第01章第6节振动和波国际国内物理奥林匹克竞赛优化解题――物理竞赛

搴 .,. = 第-章 力 =谔 窍 鸶| P司犷 =号 叫 砖 I=玄 v 矿;子+帑 下面求功率极小时v 的数值(设为%)女口 下 务 驷 幻 =箐 吼 2L2并号鞴 竿 =0 j 在击(桊 y (c )功率与速度的关系见图5-10。 丨 P Pn 1h 1 图5-10 P血n =叩吼 3壬 9r p 03Sr .亠 代人 z ,0,得 吲 素 疒 片 条 (d )当P雨n 等于太 阳能提供的功率时 Pa v 删=r S=Pm i n 。 可求得机翼单位面积的载重量为 争哨 珐 罾 数值结果是 挈 笋 =36N/m 2,吼=。60m / 第六节 振 动 、 波 动 和 声 龊 (00全国物理初褰题) 1978年在湖北省随县发掘 了一座战国早期 (距今大约2400多年前)曾国国君的墓葬曾侯乙墓,出土的众多墓葬品中被称 为中国古代文明辉煌的象征的是一组青铜铸造的编钟乐器(共 64件),敲击每个编 0 第一编 理论部分 = 心 艹 : , ” : 艹 .i 。 + | 氵 ” ” 鞲 钟 时,能发 出音域宽广1频率准确 的不词 音调。与铸造 的普通 圆钟不 同,圆钟 的横截 面呈圆形,每个编钟的横截面均呈杏仁状 。 图 6-1(a )为圆钟 的截 面,图6-1(b ) 为编钟的截 面,分 别 敲击 两个 钟 的A、B、C和D、E、F三个 部 位,则圆钟 可发 出 个基频的音调,编钟可发 出个基频的音调。 图6-1 【 解 】 1;2。 蝴题腽鼯 (1996 俄罗斯物理竞赛题) 将 一 个 水 平 放 置 的 弹 簧(劲度 系数 为屁 )一 端 固定在 竖直墙 上,另一端 连 接 一质 量 为庇的物体(如图 6-2),物体 与地面的动摩擦 因数为u 在弹簧伸长到最大距 离的瞬时,用手指弹物体使 物体 以速度%开始 向墙运 动。假 设振动是稳定 的,且弹簧的最大伸长为J(J)仍g /尼)。试确定 速度 吼。 图6-3 图1-6-2 【 分析】 由于振动过程中自阻力儆功,为使振孑在固定的两点间做稳定的周 期性运动,必须及时补允能量。题中所述,在弹薰伸长到最大距离处的瞬时,用手指 弹物体使物体获得向左速度z ,0就是种补允能量的方式。 吼 应为多大,可用功能 原理求解。 【 解】 物体从A点向左运动时(如图6-3),由能量守恒有 彻02+屁J2=脏 :+FFm g t J亠 h )。 其中A是弹簧的最大压缩。 物体从B点向右运动时,有 触 2=告屁 J2+Ff m g (J+A)。 由 两 式 得 黝 2=2FFm g (舛 A)。 由两式得 : A=J+2钔 宫/屁。 对于速度 吼 有 铭v 。卩=d /t 彻g (J+?g /尼) 解得 第章 力 %=8g (J+印查/屁)。 = 龊 (1992 全国物理预赛题) 某地有一大型摆钟,其走时由钟摆的摆动来 控制。 若将钟摆看做单摆,当摆长为Ji 时,摆钟指示经过的时间为24h 的时候,比 标准钟指示快12分 0秒。 要使摆钟走时正确,其摆长应调至 刂 多大? 【 分析】 本题涉及误差摆钟的调整。 笞题需注蕙两点:(1)摆钟的计g 寸原理; (2)抓住钟面指示时间相等,振动狄数亦相等的条件列式求解。 【 解】 钟摆摆动一次,指针相应地转过一定的角度,这一角度的大小是恒定 的,与摆长无关 。 因此 ,在摆钟的指针指示 已经过24h 这段时间内,钟摆摆动的次 数也是恒定的,设为N。用J表示摆长应调到的值,用T1和T分别表示摆长为J1 和J时钟摆 的周期,则由题意可知 NT1=243600-12 60(s ),NT=24 由单摆公式可知 由两式可得 万V汀=T1/T。 J= 1。 017J1。 蝴灏搬鼬竞赛训练题) 一质量为钔=1.0 102k g 的物体在光滑水平面上做 简谐运动,振幅为0.12m ,周期为2s 。 当莎 =Q时,其位移为0。06m 。且正在 向轴 正方向运动。 (D分别写出物体的正弦酪数和余弦函数趵振动方程 ; (2)在= 0.06m 处 且向J轴负方向运动时,求物体的速度和加速度 ; (3)求物体从J=-0。06m 处返回平衡位置所用的最短时间。 【 分析】 简谐运动可视为匀速圆周运动在其直径投影的分运动。借助这关 系可方便地写出题中的方程。解角方程得(2)、(3)两问笞案。 【 解】 (1)由简谐运动方程式J=As (莎+口知 觳 艹 ., ” 在砂=0时 得到 3600(s )。 JO=Ac Os 甲=A/2。 s 甲=1/29甲=/3。 由简谐运动速度方程式v 一沮 h (莎+口知, 在莎=0时,z ,0=As i n 甲0,s i o 甲(0故取甲=Tt /39振动方程为 J=0.12s (莎 /3), 或 =0。 