第二阶段数学能力备考的几点建议四人教

第二阶段数学能力备考的几点建议四 专题6导数的综合应用 导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓宽了高考对函数问题的命题空间.所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维,解决单调性，极值，最值，切线，方程的根,参数的范围等问题，这类题难度并不大，但综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏.导数综合试题,主要有以下几方面的内容:1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题; 3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题; 4. 通过构造函数,以导数为工具,证明不等式. 5. 导数与其他方面的知识的综合1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解; 【例1】(2005年高考全国卷II理22) 已知（）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论；（）设在1，1上是单调函数，求a的取值范围. 【分析及解】（I）对函数求导数，得 令，得，从而，解得，其中当变化时，的变化情况如下表：00增极大值减极小值增当在处取到极大值，在处取到极小值。当时，在上为减函数，在上为增函数，而当时，；当时，所以当时，取得最小值。（II）当时，在上为单调函数的充要条件是，即，解得。综上，在上为单调函数的充要条件。即的取值范围是。解法二.由（I）知, 当时，在上为减函数,因此,要使在1，1上是单调函数，只能使在1，1上是单调减函数，即在1，1上恒成立，亦即在1，1上恒成立设.则又等价于在1，1上恒成立, 从而等价于,为此解解得.即的取值范围是。2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题; 【例1】(2005年，重庆卷，理19)已知，讨论函数的极值点的个数. 【分析及解】 （1）当xx1+00+增极大值减极小值增即此时有两个极值点.（2）当有两个相同的实根,于是无极值.（3）为增函数，此时无极值. 因此当无极值点. 【例2】(2004年，湖北卷，文22)已知,函数的图象与函数的图象的相切.（）求b与c的关系式（用c表示b）；（）设函数内有极值点，求c的取值范围. 【分析及解】 （）依题意，令（）xx0（+0+于是不是函数的极值点.的变化如下：xx1（+00+由此，的极小值点.综上所述，当且仅当 【例1】(2005年，湖南卷，文19)设，点P（，0）是函数)的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（）用表示a，b，c；（）若函数在（1，3）上单调递减，求的取值范围. 3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题; 【分析及解】（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以.又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以而将代入上式得 因此故，（II）因为函数在（1，3）上单调递减，且是（1，3）上的抛物线，所以 即解得所以的取值范围为 【例2】(2004年，浙江卷，理20)设曲线0）在点M（t,e-t）处的切线与x轴y轴所围成的三角形面积为S（t）.（）求切线的方程；（）求S（t）的最大值. 【分析及解】（）因为所以切线的斜率为故切线的方程为即.（）令y=0得x=t+1,又令x=0得所以S（t）= =从而当（0，1）时，0, 当（1,+）时,1时,方程f (x)= 0,在内有两个实根.所以, 【分析及解】（I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x(-m,+)连续，且当x(-m, )时, f （ x） f () 当x(, +)时, f（x）0, f (x)为增函数, f (x) f ()根据函数极值判别方法，f ()= 为极小值，而且对x(-m, +)都有f (x)f ()=故当整数m1时，f (x) 0(II)由（I）知，当整数m1时，f ()=1时，类似地，当整数m1时，函数f(x)=x - ln(x+m),在 上为连续增函数且 f()与异号，由所给定理知，存在唯一的故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根。 （二）进行拿分点的专门训练： 对于高考中必考的内容，难度又不太大的，主要是以专门训练为主，争取多拿分，例如：1选择题的训练，重点在答题的策略性，合理性，正确性和迅速性；2立体几何的训练，虽然，近几年，立体几何的试题考查的核心和热点仍然是考查空间图形的线面关系及几何量的计算。下面是2005年的29套试卷的解答题中，立体几何情况统计：呈现载体情况相交平面长方体直棱柱斜棱柱三棱锥四棱锥五棱锥 2 4 3 1 4 5 1求解范围情况线面平行线线垂直线面垂直面面垂直线线成角线面成角二面角线线距离点面距离球 4 3 7 1 6 4 11 2 4 2从这个角度来看，变化并不大，题目的难度也不大，但是还要关注立体几何试题命题的一些趋势，观察这几年来的立体几何试题，大致有如下的变化：（1）从解法单一化到解法多样化.对于一道立体几何试题，往往既能用传统方法求解又能用向量方法求解，有的题目可以用两种方法结合求解。