第1到第18届华杯赛复赛试题及详解第四部分

1 第第 1 到第到第 18 届届华杯赛复赛试题汇编华杯赛复赛试题汇编 第四部分第四部分 组合组合杂题杂题 统筹安排统筹安排 215. （第一届华罗庚金杯赛复赛第（第一届华罗庚金杯赛复赛第 4 题）题）在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有在一条公路上，每隔一百公里有一个仓库，共有 五个仓库。一号仓库存有五个仓库。一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库存有吨货物，二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有吨货物，五号仓库存有 40 吨货吨货 物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货 物运输一公里需要物运输一公里需要 0.5 元的运费，那么最少要花多少运费才行？元的运费，那么最少要花多少运费才行？ 【分析】【分析】如果地的货物比地多，那么将地的货运往地比将地的货运往地省钱，因此，应将 10 吨货由一号仓库运到二号仓库。同样，应将这(1020)吨货由二号仓库运到五号仓库，共 用：(10 40020 300) 0.55000(元) 216. （第二届华杯赛复赛第 6 题）下图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所下图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所 需的分钟数。请问小王从出发走到，最快需要几分钟？需的分钟数。请问小王从出发走到，最快需要几分钟？ 50吨 20吨 10吨 5 4321 B A 9 715 11 10 5 13 12 17 5 14 2 【分析】为叙述方便，我们把每个路口都标上字母，如图、图所示 首先我们将道路图逐步简化。 从出发经过到的路线都要经过和。面从到有两条路线可走：需时间 141327（分钟）； 需时间 151126（分钟）。我们不会走前一条路线，所以可将这段路抹去。但要注意， 不能抹去，因为从到还有别的路线（例如）经过，需要进一步分析。 由到也有两条路线可走：需 16 分钟，也是 16 分钟。我们可以选择其中的任一条路线，例如 选择前一条， 抹掉。 （也可以选择后一条而抹掉。 但不能抹掉， 因为还有别的路线经过它。 ） 这样，道路图被简化成图 49 的形状。 在图中，从到有两条路线，经过的一条需 1461737（分钟），经过的一条需 1511 1036（分钟），我们又可以将前一条路线抹掉（图）。 图中，从到也有两条路线，比较它们需要的时间，又可将经过的一条路线抹掉。最后，剩下 一条最省时间的路线（图），它需要 1511101248（分钟）。 3 【又解】【又解】要抓住关键点。从到的道路如果经过点，那么，从到的道路中选一条最省时间的， 即；从到的道路中也选一条最省时间的，即。因而从到经过的所有道路中最省时间的就是这 两条道路接起来的，即。它的总时间是 48 分钟。 剩下的只要比较从到而不经过点的道路与道路，看那个更省时间。 不经过点的道路只有两条，它需要 49 分钟；，它也需要 49 分钟。 所以，从到最快需要 48 分钟。 217. （第十一届华杯赛决赛第 4 题）图中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它 们有网线要联， 连续标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息量。 现 在从结点向结点传递信息，那么单位时间内传梯的最大信息量是（ ）。 【分析】4. 17 218. （2010年第15届华杯赛决赛第13题） 一批货物重一批货物重 13.5 吨， 每包货物重量不超过吨， 每包货物重量不超过 350 千千 克，请问：能否用克，请问：能否用 11辆载重为辆载重为 1.5 吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明. 【解答】一种方案如下：把 11 辆货车顺序编号为 1，2，3，11. 先把 1 至 8 号车装上货物，每车一直装到不超过 1.5 吨为上限, 只要再装一包便超过 1.5 吨为止，并把这 8 个最后一包分成两组，每组 4 包，每组重量不超过350 4=1400千克 4 5 6 7 9 11 25 F E D C B A 4 逻辑推理逻辑推理与体育比赛与体育比赛 219. （第一届华罗庚金杯赛复赛第（第一届华罗庚金杯赛复赛第 9 题）题）甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋， 每两人都比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了每两人都比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了 4 盘，乙赛了盘，乙赛了 3 盘，丙赛了盘，丙赛了 2 盘，丁赛盘，丁赛 了了 1 盘。问小强赛了几盘？盘。问小强赛了几盘？ 【分析】【分析】“甲已经赛了 4 盘”，说明甲与乙、丙、丁、小强各赛了 1 盘(小强与甲赛了 1 盘) “丁赛了 1 盘”，肯定丁只与甲比赛。 “乙赛了 3 盘”，说明乙与甲、丙、小强各赛了 1 盘(小强与乙赛了 1 盘)。 