重庆一中高三数学月考理

重庆市一中2019届高三数学下学期5月月考试题 理（含解析）第卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足（是虚数单位），则（ ）A. 0B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】先求出复数z,再求|z|得解.【详解】由题得故选：C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，再求得解.【详解】由题得A=x|x1,B=x|-1x3，xZ=0,1,2,所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.若，则实数，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出a,b,c的范围，再比较大小即得解.【详解】由题得，所以abc.故选：A【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.下列说法正确的是（ ）A. 设是实数，若方程表示双曲线，则.B. “为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.C. 命题“，使得”的否定是：“，”.D. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是真命题.【答案】B【解析】【分析】逐一分析每一个命题的真假得解.【详解】A. 设是实数，若方程表示双曲线，则(m-1)(2-m)0，所以m2或m1,所以该命题是假命题；B. “为真命题”则p真且q真，“为真命题”则p,q中至少有个命题为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.所以该命题是真命题；C. 命题“，使得”的否定是：“，”.所以该命题是假命题；D. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是“则为的极值点”，如函数，但是不是函数的极值点.所以该命题是假命题.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和复合命题的真假，考查充要条件和导数，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.执行下面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件.【详解】执行框图如下：初始值：，第一步：，此时不能输出，继续循环；第二步：，此时不能输出，继续循环；第三步：，此时不能输出，继续循环；第四步：，此时不能输出，继续循环；第五步：，此时不能输出，继续循环；第六步：，此时要输出，结束循环；故，判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.6.在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了。”请问下列说法正确的是（ ）A. 甲说对了B. 甲做对了C. 乙说对了D. 乙做对了【答案】A【解析】【分析】根据题意分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论【详解】假设甲做对了，则乙和丙都做错了，乙和丙说的都对了，这不合题意；假设乙做对了，则甲和丙都说对了，也不合题意；假设丙做对了，则甲说对了，乙和丙都说错了，符合题意所以做对的是丙，说对的是甲故选：A【点睛】本题主要考查推理和证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法。在内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解.【详解】由题得.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一，所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选：【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题8.将函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简函数的解析式，再平移得到函数，再根据函数的对称性得解.【详解】由题得，将函数的图像向左平移个单位长度后得到，由题得,当k=0时，.故选：D【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查函数奇偶性的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知空间中不同直线、和不同平面、，下面四个结论：若、互为异面直线，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用空间几何元素的位置关系逐一对每一个命题判断得解.【详解】若、互为异面直线，设则，则，所以该命题是真命题；若，则与也有可能平行，所以该命题是假命题；若，所以，所以则，所以该命题真命题；若，则n有可能在平面内，所以该命题是假命题.故选：D【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象分析推理能力.10.在中，三内角、对应的边分别为、，且，边上的高为，则的最大值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】先化简已知得，再求出，再利用三角函数求h最大值得解.【详解】因为，所以所以.所以所以,所以当B=时，h取最大值.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个.A. 71B. 66C. 59D. 53【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有0、1、3、6，0、1、4、5，0、1、2、7，0、2、3、5，1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案【详解】根据题意，四位数字相加和为10的情况有0、1、3、6，0、1、4、5，0、1、2、7，0、2、3、5，1、2、3、4；共5种情况，则分5种情况讨论：、四个数字为0、1、3、6时，千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，此时有个“完美四位数”，、四个数字为0、1、4、5时，千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，此时有个“完美四位数”，、四个数字为0、1、2、7时，千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有个“完美四位数”，、四个数字为0、2、3、5时，千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，此时有个“完美四位数”，、四个数字为1、2、3、4时，千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，此时有个“完美四位数”，则一共有个“完美四位数”，故选：【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，分类讨论注意做到不重不漏12.