12s i n (莎+9r /6)(单位为m )。 (2)从J=0.06m J=0.06m ,口= 莎 1=甲/=1(s )。 加速度= J=- 2As (彦 i T/3)=0。59(m /s 2)。 , 速度 0=-0.129r s h (灾砂19r /j )=0.120 866 工0.326(m :s 刊 ), (3)物体由J= 0.06h 处返回平衡位置的最短时间 AJ=蜘/=(Tr /卩| 毛庞 /= -s ) 第一编 理论部分 龊 (1990 1991 英国物理奥赛题) 两个 扬声 器Xt Y-相距3.0m ,如图1-6-4所示,令它们 同相位地 发 出频率为660Hz 的相 同音调。取 声速 为330h /s ,计 算能产生多少个干涉极大: (1)沿XY连线 ; (2)沿 X y 连 线,X/平行于Xy ,与XY相距 40m .计算时应包括线段丙端可能有 的极大值。 因 所 以 艹 黏 F 3.0m I l H l 奋 卜 - 4。 Om 图1I6-4 【 分析】 两同相位、 同频率凼声源产生的声波, 产生干涉极木的条件是:程差为波长的整数倍。 【 解】 (1)当频率r =660Hz ,声速c =330m /s ,贝刂 波长 =贵 =0 5m 。 沿Xy 线,程差 为 s =(3J)J=3-2J。 当程 差 是 波 长 的整数 倍 时有 干涉极 大,即 -2J= 。 令=6m ,则 32J=(6一仍)=6一彻 。 =0。 5m , J=勿0.25(m )。 可见在3.0m 长的X、Y之间包括端点在内共有13个干涉极大。 (?)考虑绋翠 X丫 上一 点 尸| ,它距 亻为1,则距/为 (3J),而 犭P-= ,P=v /42+(3TJ)2。 则程差为 y =/25+/6J/16+/。 . 即程差变化范围为+z R 一拟,可见沿XY包括端点在内共有5个干涉极大。 龊 (竞赛训练题) 如图1-6-5所 示,一个质量为 m =10k g 的重物置于光滑的水平桌面上,并 与一劲度系数 为屁=41o 3N/m 的水平安置的轻弹簧相连,弹 簧的另一 端固定在墙上。开始时重物静止,弹簧处于 自然状态。 若在 一段时间t 内对此熏物作用丁沿弹簧轴线方向的水平恒力 图1-6疒 5 F。试求 r 为何值时,撤掉:-F后重物将重新保持静止。 空气阻力不计。 【 分析】 在水平恒力F及弹簧弹力作用下,重物在光滑水平面上儆简谐运动, 确定振动的平衡位置及在撤除F后重物的静止位置是解笞本题的关键。 【 解】 重物重新保持静止的条件是撤除F时,弹性力和重物的瞬时速度皆为 零,这只有当重物回到出发点时速度为零才有可能。 故需讨论重物运动特性。 以出 发点0为原点,建立如图6-6所示的坐标系,则有 一 靳 飞 静 i .;| | | : :.l = ;i ,.t .: .i l = ;, 第章 力 御c =F一屁J。 可见重物是 以 为平衡位置做简谐运动。 点坐标 JO=F/虍,振动周期T=2 石刃屁 。 又因重物从0点静止出 发,所以振幅 A=JQ =F/尼 。 故重物每次回到O点时速度为零。 综上所述,当重物到达O点时撤去F,重物将重新保持静止,所需时间 r =m T=碰h 瓦灿=饣 /100。314刀(s )(刀=1,2,3 )。 龊 (竞赛训练题) 如 图6-7所 示,质量为M的滑块静止放在 光滑水平 面上,存端 固定一根足够长 的轻质弹簧,弹簧的劲度 系数为屁,右侧面用一根伸直 的 轻绳水平地连接在 竖直墙上,绳所 能承 受的最大拉力为T。有 一质量为、 初速度 为t ,0的小物体,在滑块上无摩擦地 向左运动,而后压缩弹簧 。 试求 : (1)绳被拉断的条件; (2)滑块在绳被 拉 断后 的加速过程 中,所 能获得 的最大 左 向加速度; (3)小 物体 最 后 离开 滑 块 时相 对 地 面速 度 恰 为 零 的 条件。 (:) (:冫 图卜6-6 图6-7 【 分析】 题(1)中,假设压缩过程绳不断,则小物体向左压缩弹簧儆臧速运动, 直至速度为零,然后弹回。弹回g 寸,弹力变小,故绳亦不会断。 由此得e l J T匣小于弹 薰可能产生最大弹力这隐畲条件。题(2)中系统的动量变化为两种情况,拉断绳 前减少,绳断后守恒,以 后当 铭与M冥 葡共同速度时,弹簧压缩量最人,滑块受到 的弹薰推力也最人,注蕙这 点。 运用功能关系及动量守恒解得笞案。题(3)中须注 蕙,小物体对地速度为零的状念不是产生在刚脱离滑块时。 【 解】 (D细绳被拉断的条件是T小于最大可能的弹性力,设弹簧最大可能的 压缩量为.r O,贝刂 绳拉断的条件为 T(屁JO。 