现在已经知道，丙赛的 2 盘是与甲、乙各赛了 1 盘， 所以，小强赛了 2 盘. 220. （第四届华杯赛复赛第 11 题） 、 、 、 、 、六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都、 、 、 、 、六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每人都 与其他选手赛一场） ， 每天同时在三张球台各进行一场比赛， 已知第一天对， 第二天对，与其他选手赛一场） ， 每天同时在三张球台各进行一场比赛， 已知第一天对， 第二天对， 第三天对，第四天对，问：第五天与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？第三天对，第四天对，问：第五天与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？ 【分析】第二天不能对，否则对。对与第三天对矛盾，所以应当对、对。第三天也不能对， 否则对与第二天对矛盾，应当对(不能对，与第四天矛盾)，对，第四天对，对，所以第五天 对，对，时。 221. （第五届华杯赛复赛第 5 题）人的血通常为型，型，型，型。子女的血型与其父母血型 间的关系如下表所示： 父母的血型 子女可能的血型 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 5 ， ， ， ， 现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为、。每个孩子的父母都戴着 同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为、。问：穿红、黄、 蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？ 【分析】题中表明，每个孩子的父母是同血型的，因此父母均型，孩子必型，父母均型，孩 子必型(孩子为型的情况已被排除，0 型孩子的父母已经确定为型)。父母为型，孩子为型， 即红、黄、蓝上衣的孩子，父母分别戴蓝、黄、红帽子。 222. （第十一届华杯赛决赛第 3 题）有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队 都要赛一场，胜得 3 分，负者得 0 分，如果踢平，两队各得 1 分。现在甲、乙、丙分别 得了 7 分、1 分和 6 分，已知甲和乙踢平，那么丁得（ ）分。 【分析】共进行了 6 场比赛，甲、乙；甲、丙；甲、丁；乙、丙；乙、丁；丙、丁； 甲得了 7 分，其中甲和乙踢平；则甲胜丙；甲胜丁； 乙得 1 分，甲和乙又踢平，则丙胜乙，丁胜乙； 丙得 6 分，甲又省乙，丙胜乙，则丙胜丁； 所有比赛，丁只胜过乙一次，所以丁得 3 分。 223. （第六届华杯赛复赛第（第六届华杯赛复赛第 10 题）题）在某市举行的一在某市举行的一 次乒次乒乓球邀请赛上，有三名专业选手乓球邀请赛上，有三名专业选手 与三名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。与三名业余选手参加。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。 为公平起见，用以下方法记分。开赛前每位为公平起见，用以下方法记分。开赛前每位 迭手各有迭手各有 10 分作为底分，每赛分作为底分，每赛场，胜场，胜 者加分，负者扣分。每胜专业选手一场的加者加分，负者扣分。每胜专业选手一场的加 2 分，每胜业余选手分，每胜业余选手场的加场的加 1 分；专业分；专业 选手每负一场扣选手每负一场扣 2 分，业余选手每负一场扣分，业余选手每负一场扣 l 分。现问：一位业余选手至少要胜几场，分。现问：一位业余选手至少要胜几场， 才能确保他的得分比专业选手为高才能确保他的得分比专业选手为高? 【分析】【分析】设、为业余选手，、为专业选手如果胜4 场，这时有两种情况：(1)胜、及两 名专业选手这时 4 其增加 112215 分。负于的专业选手至多增加 11222 4 分。设,中胜，则也至多增加 222114 分所以必定进入前三名。(2)胜三名专 业选手及一名业余选手，这时共增加 222116 分，每名专业选手至多增加 22 2114 分， 所以必定进入前三名如果胜 3 场， 不一定能进入前三名。 上图用表示胜， 等等而、都胜及这时增加 221113 分，增加 22214 分，增加 2 6 21115 分，增加 221124 分，所以只能是第四名。因此业余选手至少 胜 4 场，才能保证进入前三名。注：本题原来的标准解答有错，误以为胜 3 场就够了。 224. （2010年第年第15届华杯赛决赛第届华杯赛决赛第11题）题）足球队， ， ， ，进行单循环赛（每两队赛一场） ，每足球队， ， ， ，进行单循环赛（每两队赛一场） ，每 场比赛胜队得场比赛胜队得3分，负队得分，负队得0分，平局两队各得分，平局两队各得1分。若， ， ，队总分分别是分。若， ， ，队总分分别是1，4，7，8， 请问：队至多得几分？至少得几分？请问：队至多得几分？至少得几分？ 