基于MATLAB的数字滤波器的设计

基于MATLAB的数字滤波器设计引言1数字滤波器是完成信号滤波处理功能、使用有限精度算法实现的离散线性非变量系统，由模拟信号采样和量化的一组数字，输出为经过转换或处理的另一组数字。数字滤波器具有高可靠性、高精度、高灵活性等卓越优点。这里说的数字滤波器是指理想的带通、低通等频率选择数字滤波器。数字滤波器设计的重要步骤是确定确定传输函数H(z)的过程，即确定可实现的传输函数H(z)，称为数字滤波器设计。数字滤波器的典型设计过程是(1)根据实际需要确定滤波器的性能要求(通常是频域内给定数字滤波器的性能要求)。(2)找到满足预定性能要求的离散时间线性系统。(3)实现了有限精度运算设计的系统。(4)通过仿真验证设计的系统是否满足给定的性能要求。2数字滤波器设计过滤器分为模拟过滤器和数字过滤器两种。数字滤波器可以理解为将表示输入信号的数字时间序列转换为表示输出信号的数字时间序列，并在转换过程中以预定形式改变信号的计算程序或算法。数字滤波器是从数字滤波器功能分为低通、高通、带阻、带通滤波器的多种类别，根据数字滤波器脉冲响应的时域特征，数字滤波器可分为两种：无限长脉冲响应滤波器(IIR)和有限长脉冲响应滤波器(fir)。数字滤波器指数：通常，滤波器的幅度-频率特性是段常数，例如低通在通带内近似为1，截止带内近似为0，实际设计的滤波器不是锐通截止带两个范围，两者之间总是有一个通带。设计滤波器时，预先给定幅频特性的容差在通过带内的振幅响应近似为1，在阻挡带内的振幅响应近似为0，误差近似为0。(1)在公式中，WC和wr分别是通过频带边界频率和关闭频带边界频率，wr-wc是转换频带。在特定技术指标中，通常用频带波动来表示，用最小频带衰减At来表示，具体的相应公式在此没有详细说明。2.1 IIR数字滤波器设计IIR DF的脉冲响应h(n)与输入输出的关系是无限的，如下所示：(2)系统函数包括=(3)一般来说，有三种方法设计无限长单位冲量响应(IIR)数字过滤器。第一种方法是先设计合适的模拟过滤器，然后将s平面映射到z平面以获得所需的数字过滤器。模拟滤波器的设计方案非常成熟，不仅得到了闭合形式的公式，而且设计系数也进行了形式化处理。因此，用模拟滤波器设计数字滤波器的方法是正确、简单、普遍采用的。对于此方法，工程中有两种常用的转换方法脉冲响应不变方法和双线性转换方法。第二种方法是在z平面中直接设计IIR数字滤镜，并提供闭合形式的公式，或根据所需的滤镜响应在z平面中多次选择极点和零点的位置以近似对应的响应。第三种方法是利用优化技术设计在z平面上选择极和零点适当位置的参数，以近似特定优化准则意义上的期望响应。但是，通常不能通过给定响应的闭合形式函数表达式获得过滤器的系数(0，极点位置)。优化设计需要完成很多迭代运算，这种设计方法实际上也是IIR过滤器的直接设计。本文重点介绍了如何用模拟滤波器设计相应的IIR数字滤波器。(1)脉冲响应不变方法冲激响应不变方法是数字滤波器的单位冲激响应序列h(n)近似模拟滤波器的冲激响应，使h(n)正好等于的采样值。设定符合要求的模拟滤波器。因为： ，正式导出：具体转换如下(以第一场戏为例)(4)拉普拉斯逆变换，知道了取样了创建Ztransform(5)极与：的关系(6)一般对映关系(7)图1 S平面-z平面转换图因此，仿真系统稳定了因果数字系统，稳定了因果关系。根据脉冲响应不变量，从s平面到z平面的映射不是单值关系，而是从s平面沿虚拟轴扩展时间段，然后沿映射关系映射到z平面，因此脉冲响应不变量方法仅适用于频带限制滤波器(例如，低通、带通)。