幻 由能量方程 助 2丁 屁J02, 解得为 旷樗 丁 0 故绳拉断的条件是 T(屁v O1 2设绳被拉断的条件得到满足,将绳拉断时弹簧的压缩量记为J1,此 时小物 体的速度降为 犰,贝刂 有 第一编 理论部分 ;I:,艹 “:i :.,j ; 麟 告 印 诜 2= 仍 2+屁 J12 解 得 而后弹簧继续被压缩,直到滑块 的速度增加到与小物体 的速度相 同时,滑块受 到弹簧的推力最大,滑块左 向加速度也就达到 最大 。将滑块与小物体 的这一共 同速 度记为z ,z ,贝刂 因系统动量 、 能量守恒,有 留v 1=(M+m )t ,z , 铭v :丁(M+仍)v 22+尼J22。 砀 为此时弹簧的压缩量。由上述各式可解得 z z =M+御 诌Mv O2+Tz 。 故滑块的最大左 向加速度为 鲑=尼f 2/M=斋 (3)若小物体离开弹簧时相对于地面速度恰为零,那么小物体最后离开滑块时 相对于地面的速度仍然恰好为零。 设此时滑块左向速度为 ,贝刂 有 M砌2卞 御 吼 2, ;Mu M FFF9彳BV1. 这便要求 旷 亻 这就是所求条件。 蝌灏癫蕊“荷兰物理奥赛题) 一个人站在湖面的冰上,听到一架直升飞机正在 靠近。 开始时,声音强度变得强起来,当大约可从30角方 向看到直升机时,声音达 到最大值。 以后声音强度变弱,一直到再次变强,解释这一观察,对声音频率作 出尽 可能好的估算。 【 分析】 这是种由同声源同时产生声波经空气直接传至工点与经地面反 射传至该点产生的声的干涉现象,可由相干条件作出台理的解释利估算。本题由于 是估算,在估算过程须注薏近似计算的自关数学知识的应用。 【 解】 很明显,该现象是直接从直升机来的声音和冰块反射在耳朵处的声音 的干涉。 设直升机的高度为H,人体高凡 。 又设到直升机的水平距离为L,则声音直 接到耳朵和通过冰块反射到耳朵,两者的传播距离之差为 诌 Mz ,。2+卩。 %2一磊 卩一砒 一 蜘 M十庇 翳 第-章 力 /(H+凡)2+L2/(H一凡)2+L2。 将上述差值变成 考虑 尼/H1,差 值为 因为L/H=厅,差值=2凡/2凡 。 由于冰块的反射?声音有2的相位移动,故路程差一定是半波长的奇数倍, 以产生干涉极大。于是,声音波长是人身高的2倍 ,.即3.5m ,声音频率约为95H 褊搬裰鼬 (瑞典全国物理决赛题) 去年12月的某一天早晨,我在斯德哥尔摩郊 区漫步游逛。那小径把我引到一个大工厂的围墙。由于冲动,我 拍 了一下双手,倾听 着。 没有我盼望的回声,但听到了起初好像是一只麻雀,叽喳着迅速飞下来。我再几 次拍手,又是几次麻雀声,我意识到没有麻雀。可是哪里来的回声呢? 接下来几分钟,我站在工广前,拍革然后倾听。每次拍手都有一次麻雀声,我惊奇地 发现了实情,拍手声是不同频率声波的叠加,拍手声被按频率分解。 立刻回来的是高频 声,而不是低频声。但怎么会这样的?最后,我才注意到工厂的墙不是平面,而 是波纹状 金属面,波纹间隔整齐,竖直取向,相邻芮波纹间隔约为0.1饥奥妙原来在此。 以上 这 段 文 字,取材 于 (并肖作 修 改)美 国物理 杂 志 1970年 第378页上 F。S。Cr a Wf Os d Jr 。 的一篇 札记。 (1)定性地 解释 这 个 现 象。 (2)对反 射 的拍 手声 ,作延 迟 时 间和 频 率 的关 系 图。 假 定 你 站 立处 距墙z o m 。 【 分析】 这是很有:趣的现象:可通过声的衍射给予解释。 【 解】 (1)波纹墙形成一块衍射光栅,低频声音的反射角度较大。故低频声波 的行程比较长。 (2)用d 表示光栅间距。 从 图1L它-8可知j 当 品 时,反射声波同相位。 因子2来自声波来回。 只考虑第级衍 射,距离为h =2L/c o 跏。所需时间为2L/(c 跏),其中c 为 声速。 因为频率r =c /,我们可推得 2丿%犭 莎=2L 凵兰工工 c 4尸= 对于从极远处的反射(J、振幅),在低频方面截止频率 图1-6-8 r O干鑫 丁 1。7k Hz 与之相应的 加 极大,即反射来 自极远处,振幅很小。频率增加时,J减小,r 亠 ,莎 减犭 至刂 2L/c 。 - 对人耳敏感的频率,这种现象特别强烈。在相同的时间延迟情况下 高次衍射 古 /m s 第一编 理论部分 | ;I i 艹 J ;七: 璐 级给出高八度 的频率。这些频率是难于区别的。如 曲线6-9所 示。 200 100 2 图6-9 图6-10 龃 (199。全国物理预赛题) 三根长度均为J=2.00m ,质 量均匀的直杆, 构成一正三角形框架ABC。C点悬挂在一光滑水平转轴上,整个框架可绕转轴转 动。 杆AB是一导轨,一电动玩具松鼠可在导轨上运动,如图1-60所示。 