【解析】设A、B、C、D、E五队总分分别为a、b、c、d、e， 五队总和20Sabcdee 五队总循环赛共 2 5 C10场，最多 30 分，每增加一场平局，总分少 1 分 1000a ，43 1001 1 1 1b 73 10c ，833 1 1d 至少 3 场平局： 至多 5 场平局： 013 112 211 220 211 A B C D E 胜平负 013 040 211 222 121 A B C D E 胜平负 25202757ee 注意这种论证与构造相结合的解题思路 225. （2012年第年第17届华杯赛决赛届华杯赛决赛B卷第卷第7题） 有题） 有16位选手参加象棋晋级赛位选手参加象棋晋级赛, 每两人都只赛一盘每两人都只赛一盘. 每盘胜者积每盘胜者积1分分, 败者积败者积0分分. 如果和棋如果和棋, 每人各积每人各积0.5分分. 比赛全部结束后比赛全部结束后, 积分不少于积分不少于 10分者晋级分者晋级. 那么本次比赛后最多有那么本次比赛后最多有_位选手晋级位选手晋级. 【分析】11 构造与论证构造与论证 226. （第五届华杯赛复赛第 17 题）现有 11 块铁，每块的重量都是整数，任取其中 10 块， 都可以分成重量都等的两组，每组有 5 块铁，试说明：这 11 块铁每块的重量都相等。 【分析】 任取一块后， 其余的可分成两组， 重量相等， 因此， 其余的铁块的重量的和是偶数， 换句话说，11 块铁的总重量与其中任一块铁的重量，奇偶性相同。这样，11 块铁的重量， 或者全是奇数，或者全是偶数。 7 如果全是偶数，将每块铁的重量减少一半，仍然符合题中的条件。 如果全是奇数，将每块铁的重量增加 1，仍然符合题中的条件。 不断采取以上两种做法。注意铁的重量增加 1 后，就应当除以 2(即减少一半)。因此铁的总 重量将不断减少。除非每块铁的重量都是 1 因为铁的总重量不能无限的地减少下去， 所以经过若干次上述的做法后， 铁块的重量全变为 1，即全都相等。将这一过程反回去，就知道上一步铁块的重量也都相等，于是最初的铁块 重量也都相等。 227. （2012年第年第17届华杯赛决赛届华杯赛决赛A卷第卷第10题）题） 能否用500个右图所示的1 2的小长方形拼成一 个的5 200的大长方形，使得5 200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明 理由 【答案】能； 228. （2012年第年第17届华杯赛决赛届华杯赛决赛B卷第卷第9题）题）能否用540个右图所示的1 2的小长方形拼成一 个的6 180的大长方形，使得6 1800的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明 理由 【答案】能 229. （2012年第年第17届华杯赛决赛届华杯赛决赛C卷第卷第11题）题）能否用500个右图所示的1 2的小长方形拼成一 个的5 200的大长方形，使得5 200的长方形的每一行、每一列都有偶数个星？请说明 理由 8 答案：能 230. （2010 年第 15 届华杯赛决赛第 9 题）如图有如图有 5 个由个由 4 个个1 1的小正方格组成的不同形的小正方格组成的不同形 状的硬纸板。问能用这状的硬纸板。问能用这 5 个硬纸板拼成图中的个硬纸板拼成图中的4 5的长方形吗？如果能，请画出一种的长方形吗？如果能，请画出一种 拼法；如果不能，请简述理由。拼法；如果不能，请简述理由。 【解析】不能，对4 5长方形作黑白染色 黑格数白格数， 但若对、 这五个图形进行黑白染色，图黑格 白格 但图黑白， 办不到 周期性问题周期性问题 231. （第二届华杯赛复赛第 10 题）一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，2，3，5，8，13，21， 34，55，问：这串数的前，问：这串数的前 100 个数中（包括第个数中（包括第 100 个数）有多少个偶数？个数）有多少个偶数？ 【分析】观察一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有一个偶数。这个规律是不难解 释的：因为两个奇数的和是偶数，所以两个奇数后面一定是偶数。另一方面，一个奇数和一 个偶数的和是奇数，所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数。这样，一个偶数后面 一定有连续两个奇数，而这两个奇数后面一定又是偶数，等等。 9 因此，偶数出现在第三、第六、第九第九十九个位子上。所以偶数的个数等于 100 以内 3 的倍数的个数，即等于 99 333，于是，这串数的前 100 个数中共有 33 个偶数。 232. （第三届华杯赛复赛第 2 题）某年的某年的 10 月里有月里有 5 个星期六，个星期六，4 个星期日问：这年的个星期日问：这年的 10 月月 1 日是星期几？日是星期几？ 【分析】【分析】10 月有 31 天，因为有 5 个星期六，只有 4 个星期日，所以 10 月 31 日是星期六 因为 314 73，所以，3 日也是星期六，1 日是星期四。 233. （第三届华杯赛复赛第 3 题）电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈现电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈现 在， 一只红跳蚤从标有数字在， 一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了的圆圈按顺时针方向跳了 1991 步， 落在一个圆圈里 一步， 落在一个圆圈里 一 只黑跳蚤也从标只黑跳蚤也从标 有数字有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了 1949 步，落在另步，落在另 一个圆圈里问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？