(2)从纯几何问题到综合性问题. 有些立体几何试题,已经不是单一的几何背景,还涉及到解析几何,方程,不等式,最值,概率等其它数学分支,从而考查综合运用数学知识和技能的灵活性. 例1.(2004年,北京卷) 如图，在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC直线的距离相等，则动点P的轨所在的曲线是（ ）(A)直线 (B)圆 (C) 双曲线(D) 抛物线ABCPABCPABCPABCP例2.(2004年,重庆卷) 若三棱锥侧面内一动点到底面的距离与到棱的距离相等，则动点的轨迹与组成的图形是( )（A） （B） （C） （D）例3.(2005年,上海卷)有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是_.例4.(2005年,江苏卷)四棱锥的八条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为A96B48C24D0例5.(2005年,湖北卷)以平行六面体ABCDABCD的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为 （ABCD (3)从线面关系的静态到动态有些试题中的线面关系的给出不是静止的而是运动的,从而在解题时需要“以动求静”，“动静结合”，把运动与变化引入立体几何试题。例 (2005年,江西卷)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（）证明：D1EA1D； （）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离； （）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为. （4）从题型封闭到题型开放近几年，在立体几何试题中，出现了一批条件探究型，结论开放型，条件结论都开放型，类比归纳型，研究型的仲题。例1（2005年，湖南卷）已知平面和直线，给出条件：；. （i）当满足条件 时，有；（ii）当满足条件 时，有.（填所选条件的序号）例2. （1998年全国卷）如图，在直四棱柱中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形）例3. （2003年新课程卷）下列五个正方体图形中，是正方形的一条对角线，点分别为其所在棱的中点，能得出面的图形的序号是_（写出所有符合要求的图形序号） 例4. （1999年,全国卷）是两个不同的平面，是平面之外的两条不同直线，给出四个论断：，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题例5.（1999年,上海卷）若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_（只需写出一个可能的值）例6. （2003年,全国卷，新课程卷）在平面几何里，有勾股定理：“设的两边互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，则_”(5)从论证型到研究型一部分立体几何试题已从解决现成问题发展为探究问题的存在性,解决问题的尝试性.例1. （2004年,湖南卷）如图，在底面是菱形的四棱锥中 ，,点在上，且（）证明：平面；（）求以为棱，与为面的二面角的大小；（）在棱上是否存在一点，使平面AEC？证明你的结论例2.(2004年,上海卷)如图，PABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF底面ABC, 且棱台DEFABC与棱锥PABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（）证明：PABC为正四面体；（）若PD=PA, 求二面角DBCA的大小；(结果用反三角函数值表示)（）设棱台DEFABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEFABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.例3. （2002年,全国卷）（）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，如图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1，图2中，并作简要说明（）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小（）如果给出的一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明 图1 图2 图3 需要说明的是空间图形的线面关系及几何量的计算，三种语言的转换，识图，画图，有图想图和无图想图，空间想象能力与逻辑推理,演绎证明能力的结合,表达能力的训练仍然是高考复习的重点,这一点不能动摇. 3三角函数的训练：由于在新教材中，三角函数与原教学内容相比，作了较大的删减，因此，高考中对三角函数的考查内容也随之进行了调整，因为新教材中删去了复数的三角形式，删去了参数方程的部分内容，因此，三角函数的工具性作用有所减弱，高考中，突出考查三角函数的图象和性质，尤其是形如的图像和性质，对三角公式，三角变形和解三角形的考查或与三角函数的图象和性质相结合，或与平面向量相结合。近几年，这类题大部分出现在解答题的第一题的位置，难度不大，在第一阶段复习的基础上，再集中训练，就可以有较大的提高。 