湖南衡阳第八中学高二数学期末结业考试理

衡阳八中2018年上期高二年级实验班结业考试试卷理科数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级实验班结业考试试卷，分两卷。其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。预祝考生考试顺利第I卷 选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。1.设集合，则的取值范围为（ ）A或 B C. D或2.若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）A B C D3.设，则 （ ）A. B. C. D. 4.在各项都为正数的等差数列an中，若a1+a2+a10=30，则a5a6的最大值等于（）A3 B6 C9 D365.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）A B C. D6.在区间0,2上随机取两个数，则的概率是（ ）A BCD7.刍薨（），中国古代算术中的一种几何形体，九章算术中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（ ）A.24B. C.64 D.8.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的的值为（ ）A72 B90 C101 D1109.已知椭圆E： +=1（ab0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A（0， B（0， C，1） D，1）10.函数（）的图象的大致形状是（ ）11.在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积为，若满足上述约束条件，则的最小值为 （ ）A B C. D12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）A B C. D第II卷 非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.若的展开式中常数项为96，则实数等于 14.在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是_15.已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，ABCD，若四面体ABCD体积的最大值为9，则球O的表面积为16.已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为3，则的取值范围为 三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分12分）已知数列的前项和为，（）（1）求数列的通项公式；（2）设（），数列的前项和为，证明：（）18.（本题满分12分）如图，直角梯形中，底面，底面且有.（1）求证：；（2）若线段的中点为，求直线与平面所成角的正弦值. 19.（本题满分12分）某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测 株树苗的高度，经数据处理得到如图的频率分布直方图，起中最高的 株树苗高度的茎叶图如图所示，以这 株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.（1）求这批树苗的高度高于 米的概率，并求图19-1中， ， ， 的值；（2）若从这批树苗中随机选取 株，记 为高度在 的树苗数列，求 的分布列和数学期望.（3）若变量 满足且 ，则称变量 满足近似于正态分布 的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布 的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利获得签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批树苗能否被签收？20.（本题满分12分）给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”.已知点是椭圆上的点（1）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，求被椭圆的伴随圆所截得的弦长：（2）是椭圆上的两点，设是直线的斜率，且满足，试问：直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。21.（本题满分12分）已知函数。（1）若有三个极值点，求的取值范围；（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明：。选考题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。22.（选修4-4.坐标系与参数方程）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.23.（选修4-5.不等式选讲）已知函数的最小值为.(1)求实数的值；(2)若,且,求证:.衡阳八中2018年上期高二年级实验班结业考试理科数学参考答案题号123456789101112答案BAACBCBBACDB13.414.15.3616.17.（1）当时，解得；（1分）当时，以上两式相减，得，（3分），（6分）（2）当时，；（8分）当时，（11分）（）（12分）18.（1），且是等腰直角三角形，平面中，可得，即底面，底面，、是平面内的相交直线，平面平面，（6分）（2）解法一：几何法如图，过点作，垂足为，连接，平面，平面，结合且，可得平面是在平面内的射影，可得就是直线与平面所成的角.中，中，可得因此，在中，即直线与平面所成角的正弦值是.（12分）解法二：向量法如图，以点为坐标原点，直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，所以： 设平面的一个法向量为，由可取设直线与平面所成角为，则.（12分）19.（1）由图19-2可知，100株样本树苗中高度高于1.60的共有15株，以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.60的概率为0.15.记为树苗的高度，结合图19-1可得：， ， ，又由于组距为0.1，所以（4分）（2）以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在的概率.因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次重复独立试验，所以随机变量服从二项分布，故的分布列为：， 8分即：01230.0270.1890.4410.343（或）.（8分）（3）由，取，由（）可知，又结合（），可得：，所以这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，应认为这批树苗是合格的，将顺利获得该公司签收（12分）20.（1）因为点是椭圆上的点.即椭圆伴随圆（3分）当直线的斜率不存在时：显然不满足与椭圆有且只有一个公共点当直接的斜率存在时：设直线与椭圆联立得由直线与椭圆有且只有一个公共点得解得，由对称性取直线即（4分）圆心到直线的距离为（5分）直线被椭圆的伴随圆所截得的弦长（6分）（2）设直线的方程分别为设点联立得则得同理（8分）斜率（9分）同理因为（10分）所以 三点共线（12分）21.（1），定义域为，（1分），只需应有两个既不等于0也不等于的根，（2分）当时，单增，最多只有一个实根，不满足；（3分）当时，当时，单减；当时，单增；是的极小值，（4分）而时，时，要有两根，只需，由，又由，反之，若且时，则，的两根中，一个大于，另一个小于。在定义域中，连同，共有三个相异实根，且在三根的左右，正负异号，它们是的三个极值点。综上，的取值范围为。（6分）（2）对恒成立，当时，均满足；对恒成立对恒成立，记，欲证，而，只需证明，显然成立。下证：，先证：，令，在上单增，在上单增，在上单增，即证。要证：，只需证而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立。（12分