一个圆圈里问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？ 【分析】【分析】电子跳蚤每跳 12 步就回到了原来位置，由于 1991165 1211 所以红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发， 按顺时针方向跳了1991步时， 跳到了标有数字“11” 的圆圈。 同理，由 1949162 125，知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按逆时针方向跳了 162 个 12 步后跳到了标有数字“7”的圆圈，于是所求的乘积是 11 777 10 234. （第八届华杯赛复赛第 12 题）电予跳蚤游戏盘电予跳蚤游戏盘(如下图如下图)为为ABC，8AB ，9AC ， 10BC ，如果电子跳蚤开始，如果电子跳蚤开始时在时在BC边上的边上的 0 P点，点， 0 4BP 第一步跳蚤跳到第一步跳蚤跳到AC边上边上 1 P点，且点，且 10 CPCP； 第二步跳蚤从第二步跳蚤从 1 P跳到跳到AB边上边上 2 P点，且点，且 21 APAP； 第三步蚤从第三步蚤从 2 P跳回到跳回到BC边上边上 3 P点，且点，且 32 BPBP； 跳蚤按上述规则跳下去，第跳蚤按上述规则跳下去，第 2001 次落点为次落点为 2001 P，请计算，请计算 0 P与与 2001 P之间的距离之间的距离 【分析】【分析】 因为 0 4BP ，所以 0 1046CP ， 第一步：从 01 PP， 10 6CPCP；所以 1 963AP ， 第二步：从 12 PP， 21 3APAP；所以 2 835BP ， 第三步：从 23 PP， 32 5BPBP；所以 3 1055CP ， 第四步：从 34 PP， 43 5CPCP；所以 4 954AP ， 第五步：从 45 PP， 54 4APAP；所以 5 1046BP ， 第六步：从 56 PP， 65 6BPBP； 因此， 6 P与 0 P点重合，而20016 3333 ，故 2001 P点与 3 P点重合 0 P与 2001 P之间的距离就是 0 P与 3 P之间的距离，即651( 03 CPCP)或541 ( 30 BPBP)所以 0 P与 2001 P之间的距离是 1 235. （第九届华杯赛决赛第 8 题）一个最简真分数一个最简真分数 7 M ，化成小数后，如果从小数点后第一，化成小数后，如果从小数点后第一 位起连续若干位的数字之和等于位起连续若干位的数字之和等于 2004，求的值。，求的值。 【分析】根据最简真分数的规律，则知是 3 236. （第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第 10 题）2009 年的元旦是星期四，问：在 2009 年中，哪几个月的第一天也是星期四？哪几个月有 5 个星期日？ 2 【分析】10 月份的第一天是星期四，3、5、8、11 月有五个星期日。 【分析】【分析】下表列出各个月的 1 号的相关信息： P3 P2 P1 P0 CB A 11 月份 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 号距 1 月 1 号的天数 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334 除以 7 的 余数 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 1 号的星期 数 日 日 三 五 一 三 六 二 四 日 二 10 月 1 号与 1 月 1 号相距 273 天，273 是 7 的倍数，所以，10 月份的第一天也是星期 四。 3 月 1 号是星期日，3 月份有 31 天，所以 3 月有 5 个星期日； 5 月 3 号是星期日，5 月份有 31 天，所以 5 月有 5 个星期日； 8 月 3 号是星期日，8 月份有 31 天，所以 8 月有 5 个星期日； 11 月 1 号是星期日，11 月份有 30 天，所以 11 月有 5 个星期日。 237. （第十二届华杯赛决赛第 14 题） 圆周上放置有 7 个空盒子， 按顺时针方向依次编号为 1，2，3，4，5，6，7。小明首先将第 1 枚白色棋子放入 1 号盒子，然后将第 2 枚白色 棋子放入 3 号盒子，再将第 3 枚白色棋子放入 6 号盒子，放置了第 k1 枚白色棋 子后，小明依顺时针方向数了 k1 个盒子，并将第 k 枚白色棋子放在下一个盒子中， 小明按照这个规则共放置了 200 枚白色棋子，随后，小青从 1 号盒子开始，按照逆时针 方向和同样的规则在这些盒子中放入了 300 枚红色棋子， 请回答： 每个盒子各有多少枚 白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？ 【分析】【分析】 依顺时针方向不间断地给这 7 个盒子编号， 则 1 号盒子可有的号数为 1、 8、 15、 7+1； 2 号盒子可有的号数为 2、9、16、7+2；7 号盒子可有的号数为 7、14、21、7+7（为 整数） 。 