现观察 到松鼠正在导轨上运动,而框架却静止不动,试 论证松 鼠的运动是一种什么样 的 运动? 【 分析】 解笞本题苟两要点:(1)框架静止不动的条件分析。松鼠对它的压 力及沿杆方向作用力的台力Jn l 通过悬点C;(2)根据(1)中两力满足的条件分析 得出枞鼠沿杆方向受到的外力特征,从而确定松鼠的运动为茼谐运动这一结论。 【 解】 先以刚性框架为研究对象。当框架处于静止状 态时,作用于框架的各个力对转轴C的力矩之和在任何时 刻都应等于零。 设在某一时刻,松鼠离杆AB的中点O的距 离为J,如图6-11所示。 松鼠在竖直方向对导轨的作用力 等于 松鼠受到的重力钐g 为松鼠的质量。此重力对转轴C 的力矩的大小为m u ,方向沿顺时针方向.为使框架平衡, 松鼠必须另对杆AB施一水平方向的力F,且F对转轴C/ 的力矩应与竖直方向的重力产生的力矩大小相等,方向相 反。 即当表示松鼠位置的坐标J为 正时 F沿 J妁正方向。 当为负时,F沿J的负方向,如图所示,并满是平衡条件 彻g J=FJs i n G0=梧FJ/2。 式 中J为杆 的长度,所以 F=砌呀J/(溽J)。 即松鼠在水平方向上作用于杆AB的力要因松鼠所在的位置的不同而进行调 整,保证式得到满足。 再以松鼠为研究对象。 松鼠在运动过程中,沿竖直方向受到的合力为零,在水 平方向受到杆AB的作用力为F,根据牛顿第三定律,此力即F的反作用力,即/ = 2m g J/(梧J),可见,松鼠在水平方向受到的作用力/作用下的运动应是以O 点为辛衡位置的简谐运动,其振动的周期为 : 图6-11 螓 .=:. .i ,. 第-章 力 T=2石刃屁=2 冫 J/(2g )=2。64s 。 当松鼠运动到杆AB的两端时,它应反向运动,按简谐运动规律,速度必须为 零,所以松鼠做简谐运动的振幅应小于或等于J/2=1。 00m 。(振幅等于1。00m 与 把松鼠视做质点相对应) 由以上论证可知:松鼠在导轨AB上的运动是以AB的中点0为平衡位置,振 幅不大于1m ,周期为2。64s 的简谐运动。 龊 (竞赛训练题) 冰的密度记汐 ,海水密度记为p z ,有(。 (1)高为H的 圆柱形冰山碎块竖立在海水中,将其轻轻按下,直到顶部在水面 下方凡 =(2)H/(钿2)处 ,而后让它在竖直方向上 自由运动,略去运动方向上 的所有阻力,试求冰块运动周期Tl 。 (2)金字塔形(四棱锥形)的 冰山浮在海水中,平衡时塔尖离水面高度为凡,试求 冰山自身高度H和冰山在平衡位置附近做竖直方向小振动的周期T2。 【 分析】 (1)的求解思路是:分析碎块的受力情况,然后解运动方程求得周期,由于 略去了运动方向的所苟阻力,冰块运动过程中机械能守恒。这种运动一般冥苟速率的对 称l l 及运动g 寸闾的对称性,解题匣允分匣用。(2)的思路与(1)类似。 只是要注薏“冰出在 平衡位置附近儆竖直方向小振动”的畲义,这实际绮出了解题近似变换的依据。 【 解】 (D开始时冰块受向上的合力 F1=。Hs g _p l HSg =(2)HSg 。 式 中S为冰块 圆截 面积 。冰块 获得 向上 的匀 加 速度 F1 F,1HS =(r 9z F,l )g /p l 。 冰块 顶 部 上 升 到水 面所 经历 的时 间为 此时速度达到 彦1=2凡 /a i T勹揖 f ; =21凡 敦 庇 即)儒 冰块顶部上升到水面上方凡处时,所受 向上合力为 F2=2g (Ff Sg HS =(p l )g HS-g 凡S。 设到达凡0高处力平衡,则有 凡0=(卩2一宀)H/2 引人 以平衡点为原点 、 竖直 向上 的y 坐标,即有 第一编 理论部分 ” ” . . | ,i 镲 y =几 气。 F2=(p z p l )g HSp z g (y +九0)s =2g Sy 。 这是一个线性恢复力,冰块将做简谐运动,振动表达式为 振动速度为 %=o As i n (莎+ )。 振动的初位置和初速度分别为 : =九0,%0丁 即有 :、 -I;T=。 因 As i n o = t ,l / Tp =丁(2p l )H/2 =一 气。 可解得 0=艹+砑 丁旧 九 0 经 劫时间,冰块顶部上升到平衡位置上方振辐处(此时冰块顶部在水面上方 九0+A=九0+诌礼0处),冰块速度减为零,劫满足下述关系 汀凡0=Ac o s (J2+。)亍捶 几Oc o s (莎2+谔0 莎2+t 十毋=驳 甲 =0919卩,) 即有 屁=1对应最小的非零 劫值,为 芷2=茇卜 计算可得 勿 = 楞 而后,冰块将竖直下落,故竖直向上运动时间为 3(p 21)g 卩l 凡 婚 . .,| | | i , i 第章 力 躅 冖 o 儒 因运动方向上的阻力均被略去,冰块下落运动为上升运动的逆过程,所经时间 与莎相同。 