设表示不大于实数的最大整数，函数，若关于的方程有且只有5个解，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先讨论当x0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解.【详解】首先，确定在x0上，方程f(x)=1的解.时，在，所以由取整意义有lnx=-(n+1),又即在上，恒有取n=0,，令此时有一根，当n1时，恒有f(x)-11，此时在上无根.在上，又所以在上，恒有，.n=1时，在上，有n=2时，在有即所以此时有两根，这样在有三根，在显然有一根所以在有且仅有一根，由“洛必达法则”是先增后减，得或a0.单调递增，即故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，【点睛】本题考查简单的线性规划问题.14.已知平面向量，的夹角为，且，则_【答案】【解析】【分析】先由题意求出，得到，进而可求出结果.【详解】因为，所以，又向量，的夹角为，且，则，所以.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，熟记概念与运算法则即可，属于常考题型.15.在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含的项的系数为_【答案】8.【解析】【分析】根据已知求出n=8和a=1,再求含的项的系数.【详解】因为只有第5项的二项式系数最大，所以n=8.因为所有项的系数和为256，所以.设的通项为，令8-2r=6,所以r=1.所以含的项的系数为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数的求法，考查二项式系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知抛物线：与直线交于、两点（、两点分别在轴的上、下方），且弦长，则过，两点、圆心在第一象限且与直线相切的圆的方程为_【答案】.【解析】【分析】先求出圆的半径为，再求出圆心为（1,4），即得圆的方程.【详解】联立直线和抛物线的方程得由题得|AB|=8=，所以m=1.所以解之得A(,所以AB的垂直平分线方程为y=-x+5,因为圆心在AB的垂直平分线上，所以设圆心（t,-t+5）,因为AB的垂直平分线和直线平行，因为两平行线间的距离为，所以圆的半径为.因为点A在圆上，所以，所以t=1.所以圆心为（1,4），所以圆的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（一）必考题：共60分17.已知数列满足：，数列中，且，成等比数列.（1）求证：数列是等差数列；（2）若是数列的前项和，求数列的前项和.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】（1）利用定义证明数列是等差数列；（2）先求出，再利用裂项相消法求数列的前项和.【详解】（1），数列是公差为1的等差数列；（2）由题意可得，即，所以，.【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列的前n项和的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕个，以（单位：个，）表示当天的市场需求量，（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润.需求量/个天数1525302010（1）当时，若时获得的利润为，时获得的利润为，试比较和的大小；（2）当时，根据上表，从利润不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天.（i）求此时利润关于市场需求量的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；（ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】(1) .(2) （i）3; （ii）见解析.【解析】【分析】（1）求出,再比较和的大小；（2）（i）先求出利润，再求出需求量，所以利润不少于570元时共有60天，再利用分层抽样求出这6天中利润为650元的天数；（ii）由题意可知，再求出随机变量的分布列及数学期望.【详解】（1）时，元；时，元，；（2）（i）当时，利润，当时，即，即，又，所以利润不少于570元时，需求量，共有60天，按分层抽样抽取，则这6天中利润为650元的天数为.（ii）由题意可知，其中，.故的分布列为0123.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查分层抽样，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图，已知四棱锥，底面为菱形，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若点在线段上，当直线与平面所成角正弦值为时，求线段的长.【答案】(1)见解析.(2)2.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明平面平面；（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出，解方程即得解.【详解】(1)证明：由题意易得，且，在中，在中，又，面，又面，平面平面.（2）由（1）可知面，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，则令，所以，解得或（舍），故BN=2.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查线面角的求法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知点，过点作抛物线：切线，切点在第二象限.（1）求切点的纵坐标；（2）有一离心率为的椭圆：恰好经过切点，设切线与椭圆的另一交点为点，记切线、的斜率分别为、，若，求椭圆的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）设切点,求出的方程为，再把点D的坐标代入即得解；（2）先根据已知设椭圆方程为，再根据求出b的值得解.【详解】（1）设切点则有，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，所以，即，所以点的纵坐标.由（1）得，切线斜率，设，切线方程为，由得，又，所以，所以椭圆方程为，由得，又因为，即，解得，所以，所以椭圆方程为.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查抛物线的切线的求法，考查直线和椭圆的位置关系问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）设函数（其中为的导函数），判断在上的单调性；（2）若函数在定义域内无零点，试确定正数的取值范围.【答案】(1) 在上单调递增.(2).【解析】【分析】（1）先分析得到，即得函数在上的单调性；（2）先利用导数求出，再对a分三种情况讨论，讨论每一种情况下的零点情况得解.【详解】（1）因为，则，在上单调递增.（2）由知，由（1）知在上单调递增，且，可知当时，则有唯一零点，设此零点为，易知时，单调递增；时，单调递减，故，其中.令，则，易知上恒成立，所以，在上单调递增，且.当时，由在上单调递增知，则，由在上单调递增，所以，故在上有零点，不符合题意；当时，由单调性知，则，此时有一个零点，不符合题意；当时，由的单调性知，则，此时没有零点.综上所述，当无零点时，正数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的最值和零