根据规则，小明将第 1 枚棋子放入 1 号盒子，将第 2 枚棋子放入 3 号盒子，将第 3 枚棋 子放入 6 号盒子， 将第 4 枚棋子放入 10 号即 3 号盒子， 将第 5 枚棋子放入 15 号即 1 号盒子， 将第 6 枚棋子放入 21 号即 7 号盒子，将第 7 枚棋子放入 28 号即 7 号盒子，按照这个规律， 从第 8 枚棋子开始，将重复上述棋子放入的盒子，即第 8 枚放入 1 号盒子，第 9 枚放入 3 号盒子，也就是每 7 枚棋子为一个周期。并且这 7 枚棋子有 2 枚放入 1 号盒子，有 2 12 枚放入 3 号盒子， 有 2 枚放入 7 号盒子， 有 1 枚放入 6 号盒子， 2、 4、 5 号盒子未放入棋子。 各盒子中的白子数目如下表。 2007 284，经过 28 次循环后，第 197 枚棋子放入 1 号盒子，第 198 枚棋子放入 3 号盒子，第 199 枚棋子放入 6 号盒子，第 200 枚棋子放入 3 号盒子。 在小青逆时针放子时， 我们依逆时针方向给盒子不间断编号， 同样地每 7 枚棋子为一个 周期， 3007 426，可以求出各盒子中的红子数目如下表。 盒子编号 1 2 3 4 5 6 7 白子 57 0 58 0 0 29 56 红子 86 85 43 0 0 86 0 棋子总数 143 85 101 0 0 115 56 238. （2011 年第 16 届华杯赛复赛第 11 题）设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇 数, 则这个月的 20 日可能是星期几? 【答案】【答案】3，5。 【分析】【分析】 设这个月的第一个星期日是a日17a， 则这个月内星期日的日期是7ka， k是自然数，731ka。要求有三个奇数。 当1a 时， 要使71k 是奇数，k为偶数， 即k可取 0、 2、 4 三个值， 此时771kak， 分别为 1、15、29，这时 20 号是星期五。 当2a 时，要使72k 是奇数，k为奇数，即k可取 1、3 两个值，72k 不可能 有三个奇数。 当3a 时，要使73k 是奇数，k为偶数，即k可取 0、2、4 三个值，此时 773kak，分别为 3、17、31，这时 20 号是星期三。 当47a时，7ka不可能有三个奇数。 239. （2013年第18届华杯赛决赛C卷第2题） 农谚逢冬数九讲的是, 从冬至之日起, 每九天 分为一段, 依次称之为一九, 二九, , 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月 21日是冬至, 那么2013年2月3日是_九的第_天. 解析：31-21+1+31+3=45,45 9=5 ，2013年的2月3日是五九的第9天. 240.（2013年第18届华杯赛决赛试题A卷第2题）农谚逢冬数九讲的是, 从冬至之日 起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, , 九九, 冬至那天是一九 的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的元旦是_九的第 _天. 解析：31-21+1+1=12,129=13，2013年的元旦是二九的第3天. 241.（2013年第18届华杯赛决赛B卷第2题）农谚逢冬数九讲的是, 从冬至之日起, 每 九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, , 九九, 冬至那天是一九的第一 天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的2月10日是_九的第 _天. 解析：31-21+1+31+10=52,529=57，2013年的元旦是六九的第7天. （2011 年第 16 届华杯赛 C卷第 12 题） 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数, 则 这个月的 21 日可能是星期几? 13 抽屉原理抽屉原理 242. （第四届华杯赛复赛第 16 题）四个人聚会，每人各带了四个人聚会，每人各带了 2 件礼品，分赠给其余三个人件礼品，分赠给其余三个人 中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。中的二人，试证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。 【分析】【分析】将这四个人用 4 个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线。由于 每人送出 2 件礼品，图中共有 8(4 2)条线。由于每人的礼品都分赠给 2 个人，所以每两点 之间至多有 2(11)条线。四点间，每两点连一条线，一共6 条线，现在有 8 条线，说明 必有两点之间连了 2 条线，还有另外两点(有一点可以与前面的点相同)之间也连了 2 条线， 这就是要证明的结论。 14 【注】有 6 种袜子，每种不超过 2 只，如果取出 8 只，那么必有 2 种袜子各 2 只。这与本题 实质上是一回事。 243. （第十届华杯赛决赛第 10 题）有 2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 共 10 个自然数， 从这 10 个数中选出 7 个数，使这 7 个数中的任何 3 个数都不会两两互质； 说明从这 10 个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。 