这样,便得冰块运动周期为 ?邙狞W殍 (2)金字塔形冰山的正方形底面边长记为色,所受重力大小为 c = Hg 冰山排开海水体积为 (H一釜 ) 对应浮力为 亠 2a 2(H f g 平衡时 r O=:=G。 即可解得 肛 建立竖直向下的y 轴,冰山从平衡位置沿y 轴偏移y 小量时,所受浮力为 F=H业舌艹1穸 (H釜 +笞y )g 冰山沿y 轴正方向的合力便为 | 二。 r 宀冫 笞 沼 j 这是一个线性恢复力。考虑到冰山的质量为 铭= h 因此冰山做简谐运动的角频率可算得为 小振动周期为 喵 蠛 量 蟊 镒 醯 摭 蔽 蕊 酪(1997 振动,其固有频率为 频率/是多少? T2t =2 瓦 崖 纡 话 国际物理奥赛题) 一小球悬挂于无质量的理想弹簧末端,上下 置 如果将此弹簧从 中间切掉一半,挂上 同小球,则新 的固有 【 分析】 这是道较基本的因际奥赛.题,只须分析出弹黄的劲度系数与弹簧 理论部分 -, . . . .= 燎 长度的关系,将诙关系代入弹篝振子的周期表达式即可求得/。 振动频率为 设原弹 亨f 汐 J,印度 帚帑 乃 。挂在此弹簧末 节叩 质量为彻的 球的 r =舟 吾 劲度系数为屁,意味着使 弹簧伸长 J需 作用力F,则 尼F/J。 考虑此伸长过程中弹簧的中点在同一作用力F下,它只移动了距离 J/2,因 此半截弹簧的弹性系数为 /TK丐= 于是挂在此半截弹簧末端的小球的振动频率为 /=嘉谔胡置 骶 (1999 全国物理预莽题) 将一根长为100多厘米的均匀弦线,沿水平 的J轴放置,拉紧并使两端固定。 现对离固定的右端25c m 处(取该处为原点O,如 悬 该:逼1愚孟 辶 老 蓊 廑 瓦 叠 力 :烹 误 毒 ; ;钅争 ;蚤r 皙亻 皙 钅 ?;濠 i 筝釜箸缶叠套至严 在弦线中的传播速度为2:5c m s 1,且波在传播和尿射过俘中 g c m 0.10 0。05 -0.05 -0.10 图6-12 (1)试在图1-62中 准确地画出自0点沿弦 向右传播的波在莎=2。5s 时的波形图。 0。 10 (2)该波向右传播到固定点时将发生反射 ,反 0。Os 射波 向左传播。反射点总是 固定 不动的。这 可看成 是向右传播 的波和 向左传播的波相叠加,使反射 -O。沼 点的位移始终为零。由此观点出发,试在 图1-62-o .1o 中准确地画出莎 12。5s 时的波形图。 (3)在 图6-12中准确地画出莎=10.5s 时 的 Vc m 弦的右端 t /c m 1.02.o 2.5o 古/s 图 卜 6-13 波形图。 【 分析】 波在传播过程中满足独立性原理和叠加性原理。 孤立波在未与其他波相 碱J 丘瑾 理确定E注:本题第(3)问彐,由题蕙知该孤立波的空间间隔为2。5 2.5=6。 c m ,确定任 薏时刻该波的起点、 终点TEl 波峰坐标是解题的关键。解题时还匣注蕙苞行波经反射端反 射时,其反射部分匣倒相传播。 【 解】 必m 0.10 0.05 -0.05 -0.10 (2375,0.05) 弦的右端 跖/c m 5 10 15 2o J=12.5s 时的波形 图1-6-14 磁蹁颥艋 (03 全国物理复赉题) 有人提 出了一种不用火 箭发射人造地球卫星的设想。其设 想如下:沿地球 的一条 弦挖 一通道,如图6-15所 示。 在通道 的两个 出口处A和B,分别 将质量为M的物体狎质量为 狃的待发 射卫星 同 时自由释熬 , 只要M比彻足够大,碰 撞后,质量为m 的物体,即待发 射 的卫 星就会从通道口B冲出通道;设待发卫星上有一种装置,在待 发卫星刚离开 出口B时,立即把待发卫星的速度方 向变为沿该 处地球切线的方向,但不改变速度的大小。 这样待发卫星便有可能绕地心运动,成 为一个人造卫星。若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动,则 地心 到该通道 的距离为多少?已知M=m ,地球半径R0=6400k m 。假定地球是质量均匀分布 的球体,通道是光滑的,两物体间的碰撞是弹性的。 【 分析】 这道题需要用e l l 简谐运动 、动晕守恒、 能量守喱及圆圊运动、 万苟彐| 力的自关知识。 【 解】 位于通道内、 质量为铭的物体距地心O为r 时(见 图1-6 6),它受到地球的引力可.以表示为 i 户=辔 式中M是 以地心O为球 心,以r 为半径 的球体所对应 的 那部分 地 球 的质 量 ,若 以卩表示 地 球 的密 度 ,此 质 量 可 以表 示为 = r 3。 