4创新题的训练：创新题本身并不一定难，而是难在题目的新颖上，在高考前，用两三节课，集中展示近几年的创新题，并进行适当的典型讲解，使考生对这类题不再怵头，考试时就会有收效。三抓住学生的盲点，重视审题训练和细节训练在高考中往往是审题决定成败，细节决定成败，审题和细节往往也是学生在复习中重视不够的地方。我曾经问过不少在高考中数学成绩优秀的学生,“你们考试的诀窍是什么?”在他们的回答中几乎都有一个共同的结论:“注意审题.”我也曾问过一些高考中数学考试的失败者:“你们平时成绩不错,为什么高考没有考好? 他们的回答中几乎也都相同:“考试时没注意审题,”的确,在高考这样十分紧张的考试中,对于平时已经进行了认真复习的同学来说, 审题决定成败,或者说,成也审题, 败也审题,注意审题是在高考中取得最佳成绩的关键。（一）注意审题是在高考中取得最佳成绩的关键 问题是数学的心脏.参加高考，就是要解答试卷中提出的各种问题。什么是审题？审题在解题中占什么地位呢？在这里，向大家介绍卓越的数学教育家G波利亚的一项研究成果：他把自己几十年教学和科研的经验集中体现在一张“怎样解题表”中。这张解题表是根据一般人们在解题过程中的心理活动特征和逻辑思维顺序出现的可能性，科学地列出来的。 全表共四部分，第一部分是“弄清问题”，第二部分是“拟定计划”，第三部分是“实现计划”，第四部分是“回顾”。在第一部分和第二部分中，G波利亚都指出了“怎样审题”这样一个关键问题。我们不妨摘录其中一部分。“第一你必须弄清问题”“未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,，画张图引入适当的符号。把条件各部分分开，你能否把它们写出来？” 进一步的审题是：“你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？” “你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？” “看着未知数！试想出一个具有相同的未知数或相似未知数的熟悉问题”，“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。”“你能不能从已知数导出某些有用的东西？”“你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念？” 审题是对问题的初步感知和初步定向，是对题目信息的搜集和整理。只有在审题时主动地，最大限度地搜集有助于解题的信息，并对这些信息进行分析和综合处理，才能使解题有一个好的开始，才能找到解题的入口，使开局处于有利的地位。其实，不仅解题开始于审题，而且在解题的全过程中也必须一直伴随着审题，常常题目全部解完，审题才告结束。 那么，怎样审题呢？我们结合例题来研究。1审题的第一步就是弄清问题的已知条件和未知条件【例1】（1998年，全国卷）如果，那么，的值等于（ ）. (A) 2 (B) (C) 0 (D) 2这个题目并不难,因为类似的题目在高考复习中都做过反复的训练。可是，那一年此题的错误率超过50%，这是什么原因呢？原来，在平时训练中，学生已经掌握，为求的展开式的系数和，只要令就可得到=-1，解法已经程序化了，因此，不少考生见了题目很快就选填了（B），然而，本题并不是求，而是求，少了一个，考生审题时没有注意到，大意失荆州.【例2】请看下面的一组题：弄清这一组题对于分清恒成立，能成立，恰成立等问题会有意义。l (2005年，北京卷，理14)若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ；若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 l (2005年高考湖北卷理17文17)已知向量若函数在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.l (2005年，湖南卷，理21) 已知函数，. （）若，且存在单调递减区间，求a的取值范围；l (2000年,上海卷)()已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;()已知当的值域是,试求实数的值.l 已知函数.()若此函数在上有意义, ,试求的取值范围.() 若此函数的定义域是,试求的值.l 已知函数()若的定义域,试求的取值范围.() 若在上有意义, 试求的取值范围.()若的解集为,试求的值. l 已知两个函数，其中为实数.()若对任意的，都有成立，求的取值范围； ()若对任意的，都有，求的取值范围.l (2005年，全国卷,理22)已知函数 （）求的单调区间和值域；（）设，函数,若对于任意,总存在使得成立，求a的取值范围.l 已知命题P：对实数，不等式: 对所有实数都成立,命题Q：满足，若命题“P或Q”为真，命题“P且Q”为假，求实数的取值范围.l 若不等式的解集非空数集, 试求实数的取值范围;l 已知,试问在区间上是否存在一个,使得成立,请证明你结论.【例3】（2004年,天津卷，理20） 已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.本题的第(1)问是利用导数求极值,不会感到困难,而第(2)问是求切线方程,有的考生求出导函数,然后,求,进而求出切线方程.这个解法显然错了,解题者把看成了切点了,这又是审题时不认真造成了失误,过某个点作切线的问题,首先要判断这个点是在曲线上,还是在曲线外,例如,本题的点就在曲线外.【例4】（2004年，重庆卷，文14）已知曲线，则过点的切线方程是_本题可以判断点在曲线上，所以，大部分同学的解法是，由得切线方程为，即.但是,这个结果并不完整,这是因为题目并没有告诉点是否为切点,而上面的解法是把点当作切点求解的.其实, 点也可能不是切点.