4.2.16),图4.2.10DIFFFT蝶形运算流图符号,图4.2.11DIFFFT一次分解运算流图(N=8),图4.2.12DIFFFT二次分解运算流图(N=8),图4.2.13DIFFFT运算流图(N=8),图4.2.14DITFFT的一种变形运算流图,图4.2.15DITFFT的一种变形运算流图,4.2.6IDFT的高效算法上述FFT算法流图也可以用于离散傅里叶逆变换(InverseDiscreteFourierTransform，简称IDFT)。比较DFT和IDFT的运算公式：,图4.2.16DITIFFT运算流图,图4.2.17DITIFFT运算流图(防止溢出),如果希望直接调用FFT子程序计算IFFT，则可用下面的方法：由于,对上式两边同时取共轭，得,4.3进一步减少运算量的措施,4.3.1多类蝶形单元运算由DITFFT运算流图已得出结论，N=2M点FFT共需要MN/2次复数乘法。由(4.2.12)式，当L=1时，只有一种旋转因子W0N=1，所以，第一级不需要乘法运算。,综上所述，先除去第一、二两级后，所需复数乘法次数应是从L=3至L=M共减少复数乘法次数为,(4.3.1),(4.3.2),因此，DITFFT的复乘次数降至,(4.3.3),从实数运算考虑，计算N=2M点DITFFT所需实数乘法次数为,(4.3.4),4.3.2旋转因子的生成在FFT运算中，旋转因子WmN=cos(2m/N)-jsin(2m/N)，求正弦和余弦函数值的计算量是很大的。,4.3.3实序列的FFT算法设x(n)为N点实序列，取x(n)的偶数点和奇数点分别作为新构造序列y(n)的实部和虚部，即,对y(n)进行N/2点FFT，输出Y(k)，则,根据DITFFT的思想及式(4.2.7)和(4.2.8)，可得到,由于x(n)为实序列，所以X(k)具有共轭对称性，X(k)的另外N/2点的值为,4.4分裂基FFT算法,4.4.1分裂基FFT算法原理当n=pq，且p=N/4，q=4时，n可表示为,并有,再将上式中的k表示为,可得,对k0=0，1,2,3,并用k表示k1，用n表示n0，可以写出,(4.4.1),(4.4.2),(4.4.3),令,则(4.4.2)式可写成如下更简明的形式：,(4.4.4),图4.4.1分裂基第一次分解L形流图,例如，N=16，第一次抽选分解时，由式(4.4.3)得x2(n)=x(n)+x(n+8),0n7x14(n)=x(n)-x(n+8)-jx(n+4)-x(n+12)Wn16,0n3x24(n)=x(n)-x(n+8)+jx(n+4)-x(n+12)W3n16,0n3把上式代入式(4.4.4)，可得X(2k)=DFTx2(n),0k7X(4k+1)=DFTx14(n),0k3X(4k+3)=DFTx24(n),0k3,图4.4.2分裂基FFT算法L形排列示意图与结构示意图(a)分裂基FFT算法L形排列示意图；(b)分裂基FFT算法运算流图结构示意图,图4.4.316点分裂基第一次分解L形流图(图中省去箭头),第二次分解：先对图4.4.3中N/2点DFT进行分解。令X1(l)=X(2l)，则有X1(2l)=DFTy2(n),0l3X1(4l+1)=DFTy14(n),0l1X1(4l+3)=DFTy24(n),0l1,其中y2(n)=x2(n)+x2(n+4),0n3y14(n)=x2(n)-x2(n+4)-x2(n+2)x(n+6)Wn8,n=0,1y24(n)=x2(n)-x2(n+4)+jx2(n+2)x2(n+6)W3n8,n=0,1,图4.4.4图4.4.4中N/2点DFT的分解L形流图,图4.4.54点分裂基L形运算流图,图4.4.616点分裂基FFT运算流图,4.4.2分裂基FFT算法的运算量设第j级有lj个L形，j=1,2,M-1,M=log2N，则有l1=N/4。