于是,质量为御的物体所受地球的引力可以改写为 F二 %徘 图6-15 图 6-16 作用于质量为铭的物体所受的引力在通道方向上的分力的大小为 第一编 t 理论部分 ” .+,-= .i 灬 =,j ; .;,艹 辚 r =Fs i n 汐, s h 三, 汐 为 r 与通道的中垂线OC间的夹角,J为物体位置到通道中点C的距离,力 的 方向指向通道的中点C。在地面上物体的重力可以表示为 : 旷絮 式中M。是地球的质量。由上式可以得到 g =丁Gp Ro 。 由以上各式可以求得 产箐 可见,r 与弹簧的弹力有同样的性质,相应f 劲度萦数 为 尼=箐扣 物体将以C为平衡位置做简谐运动,振动周期为T=2 V嘎 取J丁0咎为 “ 弹力势能”的零点,设位于通道出口处的质量为印的静止物体到达J=0处的速 度为z /,0,贝刂 根据能量守恒,有 告 御v 02=屁(RO2t ). 式中凡表示地心到通道的距离:解以上有关各式,得 2= 可见,e l J达通道中点C的速度与物体的质量无关。 设想让质量为M的物体静止于出口A处,质量为m 的物体静止于出口B处 , 现将审们同时释放,因为它们的振动周期相同,故它们将同时到达通道中点C处 , 并发生弹性碰撞。 碰撞前,两物体速度的大小都是%,方向相反,刚碰撞后,质量为 M的物体的速度为V,质量为m 的物体的速度为v ,若规定速度方向是由A向B为 正,则有 Mz ,0 印% MV+m v , M艹+m 砀2=M/+仍 扣 解式和式,得 v 丁 挪 质量为印的物体是待发射的卫星?令它回到通道出口B处时的速度为%,贝刂 有 “ RO; 冫 +留 =御v 2 2MCML钩汔) i 舞艹 艹 由式和式解得 第章 力 杰 旦 乍 亍 竺 如 “的方向沿着通道。 根据题意,卫星上的笨置可使“的方向改变成沿地球B处 的切线方向,如 果 “ 的大小恰能使小卫星地球做圆周运动,则有 。 耆 笋 勿 :寺 由式并注意到式,可以得到 已知M=彻,则得 凡=0。925RO=5920k m 。 骺 (1993 全国物理决赛题) 有 两个相 同的摆,把一个拴在 另一个 的下 面,使它们各在一个平面 内做匀速 圆周运 动。 设两条摆线与竖直线所成 的夹角都很 小。 已知在运动过程 中两条摆线一直保持在 同一个竖直平面 内,求此平面移动的角 速度,以及 两质点轨道半径之 比。 【 分析】 对题中所述的两条件匣弄清楚其畲义:(1)“两摆线一直倮持在同 竖直平面内” 这表明两摆角速度相等;(2)“两条摆线与竖直线所成的夹角都很 小”运箅中可对这两角度的某些三角函数值进行近似变换。 男下摆的转动中丿u 亦 分析清楚。 【 解】 有 两种 情 况,如图6-17()和图6-17 (b )所 示。 设转动的角速度为,摆长为L,质点的质量为庇,上 、 下摆线与铅垂线所成的夹角分别为 和上下摆线中的 张力分别为Tl 和Tz ,则上、 下两质点的运动方程如下: 情况1匚图1-67(a )彐 Tl c Os a 馆+凡唯 上质点 洌 s i m )=Tl s i m 亠 Tz “叩: Tz 昭=钐g 。 砒 (“m + 叩)?=马s i 唯 下质点 情况2E图1-6 7(b ) T1c o s =绍 +Tz 唯 沈(s i )2=Tl m + 蚯唯 上质点 Tz c o 昭吧土 沈(s i 叩s i 劝)2=蚯 唯 下质点 图6-17 中的 0,情况2 情况完全可用同一方程组来描 述和求解。 由式消去 g t a n FL(s h +s i 叩)亻=0. | 第一编 督 由式消去T1、 得 2g t a n a _L(s i 】)2g t 盯r =0。 由于 、 较 小,可取下列近似 洳COs F-1, s l t a ,s i 叩t a 叩 得到 勤 2 +(扁2g )卩=0和(I创2-2g )+邵=0。 根据题设,卩0,0,由式可求得 /卩=(g L2)/(L2)=g /(2g L 2)。 即 c u 。-(4g /L)o z +2(g /L)2=0。 =(2土滔)g /L。 。l =(2诏o g /L时 =2。 叻=(2+扔o g /L时 宀=2。 前者就是情况1的解;后者就是情况2的解。 两质点轨道半径之 比分别为: 解 出 代人式得 情况1 情况2 (十=1/(1+冫D0。414。 (卩 )=1/臼t D2。414。 癫鲩蚬酞 (1995 全国物理决赛题) 一弹簧振子,两端为质量都是印=0.1k g 、 大小不计的物体 A、B,中间是一静止长度为JO、劲度系数为尼0、质量可以忽略的理 想弹簧,现此振子 自某工高度、 A端在下,竖直地 自由下落至一水平桌面,开始下落 时,A距桌面的高度为H=2m ,开始时弹簧无伸长或压缩。