正确的解法是:设切点为,则,切线方程为 .因为在切线上,则,从而有 ,解得 ,于是, 过点的切线方程为和.2审题的第二步就是注意题目的隐含条件【例5】（(1999年，全国卷)给出定点和直线,是直线上的动点,的角平分线交于点,求点的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与值的关系. 解本题时,首先设点,再利用角平分线的性质,或者三角形内角平分线的性质等都可以得到, 但是根据题目的要求,求解的结果应是关于的方程,许多考生解到这里就解不下去了,是什么原因呢?就是因为忽略了一个审题的细节:三点共线,注意到这个隐含条件,利用在直线上,或利用与的斜率相等,就可以得出,将这个式子代入式就可以得到方程 下面只剩下对方程的讨论了.【例6】（(1999年，上海卷)设椭圆的方程为,椭圆的方程为,且与在第一象限内只有一个公共点.()试用表示点的坐标;()设是椭圆的两个焦点,当变化时,求的面积的值域;()略本题的第()问比较简单,可以求出:,第()问也可得出 ,再往下做下去,就要求函数的值域,这需要定义域,如何求的范围呢?许多考生不知所措,找不到头绪,其实,审题时对于一个重要的隐含条件熟视无睹了,这就是,再结合()的结果就可以得到函数的定义域,下面的解题过程就不困难了.3审题的第三步就是弄清已知条件之间的相互关系以及已知条件与所求目标之间的相互联系【例7】（2004年，天津卷，理22）椭圆的中心是原点O,它的短轴长为，相应于焦点的准线与轴相交于点，过点的直线与椭圆相交于两点.（）求椭圆的方程及离心率；（）若，求直线的方程；（）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明.首先研究已知条件之间的联系，由已知可得椭圆的方程为，准线的方程为，从而可以求出椭圆的方程及离心率，解决了第（）问，至于第（）问，增加了一个已知条件：，这一条件等价于，于是可以利用韦达定理求解，进一步求出直线的方程。第（）问则是对审题的一个考验。这里有两点：第一，是不是第（）问的条件？有的考生就误认为它是第（）问的条件，结果越作越错，其实，只是第（）问的条件，而不是第（）问的条件；第二，如何理解和，这两个式子有两层含意：（1）三点共线，三点共线，（2）与的长度之比等于，与的长度之比等于。有了这样的理解，第（）问就不难解决了。【例8】 (2005年，湖北卷，理22)已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （）证明（）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b0，都有要证明（）,就要关注求证与已知的关系,注意到,求证中出现在分母上,而已知中并不在分母上,就会启发我们.把已知中的,用倒数来表示,即化为 即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n3时有，4审题的第四步就是思考所求解的题目与以前曾经做过的哪个题目相类似,即这个题目是否好像见过面? 【例9】（2004年，湖南卷）设分别是定义在上奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（ ）：（A） （B）（C） （D）这是一个比较生疏的题目，遇到比较生疏的题目就要思考:“平时是否作过类似的问题？”仔细审题，就会得到一为上奇函数，一为上偶函数，则为奇函数，而，则在时为增函数，经过这一分析，再想，是否见过类似的题目呢？回答是，见过。这就是：“函数为奇函数，且时，为增函数，求的解集”，于是生题变成了熟题，画出图像，不难求出的解集为（D）。 总之，审题是解题的一个重要步骤，通过审题，收集信息，加工信息，熟悉题目并深入到题目内部去思考，就会找到解题的入口，也会在解题的全部过程中，不忽视任何一个细节。 审题决定成败。审题是通向成功的起点，也是成功的归宿。（二）细节决定成败“海不择细流,故能成其大,山不拒细壤,方能就其高。”这是汪中球的细 节 决 定 成 败一书中的一句话，在高考复习中，同样要注意细节。1从两道高考试题看细节【例1】（2004年，天津卷，理21）已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，其中为常数，为非零常数.（）令，证明数列是等比数列；（）求数列的通项公式；（）当时，求.本题主要考查函数，数列，等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力。 对于第（）问，许多同学都是这样证明的：由已知，即所以是一个公比为的等比数列.这样求解有没有破绽?许多同学找不出毛病，其实，按照等比数列的定义，应该证明与的比是一个常数，而要求“比”，就要证明数列的各项均不为0，这可以由题设条件，得出，再由递推公式及数学归纳法证明，对所有，这是证明等比数列的前提，而上面的证明恰恰忽略了这一点。 第（）问是求数列的通项公式. 由（）可以得出的通项公式 由的定义，。 这就涉及到求等比数列的前项之和。而对等比数列求和，又要对公比及分类讨论，这样一个细节，在平时教学中，老师肯定多次提醒，但是，换了一个解题环境，是求数列的通项公式，就有不少考生忽略了分类。 第三个细节就是得出的结果之后： 这里的题目并没有给出，因此，要用表示，许多考生也忽略了。正确的答案是【例2】（2004年，全国卷，理21）设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.关于第（I）问,由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 由,解得,双曲线的离心率为这个解法有没有问题?结果是不