线性代数课后题答案

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1把下列矩阵化为行最简形矩阵：把下列矩阵化为行最简形矩阵： (1) ; (2) 3403 1302 1201 1740 3430 1320 ; (3) ; (4) . 12433 02322 14533 34311 34732 03823 42021 73132 解 解 (1) 3403 1302 1201 13 12 )3( )2( rr rr + + + + 0200 3100 1201 )2( )1( 3 2 r r 0100 3100 1201 23r r 3000 3100 1201 3 3 r 1000 3100 1201 32 3 rr + + 1000 0100 1201 31 21 )2( rr rr + + + + 1000 0100 0001 (2) 1740 3430 1320 13 12 )2( )3(2 rr rr + + + + 3100 3100 1320 21 23 3 rr rr + + + + 0000 3100 100202 1 r 0000 3100 5010 1 (3) 12433 02322 14533 34311 14 13 12 3 2 3 rr rr rr 1010500 66300 88400 34311 )5( )3( )4( 4 3 2 r r r 22100 22100 22100 34311 24 23 21 3 rr rr rr 00000 00000 22100 32011 (4) 34732 03823 42021 73132 24 23 21 2 3 2 rr rr rr 118770 129880 42021 11110 14 13 12 7 8 2 rr rr rr + + 41000 41000 20201 11110 34 2 21 )1( rr r rr 00000 41000 11110 20201 32r r + + 00000 41000 30110 20201 2 在秩是 的矩阵中 在秩是 的矩阵中,有没有等于有没有等于 0 的的r1 r阶子式阶子式?有没有等于有没有等于 0 的 阶的 阶 r 子式子式? 解 在秩是解 在秩是r的矩阵中的矩阵中,可能存在等于可能存在等于 0 的的1 r阶子式阶子式,也可能存在等也可能存在等 于于 0 的 阶子式的 阶子式. r 例如，例如， = = 0000 0000 0100 0010 0001 3)(= = R同时存在等于同时存在等于 0 的的 3 阶子式和阶子式和 2 阶子式阶子式. 2 3从矩阵中划去一行得到矩阵从矩阵中划去一行得到矩阵,问问ABBA,的秩的关系怎样的秩的关系怎样? 解解 )(AR )(BR 设设rBR= =)(，且的某个 阶子式，且的某个 阶子式Br0 Dr .矩阵是由矩阵划去一行 得 矩阵是由矩阵划去一行 得 BA 到的，所以在中能找到与相同的 阶子式到的，所以在中能找到与相同的 阶子式A Dr r Dr，由于 ，由于0=D Drr ， 故而故而)()(BRAR . 4求作一个秩是求作一个秩是 4 的方阵的方阵,它的两个行向量是它的两个行向量是, )0 , 0 , 1 , 0 , 1()0 , 0 , 0 , 1, 1( 解 设解 设 54321 , 为五维向量为五维向量,且且)0 , 0 , 1 , 0 , 1( 1 = = , )0 , 0 , 0 , 1, 1( 2 = ,则所求方阵可为秩为则所求方阵可为秩为 4,不妨设不妨设 , 5 4 3 2 1 = = A = = = = = = )0 , 0 , 0 , 0 , 0( ), 0 , 0 , 0 , 0( ) 0 , , 0 , 0 , 0( 5 54 43 x x 取取1 54 = = =xx 故满足条件的一个方阵为故满足条件的一个方阵为 00000 10000 01000 00011 00101 5求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：并求一个最高阶非零子式： (1) ; (2) 4431 1211 2013 81507 31312 13123 ； (3) . 02301 08523 57032 73812 3 解 解 (1) 4431 1211 2013 rr 21 4431 2013 1211 5640 5640 1211 12 13 3r r rr 2 0000 5640 1211 23 秩为 秩为 r r 二阶子式二阶子式4 11 13 = = (2) 81507 31312 23123 152733210 591170 14431 2 7 12 21 13 rr rr rr 2 00000 591170 14431 3 23 秩为 秩为 rr . 二阶子式二阶子式7 12 23 = = (3) 02301 08523 57032 73812 43 42 41 3 2 2 rr rr rr 02301 02420 53630 71210 13 12 2 3 rr rr + + + + 02301 140000 160000 71210 34 4 3 14 21 16 14 rr r r rr rr 00000 10000 71210 02301 秩为秩为 3 三阶子式三阶子式070 23 85 5 023 085 570 = = 6求解下列齐次线性方程组: 6求解下列齐次线性方程组: 4 (1) (2) (1) (2) =+ =+ =+ =+ =+ =+ ; 0222 , 02 , 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx =+ =+ =+ =+ =+ =+ ; 05105 , 0363 , 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx (3) (4) (3) (4) =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ ; 0742 , 0634 , 0723 , 0532 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ . 0327 , 01613114 , 02332 , 07543 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解 (1) 对系数矩阵实施行变换: 解 (1) 对系数矩阵实施行变换: 2122 1112 1211 3 4 100 1310 0101 即得即得 = = = = = = = = 44 43 42 41 3 4 3 3 4 xx xx xx xx 故方程组的解为故方程组的解为 = = 1 3 4 3 3 4 4 3 2 1 k x x x x (2) 对系数矩阵实施行变换: (2) 对系数矩阵实施行变换: 51105 3163 1121 0000 0100 1021 即得 即得 = = = += = = = += 44 3 22 421 0 2 xx x xx xxx 故方程组的解为故方程组的解为 + = + = 1 0 0 1 0 0 1 2 21 4 3 2 1 kk x x x x (3) 对系数矩阵实施行变换: (3) 对系数矩阵实施行变换: 5 7421 6314 7213 5132 1000 0100 0010 0001 即得即得 = = = = = = = = 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x 故方程组的解为故方程组的解为 = = = = = = = = 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x (4) 对系数矩阵实施行变换: (4) 对系数矩阵实施行变换: 3127 1613114 2332 7543 0000 0000 17 20 17 19 10 17 13 17 3 01 即得即得 = = = = = = = = 44 33 432 431 17 20 17 19 17 13 17 3 xx xx xxx xxx 故方程组的解为故方程组的解为 + = + = 1 0 17 20 17 13 0 1 17 19 17 3 21 4 3 2 1 kk x x x x 7求解下列非齐次线性方程组求解下列非齐次线性方程组: (1) (2) =+ =+ =+ =+ =+ =+ ; 8311 ,10213 , 224 21 321 321 xx xxx xxx =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ =+ ; 694 ,13283 , 542 , 432 zyx zyx zyx zyx 6 (3) =+ =+ = =+ =+ =+ + ; 12 , 2224 , 12 wzyx wzyx wzyx (4) =+ =+ = =+ =+ =+ + + + ; 2534 , 4323 , 12 wzyx wzyx wzyx 解 解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换 对系数的增广矩阵施行行变换,有有 6000 3411100 8331 80311 10213 2124 2)(= =AR而而3)(= =BR,故方程组无解故方程组无解 (2) 对系数的增广矩阵施行行变换 对系数的增广矩阵施行行变换: 6914 13283 5421 4132 0000 0000 2110 1201 即得亦即即得亦即 = += = = += = zz zy zx 2 12 + + = = 0 2 1 1 1 2 k z y x (3) 对系数的增广矩阵施行行变换 对系数的增广矩阵施行行变换: 11112 21224 11112 00000 01000 11112 即得即得 = = = += = = = += 0 2 1 2 1 2 1 w zz yy zyx 即 即 + + = + + = 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 21 kk w z y x (4) 对系数的增广矩阵施行行变换对系数的增广矩阵施行行变换: 00000 7 5 7 9 7 5 10 25341 25341 43123 11112 7 00000 7 5 7 9 7 5 10 7 6 7 1 7 1 01 即得即得 = = = += = = = += ww zz wzy wzx 7 5 7 9 7 5 7 6 7 1 7 1 即 即 + + = + + = 0 0 7 5 7 6 1 0 7 9 7 1 0 1 7 5 7 1 21 kk w z y x 8 取何值时取何值时,非齐次线性方程组非齐次线性方程组 =+ =+ =+ =+ =+ =+ 2 321 321 321 , , 1 xxx xxx xxx (1)有唯一解；有唯一解；(2)无解；无解；(3)有无穷多个解有无穷多个解? 解 解 (1) 0 11 11 11 ,即即2, 1 时方程组有唯一解时方程组有唯一解. (2) )()(BRAR = = 2 11 11 111 B + + 2 2 )1)(1()2)(1(00 )1(110 11 由由 0)1)(1( , 0)2)(1( 2 +=+=+ 得得2= = 时时,方程组无解方程组无解. (3) 3)()( = =BRAR,由由, 0)1)(1()2)(1( 2 =+=+=+=+ 得得1= = 时时,方程组有无穷多个解方程组有无穷多个解. 9非齐次线性方程组非齐次线性方程组 8 =+ =+ =+ =+ =+ =+ 2 321 321 321 2 ,2 , 2 2 xxx xxx xxx 当当 取何值时有解？并求出它的解取何值时有解？并求出它的解 解 解 + = + = )2)(1(000 )1( 3 2 110 121 211 121 2112 2 B 方程组有解，须方程组有解，须0)2)(1(= =+ 得得2, 1 = = = 当当1= = 时时,方程组解为方程组解为 + = + = 0 0 1 1 1 1 3 2 1 k x x x 当当2= = 时时,方程组解为方程组解为 + = + = 0 2 2 1 1 1 3 2 1 k x x x 10设设 =+ =+ =+ =+ =+ =+ , 1)5(42 , 24)5(2 , 122)2( 321 321 321 xxx xxx xxx 问问 为何值时为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多 解 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多 解 时求解时求解 解 解 1542 2452 1222 初等行变换初等行变换 2 )4)(1( 2 )10)(1( 00 1110 12 2 5 1 当当0 A,即即0 2 )10()1( 2 1 且且10 时，有唯一解时，有唯一解. 当当0 2 )10)(1( = = 且且0 2 )4)(1( ，即，即10= = 时，无解时，无解. 9 当当0 2 )10)(1( = = 且且0 2 )4)(1( = = ，即，即1= = 时，有无穷多解时，有无穷多解. 此时，增广矩阵为此时，增广矩阵为 0000 0000 1221 原方程组的解为原方程组的解为 + + + + = = 0 0 1 1 0 2 0 1 2 21 3 2 1 kk x x x () Rkk 21, 11试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵： (1) ; (2) . 323 513 123 1210 2321 1220 1023 解 （解 （1） 100 010 001 323 513 123 101 011 001 200 410 123 101 211 2 1 0 2 3 200 010 023 2 1 0 2 1 211 2 9 2 2 7 100 010 003 2 1 0 2 1 211 2