A与桌面发生弹性碰撞 后跃离桌面,当A第二次接触桌面时,发现弹簧的压缩达到最大。 求: (D弹簧劲度系数尼 0之值; (2)A第二次与桌面接触时的速度。 【 分析】 这是综台性较强的竞蒉题,分析物体A的倩况应考虑它的受力情尻。 将受力特征转化成对匣的运动。善于把题中所述的“当A第二次接触桌面时,发现 弹簧的压缩量达到最大”这条件转化为对匣的运动量,然后根据运动的独立性原 理及台运动与分运动关系求解出结论。 【 解】 (1)取J坐标轴沿竖直方向。 原点在桌面,方向向 上。 振子竖直下落,弹簧无压缩或伸长,故 A、B均为 自由落 体。当A到达桌面时,A、B的速度相同。 均为 弘=VB=、属妒=-z ,0。 命A与桌面碰撞 的时刻为莎=0。即莎=0 生弹性碰撞而反 向。 此时有 时,A与桌面发 图6-18 静 .,.,:,. .:.,.:.: . I,.:.;.:.,:. .,.第-章 力 i JA=0,J:=JO。 暂不考虑重力 的影 响,则由图6-18可知,A、B相向运 动,压缩 弹簧,而产 生 简谐 运动。 莎=0时,弹簧无形变,由 的初条件,可以写出A做简谐运动的运动方程 三刀 二J 式中,已知 坳=/瓦万,.TO、F待定:由图6-18可知,在振动运动中,AB相 向运动,中点M不 动。 故振动可视做M固定的两个振子。 振子MA(或 MB)的等效 劲度系数为屁,尼=2尼0,故有 r =(肠 )/(2)=2尼0/仍 /(2)。 振子A的最大振动动能为铭v 02,最大振动势能为告(2屁0)J。2,有 叨%2=(0)J02 JO=%绍/(2尼0)。 现在考虑重力的效应,重力的存在使得A、B在振 动的同时,还在做 自由落体运动。在时间0莎期间,重 力使A产生的位移为 2/2。 故在莎)0时,A的坐标应为 J(莎)=缅s i n 2r J一彡2/2。 弹簧最大压缩时为莎1,此时应有 2FJ1=/2。 九时 JA(h )=幻 , 饧 莎1)=0。 此时,A与桌面发生第二次碰撞,即应有 n ,丈。s i 砣亻古 J(莎1)=JOs i n 2r J1莎12/2=0。 由两式可得 代人.TO、r 的值,有 泌 钔 场=爿 B)撸 妩=(误羝 )(箐). 代人各量的数值,有 尼0=0。19N/m 。 以 _-吉g 、 圭 (古)=巛o 蛇亻 t 图6-19 幻=g /(4r )2 第一编理论部分 i | =10| ;| = .0.| | | ;, = ;。 .| ;礴 当A 速度 与桌面第二次撞击时,其振动速=度为零。故其速度就是莎1时的 自由落体 憋 V(莎1)=g 莎1=8。0m /s 。 19g s 国际物理奥赛题) 海洋中声波的传播 引言:海洋中声波传播速度随深度、 温度和含盐量而变化。 图6丁给出了声 速c 随深度z 的变化关系,图中最小速度c 。出现在海洋表面和海底之间的中部 区 域内。 注意,为方便起见,将这一最小声速对应的深度定为z 干 0,而 z =z 5和z = z 3(z 3取 正)分 别对应海洋表面和海底。 于是声速c 可表述为 c =c O+乙z , C=CO 3z , 当z )0; 当z =0; 当 之 0的任一弧元,表明波射线在折转到J轴之前 曲率半径处处 为相 同的常量,所以整段为一圆弧。 (b )为使声波不会遇海洋表 面发生反射,要求波射线或在海 面下方,或恰好 与 图1-6-22 第一编 理论部分 海面相切。最小 乱 角对应 波射线 圆弧与海 面相切 的 情况,参照图6-23有 厶=R艮 h 仇=旒卜山 昏 由此解得 氏=a r c s “ 岚 (c )接收器H能接收到的声波,对应 的波射线 圆 弧必须通过H所在点,图624所示为其一。由图可得 X=2Rc o s e O=麦 午 青 呦 。 c ?:口0=箦 6-25给出了另一种到达H的路径,有 ,.| “ ; “” i ,| ;i i | ,.;i ;=.1.; ;I .=i 镟 图6-23 图 相应可得 类推可得符合题意的一组 乱 角为 图6-25 管 =2Rc Os JO c o t 氙=争孓 乱 =卩c t c 乒瑟 =盯d a 铮 ,汐0(号。值得指出的是时,对应的乱=.号,即 汐沿 J轴其 中=1,2, 行进的波射线。 弦=/ 点 点 踟 嘟答 嘉 丛 浣 鹿 茁i 查 庞 羞 芟 缶 丢 蔹 嘉 石 苷 m =1 乱=86.19, =2 氙=88.09, =3 免=88。73, - ”=4 氙=89。05。 (e )如 图6-25所示波射线对应(c )问中最小 乱 角,此射线从S到H所经时 间为 先计算S到圆弧顶点P 将R=c /3s i n 卩代入,得 铷=咭1碍 晶 利用题文所给积分公式可得 铷=h (t a n 争) Js H=2莎s P。 