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文档简介

哲学方法论系列文库 数学归纳法数学归纳法 哲学是人类文化结晶， 方法论在哲学中占有重要地位。 本文提供 “数学归纳法” 的现代视点解读，以供大家了解。 数学归纳法数学归纳法 根据归纳原理而应用演绎推理的一种特殊的数学证明 方法。 数学归纳法的逻辑根据是自然数公理：“如果一个集合 N含有1，而且含有自然数K的同时也含有它的后继的 自然数K+1，那么N是全体自然数的集合”。 数学归纳法是证明同自然数集有关的(即含有自然数n 的)命题或公式的基本方法，在许多数学学科中都要用 到它。 应用数学归纳法证明命题时必须包括两个步骤： (1)证 明当n=1时，所证命题是真实的； (2)假定当n=k(k是自 然数)时所证命题真实，然后从这个假定推导出当 n=k+1时，所证命题也真实。 最后，根据归纳原理可以断言：当n取任何自然数时， 命题真实，这样，就使命题的真实性获得无限的延 拓。 因为。 根据第一步，当n=1时命题真实，把这个结论当作第二 步的假设(k=1)，从而有n=2时命题真实。 再把这结论作为下一步的假设(k=2)，从而有n=3时命 题真实，每个自然数总有一个而且只有一个比它 多1的后继数，所以这样的论证，可以反复进行，无限 制地继续下去。 最后得出“当n是任何自然数时命题真实”的一般结论。 必须注意，用数学归纳法来证明命题时，上述的两个 步骤中每一个都不可省略。 如果只有(1)证明n=1时命题真实而没有(2)的证明，则 这种证明方法成为不完全归纳推理，所得结论就不一 定真实，但是第一步证明是数学归纳法的出发点，也 不可省略去。 如果没有第一步的验证，则第二步证明就没有根据， 于是“n=k时命题真实”只是一种假设，它的真实性还不 能确定，从而结论是否真实也就不能确定。 例如，对于等式，若假定n=k时等式成立，也可以证明 n=k+1时等式成立，但不能得出结论；这等式对于任何 自然数成立，因为当n=1时它就不成立()!实际上，对于 任何自然数它都不成立!因此只有当上述两步都得到证 明时，结论才能保证是真实的。 n也不一定从等于1开始，可以从某一自然数n0(n01) 开始。 例如，在证明“n边多角形有n(
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