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文档简介
避免分类讨论的几种策略徐学军一些看似需要分类讨论的数学问题，虽然表现形式可能较为复杂，但其本质常存在简单的一面。因此，如果能用简单的观点、简化的方法对问题的各种情形实施综合、排除、转化等策略，则往往能找到解决问题的简易途径。一、充分利用隐含条件，缩小参数的取值范围例1 解关于x的不等式。解：因为x3，所以且。所以原不等式化为。即所以。解得x7。所以原不等式的解集为。例2 已知实数x满足不等式。求x的取值范围。解：因为所以x4或x4，此时所以原不等式可化为解得所以，所以原不等式的解集为例3 已知ABC中，角A、B、C成等差数列，求cosA的值。解：因为，所以。又因为角A、B、C成等差数列，所以。这样是不可能的，因此。所以。所以。二、将各种情形给予综合考虑，对问题进行整体处理例4 设函数。若0ab，且。证明：ab1。解：因为，即所以所以即因为，所以所以，所以。所以ab1。例5 圆的圆心C与抛物线的焦点F分居直线的两侧，求a的取值范围。解：求得C和F的坐标分别为C（a，1）、F（0，）因为圆心C与焦点F分居直线的两侧。所以C和F的坐标代入直线方程的左侧应为异号。即化简得所以。三、一些对称性问题，由于参数的地位均等，可以只考虑一种情形例6 （18届全苏中学生数学竞赛题）证明对任意实数a和任意正整数x、y有。证法1：因为，所以原不等式等价于。又因为a为任意实数所以不妨设所以，又因为所以。所以原不等式成立。证法2：左右。例7 已知锐角、满足等式。求证：。证明：不妨设，则。又因为所以当且仅当时，等号成立。所以。四、跳出常规思维，转变考虑问题的角度例8 已知m、x为实数，且当时，不等式恒成立，求x的范围？解：令由题意可知，当时，不等式恒成立。因为为关于m的一次函数。所以只要即解得。说明：若用分类的方法，需对的符号进行讨论。例9 从6名短跑运动员中选出4个，参加4100米接力赛，如果甲、乙两人不跑第一棒，则不同的参赛方案有几种？解：第一棒由甲、乙以外的4人中选一人参加，共有种方法；另三棒由剩下的5人中选出三人参加，共有种方法。所以满足条件的参赛方案共有种。说明：若对甲、乙是否入选进行讨论，则需分4种情况。例10 已知关于x方程，问a为何值时，方程至少有一个整数根？解：若，则原方程为，矛盾！所以时，故原方程可化为因为aN，所以解得又因为xZ，且当x=0时，。所以x=3或x=1，此时a=1。所以当a=1时，方程有两个整数根3和1
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