即得 莎s H= h (t a n 争 )。 将D=0。020m /s 和汐 0=86。19代 人,算得 莎s H=6。6546s 。 沿着z =0直线(即J轴)方向传播 到H所需 时 间为 r s H=X/c 0。 将X=100o o m ,旬=15o o m /s 代人,可算 得 : 莎 s H=6。6667s 。 七H即为 。=号的声 波,显然 有 砂 s H(莎s H。 即 浼 取(d )问中最 小 者 的声 波将 先 于取 乱=号的声 波 到达H。 蹦骺飘龇 (1995 国际物理奥赛题) 圆柱体浮标的小运动 (a )某种海上浮标由一个轻质实心圆柱体和一根刚性匀质细杆连接而成,圆 柱 体的半径为c ,长度为J,质量均匀分布,密度为J。细杆的质量等于圆柱体的质量, 长度等于圆柱体的直径,密度远大于海水的密度(海水密度记为)。设浮标处于图 +州 注意到 6-26所示平衡位置,试导 出图中 角与J/p 之间的关 系,在此略去细杆的体积。 (b )若浮标 因受到某种干扰 而垂直下压 了一个小量 z ,它将受到向上的合力,从而在其平衡位置附近上、 下振 动,如图1-6-27所 示。 确定这种竖直方向振动的角频率, 结果用 、g 和表述,其中g 为地面重力加速度。 在此假 设水的运动对浮标动力学问题的影响,可等效为浮标的有 效质量增加了三分之一,并假设 并非小角度。 (c )作为一种近似,假设浮标在绕着圆柱体 中央水平 轴左右摆动,如 图 6-28所示,试确定摆动角频率,结果用 水的运动和水的粘滞阻力,并假定摆角很小。 第一编 理论部分 | ” r | 艹 艹+ ” 艹 馨 图6-26 g 和表示。在此忽略 图 6-27 图1-6-28 (d )在浮标内装有灵敏的加速度测量仪,可 测出浮标的竖直运动和摆动,并用 无线电将数据送到海岸。海水较为平静时,测得竖直振动周期约为1s ,摆动周期约 为1.5s 。据此证明,浮角约为90。在此基础上再设J=,试计算圆柱体半径及浮标 的总质量。(可取海水密度=1000k g /m l ,g =9.8” /s 2) 【 分析】 本题涉及的浮标的运动较复杂。分析诙运动,用到的物理数学知识已 超出国内中学生物理竞赛的大纲(该运动方程为微分方程。 应用了转动惯量等大学 物理知识),是一道高难度物理国际竞赛题。 【 解】 (a )细杆质量等于圆柱体质量M,而 M= 2JJ, 因此浮标总质量为 2M=2 JJ。 浮标排开的水 的质量显然少于9r n 2J,据阿基米德原理可粗略地得知 1 2曰 2J( a 2J卩。 即 J(卩/2。 事实上由图6-26所示的浮角 (9r ,借助几何知识可得排开水的体积应为 V=J 2J2s i n c o s a 据阿基米德原理,浮标质量等于所排开水 的质量,即有 2 Jd =J 2(a s i r u c o s )。 可得 与d /p 的关系为 。 毒 .:.;.,j ., . .:. 或 第-章 力 学 s i n c o s =2(d /), 山2=2(J/)。 (b )若是 圆柱体从平衡位置竖直下压小量z ,浮标所受 向上合力等于增加 的排 水重量,即有 Fz =(2a s i m )z J卩。 式 中负号表示Fz 与z 反向。这是一个线性恢 复力,考虑到浮标有效质量增加 了三分之一,其 运动方程便为 (1+)佗 =Fz =(蚯m 卩 z 。 将2M=2 2J 代人,得 z +3p g s i m z =0。 这是一个标准的简谐运动微分方程,振动角频率为 饨 = 结合(a )问解答给出的 J/p 关系,可得 z =石 汪 瓷 弦 面 (c )圆柱体 中央轴O近似不动,浮标近似绕O轴摆动,则排水量不变,浮力 中心 仍 在0上,大小 仍 为2Mg ,如图6-29所 示 。 浮 标 质 心 在 图 中G处,浮标 所 受 重力2Mg 相对0轴的力矩 为 2Mg s i n 汐-2Mg 刃。 此 处 已考 虑 到 汐为小 角度 圆柱 体 绕O轴的转 动惯 量 为 r 0=蚝 2? 细杆绕其 中心 的转动惯量为 几d =蚝 2 据平行轴定理,细杆绕O轴转动惯量为 d =r m d +照2)2=甘MV。 浮标绕O轴转动惯量便为 r =r 0+r d =罕蚝 2。 由此可得摆动的微分方程 r 汐=-2Mg J 第一编 理论部分 汐+搿=。 这是简谐运动方程,角频率为 (d )竖直振动周期为 摆动周期为 因此 由测量数据可知 数值计算可得 其解近似为 Tz =2/z 。 %=2/。 (拷)2=面石 缇 畏:沅瓦 万 (拷)2| (戋卢 )2=22 r -s i n c o s -1。61s i n 。 =号=90 取 =丁,贝刂 3g