由图4.4.2(b)可见，第j-1列中的L形包含了第j列中的一部分结点的计算，即空白部分，所占结点数刚好等于第j-1列中所有L形对应结点的一半，所以第j列L形个数就减少lj-1/2个，即,由于每个L形有两次复(数)乘运算，所以全部复乘次数为,(4.4.5),4.5离散哈特莱变换(DHT),4.5.1离散哈特莱变换定义设x(n),n=0,1,N-1，为一实序列，其DHT定义为,式中，cas()=cos+sin。其逆变换(IDHT)为,(4.5.3),逆变换证明如下：,(4.5.4),将式(4.5.2)代入式(4.5.3)得,4.5.2DHT与DFT之间的关系为了便于比较，重写DFT如下：,(4.5.5),(4.5.6),容易看出，DHT的核函数DFT的核函数的实部与虚部之和。,将XH(k)分解为奇对称分量XHo(k)与偶对称分量XHe(k)之和,(4.5.7),(4.5.8),(4.5.9),由DHT定义有,(4.5.10a),(4.5.10b),所以，x(n)的DFT可表示为同理，x(n)的DHT可表示为因此，已知x(n)的DHT，则DFT可用下式求得：,(4.5.11),(4.5.12),(4.5.13),4.5.3DHT的主要优点(1)DHT是实值变换，在对实信号或实数据进行谱分析时避免了复数运算，从而提高了运算效率，相应的硬件也更简单、更经济；(2)DHT的正、反变换(除因子1/N外)具有相同的形式，因而，实现DHT的硬件或软件既能进行DHT，也能进行IDHT；(3)DHT与DFT间的关系简单，容易实现两种谱之间的相互转换。,4.5.4DHT的性质1.线性性质,(4.5.14),2.x(N-n)的DHT,(4.5.15),其中，当k=0时，XH(N-k)=XH(N)=XH(0)。,证明由DHT定义,而,3.循环移位性质,(4.5.16),(4.5.17),证明由DHT定义有,4.奇偶性奇对称序列和偶对称序列的DHT仍然是奇对称序列或偶对称序列，即DHT不改变序列的奇偶性。5.循环卷积定理,(4.5.18),(4.5.19),证明下面利用DFT的循环卷积定理和DHT与DFT之间的关系来证明其中，X1(k)=DFTx1(n),X2(k)=DFTx2(n),根据DHT与DFT之间的关系，则有,将上面两式代入式(4.5.20)并整理后，得,所以式(4.5.18)成立。同理可证明式(4.5.19)亦成立。当x1(n)或x2(n)是偶对称序列时，则由DHT的奇偶性有,(4.5.21),4.5.5DHT的快速算法(FHT)1.基2DITFHT算法及运算流图仿照快速DFT的分解方法，可通过时域抽取或频域抽取的方式实现快速DHT。x(n)的N=2M点DHT如下式：,对x(n)进行奇偶抽取,(4.5.22),(4.5.23),与DFT的时域抽取分解比较，不是一个指数函数，所以处理要比W(2r+1)kN麻烦一些。根据三角公式有,(4.5.24),(4.5.25),令X0H(k)=DHTx0(n),X1H(k)=DHTx1(n)，并考虑DHT的周期性，(4.5.25)式可写成,为了使以下推导中公式简明，记C(k)=cos(2/N)k，S(k)=sin(2/N)/k。将式(4.5.26)中的k分别取k，N/2+k,N/2-k和N-k四个值，并考虑X0H(k)和X1H(k)以N/2为周期，得到,(4.5.27),当k=0时，式(4.5.27)中有重复，可单独写成,(4.5.28),同理，在k=N/4时有,(4.5.29),图4.5.1基2DIT-FHT原理和哈特莱碟形,图4.5.24点DFHT蝶形图,图4.5.316点基2DITFHT流图,2.基