在Matlab中使用m文件impinvar，可以实现模拟传输函数的脉冲响应不变方法。(2)双线性变换法脉冲响应不变方法是高频带通带，不适合带阻和高通滤波器设计。因为这种方法很可能导致混合。因此，平面虚拟轴z平面单位圆为一周而且，而且，因此，选择格式副本(8)其中任意正常数是可取的，稍后导出。设计理念：将模拟滤波器设计为数字滤波器。图2数字域频率与仿真域频率的对应关系转换公式推断为：如下所示因为只对频率转换感兴趣，所以可以设置。，(称为双线性变换)(9)因此，将模拟滤镜转换为数字滤镜的公式如下(10)可视为两个复杂平面变换的双线性变换公式.可以得到(11)常识可以得到：假想轴的单位圆周。上半平面和左半平面上的单位圆。上半平面和右半平面上的单位圆外部。因此，如果模拟滤波器是稳定的，则双线性变换后数字滤波器也是稳定的。双线性变换方法是单值映射，因此消除了频率锯齿现象。双线性变换方法的缺点是模拟频率和数字频率之间的非线性。要使用这种非线性关系，转换的连续系统的振幅响应必须是分段常数(一定范围的振幅响应类似于一定常数)。否则，映射的数字频率响应相对于原始模拟频率响应变形。在双线性变换中，为了解决频率非线性关系，提前畸形的方法，即其中K=2/T。在Matlab中使用m文件bilinear，可以实现模拟传输函数的双线性变换方法。MATLAB IIR数字滤波器设计过程包括两个阶段。在第一阶段，根据给定的指标确定滤波器的阶数n和频率比例系数Wn。在第二阶段，使用这些参数和给定的波形参数确定传递函数的关系。阶估计：使用双线性变换方法设计数字滤波器时，首先估计IIR数字滤波器的阶，其m文件为：buttord用于batterworth滤镜，cheb1ord用于Chebyshev 1滤镜，cheb2ord用于chebishev 2英寸滤镜，ellipord用于椭圆滤镜。过滤器设计：对于基于线性转换方法的IIR过滤器设计，对应于MATLAB工具箱中具有相应函数的四种近似技术，例如barwors、Chebyshev类型1和类型2以及椭圆近似。特别是，可以使用以下m文件：butter设计batworth过滤器，cheby1设计Chebyshev 1过滤器，cheby2设计Chebyshev 2过滤器，ellip设计椭圆过滤器。这些函数的输出可以是滤波器传输函数分子和分母的系数矢量，也可以是滤波器的零极矢量和标量增益系数。此外，利用zp2tf，可以通过滤波器的0极矢量和标量增益系数来获得传输函数分子和分母的系数矢量。因此，利用zp2sos函数，可以获得传递函数分子和分母系数矢量的二次项系数。计算传输函数的系数后，可以使用m文件freqz计算频率响应。2.2 fir数字滤波器设计fir df的冲量响应h(n)有限长，m阶fir df可以表示为：(12)系统函数为：(13)与IIR数字滤镜的设计不同，fir滤镜的设计与模拟滤镜的设计无关。因此，fir滤波器是基于对给定振幅响应的直接近似而设计的，通常需要线性相位响应。要保证过滤器具有线性拓扑特性，过滤器系数必须满足条件：h(n)=h(M-1-n)。目前，杉树过滤器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率采样法、Chebyshev等褶皱近似的最佳设计方法。通常更多使用的是第一种方法和第三种方法。这是因为窗函数方法比较简单，可以应用现成的窗函数公式，如果技术规范不严格，则诗的灵活性很高。优化设计方法需要使用计算机计算，但可以获得最佳等价物的线性相位fir滤波器。