10解答：这 7 个数是 2，3，4，6，8，9，10； 将这 10 个自然数分为三组：偶数 2，4，6，8，10 为第一组；3，9 为第二组；5，7，11 为第三组。显然，第一和第二组每组至多只能选出 1 个数，第三组的 3 个自然数两两互质， 最多能选 3 个。例如：2、3、5、7、11 就两两互质。所以从 2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 最多可以选出 5 个数，这 5 个自然数两两互质。 【评分参考】正确，给 4 分；答案 5 正确，给 4 分，理由陈述正确，给 2 分。 操作题操作题 244. （第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛 8 题）黑板上写着黑板上写着 1 至至 2008 个自然数，个自然数， 小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自 然数，这个数可能的最大值和最小值的差是然数，这个数可能的最大值和最小值的差是_ 【分【分析】析】先求剩下数的最大值，那么擦去的数应该尽量小，找到规律： 首先擦去 1，3，写上 2 擦去 2，2，写上 2 擦去 2，4，写上 3 擦去 3，5，写上 4 擦去 4，6，写上 5 。 。 。 。 。 擦去 2006，2008，写上 2007。 所以剩下数的最大值为 2007。 同理可知剩下数的最小值为 2。 所以最大值和最小值的差是 2005。 245. （第五届华杯赛复赛第 6 题）一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干 重量相等的黑球，这时两边平衡，在右盘上取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个 黑球置于右盘上，同时给左盘加 20 克砖码，这时两边也平衡，如从右盘移两个白球到 左盘上， 从左盘移一个黑球到右盘上， 则须再放 50 克砖码于右盘上， 两边才平衡。 问： 白球、黑球每个重多少克？ 15 【分析】第一次挪动白球、黑球并给左盘加 20 克砝码而使天平平衡，说明 4 个黑球的重量 等于 2 个白球的重量加 20 克， 第二次挪动并给右盘加 50 克砝码而导致平衡， 说明 4 个白球 的重量等于 2 个黑球的重量加 50 克， 即 2 个白球的重量等于 1 个黑球的重量加 25 克， 所以 4 个黑球的重量等于 1 个黑球的重量加 45 克，即 3 个黑球的重量是 45 克，1 个黑球的重量 是 15 克。从而 2 个白球的重量是 152540 克，1 个白球的重量是 20 克。 246. （第九届华杯赛决赛第 2 题）图是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图图是一些填有数字的方形格子，一个微型机器人从图 中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬中阴影格子开始爬行，每爬进邻近一个格子后，它就将该格子也涂上阴影，然后再爬 进与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，进与该格子有公共边的格子中，继续将该格子涂上阴影，。依次将微型机器人所涂。依次将微型机器人所涂 过的阴影格子中的数除以得到的余数排成一列，结果是过的阴影格子中的数除以得到的余数排成一列，结果是 阴影格子所组成的数字是（阴影格子所组成的数字是（ ） 。） 。 【分析】【分析】9 247. （第十（第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第 3 题）将七位数题）将七位数“1357924”重复写重复写 287 次次 组成一个组成一个 2009 位数位数“13579241357924”。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按。删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按 上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 . 【分析】【分析】 根据题意， 最后剩下的数为第 1024 个数， 则最后剩下的数字为：102471462， 所以最后剩下的数字为 3. 最值问题最值问题 248. （第十一届华杯赛决赛第 13 题） 华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年： “猛攻若战是第 一，熟练生出百巧来，勤能补拙是良训，一分辛劳一分才。”现在将诗文中不同的汉字 对应不同的自然数， 相同的汉字对应相同的自然数， 并且不同汉字所对应的自然数可以 16 排列成一串连续的自然数。如果这个 28 个自然数的平均值是 23，问“分”字对应的自然 数的最大可能值是多少？ 【分析】【分析】读题意，诗中共有 28 个字母，其中，一重复了 3 次，是重复了 2 次，分重复了 2 次，不同的数共有 28-2-2-1=23 个；现在要让“分”尽量的大，则让其他的数尽量的小。令最 小的数为，次小的为+1最大的则为+22。看是否满足，不满足再进行调整。 