Chebyshev等波形线性相位fir滤波器的计算机辅助设计程序进一步完善，采用REMEZ迭代算法，设计效率也提高，在应用领域越来越占优势。(1)窗口函数方法在一般设计过程中，总是给出理想的滤波频率响应，并设计了用该频率响应接近理想的fir滤波器。在此近似中，最直接的方法是在时域中使用fir滤波器的单位冲激响应h(n)来近似理想的单位冲激响应。因此，首先从的IDTFT导出(14)因为是矩形频率特性，所以必须是无限序列，非因果关系。但是，由于fir滤波器的长度有限，所以用长度有限的h(n)接近无穷大的最简单的方法是无限切到修剪最重要的部分长度为m的有限长序列。这相当于更频繁地应用长度为m的矩形窗口。可以用窗口函数w(n)修剪，该函数通常为m长(15)这种方法通常称为窗口函数方法，窗口函数的形状和长度m的选择是窗口函数方法的核心。例如，让我们看一下窗口函数方法的使用方法：提出希望频率响应函数(低通)图3理想低通滤波器的频率响应线性拓扑，代码段特性，即计算(无限长度)图4理想低通单位脉冲响应(无限长的一部分)添加窗户，长度，是(*)线性拓扑是关于偶数对称的，是关于偶数对称的，因此需要所以对对称有一个要求。图5窗口函数图6添加窗口后的单位冲量响应返回并确认是否符合准确度要求。图7图4中冲激响应的频率响应图8理想频率响应与实际频率响应的比较基本上，如果满意，根据切割、硬件、软件编辑。为了便于选择，表1中列出了五个常用窗口函数基本参数。表1 5个常用窗口函数基本参数类型窗口函数的旁瓣峰过渡皮带宽度添加窗口后过滤频带最小衰减Rectwin-134p/N-21巴雷特三角形-258p/N-25海宁-318p/N-44海明-418p/N-53Blackman-5712p/N-74(2)频率采样方法窗口设计方法是从时域开始，以特定形式的窗口函数截取有限长度的h (n)的理想h(n)，以此h(n)提供与理想频率响应相似的频率响应。知道有限长度序列可以通过该光谱的等长等间隔采样值精确地恢复原始序列。频率采样方法是从频域开始，以相等的间隔对理想的频率响应进行采样(16)然后使用它作为实际fir过滤器的频率特性的离散样本H(k)，也就是(17)H(k)可通过IDFT找到有限长序列h(n)(18)使用m个频率的单个样本H(k)也获得了fir滤波器的系统函数H(z)和频率响应。(19)可以获得滤波器的频率响应。设计线性拓扑的fir数字滤波器时，其采样值H(k)的相位振幅必须满足特定的约束条件，此设计必须引起注意。(3)最佳设计方法最佳设计方法是基于最佳均匀近似(最大误差最小化)理论，使用remitz算法设计的具有各向同性特性的设计方法。具体的设计阶段包括：标准化设计指标。确定remezord函数所需的参数。包括规格化边界频率、每个频带的振幅要求和涟漪要求等。规范化边界频率总是从0到1结束，所以只需增加中间的边界频率。频带振幅要求不包含变换区域，数量是边界频率数的一半加1。涟漪要求是频带内允许的波动要求，与分贝的关系如下：(20)使用remezord函数确定remez所需的参数。调用remez函数进行设计。使用freqz函数验证技术指标是否符合要求。2.3选择数字过滤器类型IIR和冷杉各有优缺点。让我们简单比较一下如何在实际使用中选择它们。表2 IIR和fir比较IIR冷杉设计方法使用AF的设计图表可以简单有效地完成设计使用计算机程序通常未解释的设计公式设计结果振幅-频率特性、相位-频率特性未知(缺点)、如果需要线性相位，则需要进行整体网络校正，但是会增加过滤器的顺序和复杂性可以获得振幅-频率