根据题意，这 28 个数的平均数是 23，则他们的和是：23 28=644。 3+2(+1)+(+2)+3+.+2(+22)=2+2+2+21+(+22)232=276+28， 则 （644-276） 28=13.4， 此时还多 4，则可把一个+1 变为+5，即让是代表 18 即可。此时分最大代表的是 35。 249. （第十二届华杯赛决赛第 1 题） “华”、 “杯”、 “赛”三个字的四角号码分别是“2440”、 “4199” 和“3088”， 将“华杯赛”的编码取为 244041993088， 如果这个编码从左起的奇数位的数码 不变，偶数位的数码改变为关于 9 的补码，例如：0 变 9，1 变 8 等，那么“华杯赛”新 的编码是_. 【分析】偶数位自左至右依次为 4、0、1、9、0、8，它们关于 9 的补码自左至右依次为 5、 9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981 250. （2010 年第 15 届华杯赛决赛第 7 题）数字卡片数字卡片“3”、“4”、“5”各各 10 张，任意选出张，任意选出 8 张张 使它们的数字和是使它们的数字和是 33，则最多有，则最多有 张是卡片张是卡片“3”。 【解析】设卡片“3”有a张，其余卡片数字和为b 333ab，显然|38ba， 从87a ， ，经枚举尝试，发现当3a 时， 5 2455554b 张卡片 最多有 3 张卡片“3” 251.（2012 年第年第 17 届华杯赛决赛届华杯赛决赛 A 卷第卷第 5 题）题）现有 211名同学和四种不同的巧克 力, 每种巧克力的数量都超过 633颗. 规定每名同学最多拿三颗巧克力, 也可以 不拿. 若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组, 则人数最多的一组至 少有_名同学. 【答案】7 252. （2012 年第年第 17 届华杯赛决赛届华杯赛决赛 B 卷第卷第 8 题）题） 平面内有 5 个点, 其中任意 3个点均 不在同一条直线上, 以这些点为端点连接线段, 则除这 5个点外, 这些线段至少 17 还有_个交点. 【答案】1 253. （2013 年第 18 届华杯赛决赛试题 A 卷第 3 题）某些整数分别被 11 9 9 7 7 5 5 3 ，除后, 所 得的商化作带分数时, 分数部分分别是 9 2 7 2 5 2 3 2 ，, 则满足条件且大于 1 的最小整数是 _. 【分析】设整数为A, 分别被 11 9 9 7 7 5 5 3 ，除后, 所得的商分别为AAAA 9 11 7 9 5 7 3 5 ，; ) 1( 9 11 9 2 1 9 11 ) 1( 7 9 7 2 1 7 9 ) 1( 5 7 5 2 1 5 7 ) 1( 3 5 3 2 1 3 5 AAAAAAAA， 显然，当A-1是3，5，7，9的时候满足题意。所以A-1=315，A=316。 254. （2013 年第 18 届华杯赛决赛 B卷第 3 题）某些整数分别被 13 11 11 9 9 7 7 5 ，除后, 所得的 商化作带分数时, 分数部分分别是 11 2 9 2 7 2 5 2 ，, 则满足条件且大于 1 的最小整数是 _. 【分析】设整数为A, 分别被 13 11 11 9 9 7 7 5 ，除后, 所得的商分别为AAAA 11 13 9 11 7 9 5 7 ，; ) 1( 11 13 11 2 1 11 13 ) 1( 9 11 9 2 1 9 11 ) 1( 7 9 7 2 1 7 9 ) 1( 5 7 5 2 1 5 7 AAAAAAAA， 显然，当A-1是5，7，9，3的时候满足题意。所以A-1=3465，A=3466。 255. （2013 年第 18 届华杯赛决赛 C 卷第 3 题）最简单分数 b a 满足 4 1 b a 5 1 , 且 b 不超 过 19, 那么 a+b 的最大可能值与最小可能值之积为_. 解析： 通分子得 a4 a b a a5 a ， 4ab，=13，=1，=1。所以，=12，和有唯一解，=13，=156。 符：=13，=156。 309. （第十二届华杯赛决赛第 7 题） 一个自然数， 它的最大的约数和次大的约数的和是 111， 这个自然数是_. 40 【分析】【分析】因为 111 是奇数，而奇数奇数偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一 奇一偶。而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的 次大约数应为这个偶数的 1 2 ，设这个次大约数为，则最大约数为 2，2111，求得37， 274，即所求数为 74。 310. （第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第 6 题）已知三个合数,两两互质，且 =11011 28，那么+的最大值为 【分析【分析】分解质因式： =11011 28=11 1001 28= 222 271113，由于， ，两两互质，并 且+要最大，则让数尽量的大，则最大为：4、49、1573，则+的最大值为 1626。 311. （第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第（第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛第 11 题）已知题）已知,是三个自然数，且与的最是三个自然数，且与的最 小公倍数是小公倍数是 60，与的最小公，与的最小公倍数是倍数是 270。求与的最小公倍数。求与的最小公倍数。 【分析】【分析】首先注意到，60 可以分解为 2 23 5 ，270 可以分解为 23 235，,=60，我们根 据质因子最多相乘法，假设，不是 2 2的倍数，那一定是 2 2的倍数，那么这样一来, 一定含有 2 2这个因子，所以出现了矛盾。这样我们得到是 2 2的倍数。同理，同学们 可以自己分析得到是 3 3的倍数。 到这儿为止， 我们发现,中一定含有 23 23这个因子。 若中不含 5 这个因子， ,都含 5 这个因子， 在这种情况下， 最小公倍数为 23 235=540； 若中含 5 这个因子，,可以含也可以不含 5 这个因子，在这种情况下，最小公倍数为 23 235=-540 或者 23 23=108。 312. （2010 年第 15 届华杯赛决赛第 5 题） 将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一 次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为次操作，经连续若干次这样的操作后可以变为 6 的数称为的数称为“好数好数”，那么不超过，那么不超过 2012 的的 “好数好数”的个数为的个数为 ，这些，这些“好数好数”的最大公约数是的最大公约数是 。 【解析】一个数与其各位数字之和模 9 同余，显然这个数除以 9 余 6，这是一个同余类，其 内部的数从小到大排成一个等差数列，公差为 9 首项为 6，末项为 2004，其个数为 2004691223 其最大公约数为 3 【答案】805.4 313. （2013年第18届华杯赛决赛试题A卷第7题）设是小于50的自然数, 那么使得4+5和7+6 有大于1的公约数的所有的可能值之和为 . 解析：设 4n+5 和 7n+6 大于 1 的公约数为 A,则 A(4n+5),A(7n+6)。(4n+5) 7，(7n+6) 4 相减消去 n， 则差能被 11 整除， (4n+5) 7-(7n+6) 4=11,11 是质数， 所以 A只能是 11。（4n+5） ， （7n+6）都是 11 的倍数，为了分别找出所有的 n，2 （4+5）-（7+6）=n+4，11（n+4）， 所以 n=7,18,29,40。所以答案为 7+18+29+40=94。 314. （2013年第18届华杯赛决赛试题A卷第10题）小明与小华同在小六(1)班, 该班学生人数 41 介于20和30之间, 且每个人的出生日期均不相同. 小明说: “本班比我大的人数是比我小 的人数的两倍”, 小华说: “本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”. 问这个班有多少 名学生? 解析：根据小明，小华的话可知：六(1)班人数-1是3的倍数，也是4的倍数。 3，4=12，所以这个班有12 2+1=25名学生 315. （2010年第15届华杯赛决赛C卷第6题） 在一条 3000m 长的新公路的一侧， 从一端开始 等距离立电线杆，按原设计，电线杆间隔 50m， 已挖好了坑. 若间隔距离改为 60m， 则需要重新挖 _个坑， 有_个原来挖好的坑将废弃不用. 316. (2011年第16届华杯赛决赛B组第12题)100 名运动员的编号是从 1 到 100. 若每个运动 员在黑板上写下自己编号中的最大奇因子, 那么所有运动员在黑板上写下的数的总和 是多少? 42 高斯记号高斯记号 317. （2011 年第 16 届华杯赛复赛第 12 题）以 x表示不超过的最大整数, 设自然数满足 2011 1515 1 15 3 15 2 15 1 nn , 则的最小值是多少? 【分析】【分析】令 15mk ，k是自然数，首先考虑满足下式的最大的m， 1231 2011 1515151515 mm L 于是 1231 1515151515 mm L 0 15 1 152 15115kk L 2 1511513 2011 22 k kkk k 因此 2 15134022kk 又 2 15 1713 174114 4022， 2 15 1613 1636324022， 得知k最大可以取 16，当16k 时，240m，注意到这时而 12316 15 12 1816 16 122008 15151515 2011 L 所以 253 是满足题目要求的n的最小值。 318. （2011年第16届华杯赛C卷第13题） 以 x表示不超过 x 的最大整数, 设自然数 n 满 足 则 n 的最小值是多少? 【答案】252 319.（2012年第年第17届华杯赛决赛届华杯赛决赛B卷第卷第5题）题）用x表示不超过x的最大整数, 记 x=x-x, 则算式 20121201222012320122012 5555 的值为_ 43 数字谜数字谜 320. （第一届华罗庚金杯赛复赛第 8 题）将将 0、1、2、3、4、5、6 这七个数字填在圆圈的这七个数字填在圆圈的 方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数式。问填在方格内方格内，每个数字恰好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数式。问填在方格内 的数是几？的数是几？ 【分析】题目要求用七个数字组成 5 个数，说明有三个