简单的线性规划及应用例题解析人教

简单的线性规划及应用一. 本周教学内容： 简单的线性规划及应用 教学目标： 1. 掌握二元一次不等式表示的平面区域；理解线性规划的意义和线性约束条件，线性目标函数，可行解可行域，最优解等基本概念。 2. 掌握线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。二. 重点难点： 重点：理解二元一次不等式表示的平面区域，会确定可行域，最优解。 难点：把实际问题转化为线性规划的问题，并给出解答。【教学过程】一、二元一次不等式表示的平面区域： 1. 二元一次不等式：含有两个未知数，且未知数最高次都是1次的不等式叫做二元一次不等式。 2. 二元一次不等式表示的平面区域： 二元一次不等式：Ax+By+C0在平面直角坐标中表示直线Ax+By+C=0某一侧点组成的平面区域。 3. 确定二元一次不等式表示的平面区域的步骤： （1）在平面直角坐标系中作出直线：Ax+By+C=0 （2）在直线的一侧任取一点P（x0，y0），特殊地，当C0时，常把原点（0，0）作为特殊点。 （3）将P（x0，y0）代入Ax+By+C求值。 （4）若Ax+By+C0，则包含此点P的半平面为不等式Ax+By+C0所表示的平面区域；不含此点P的半平面为不等式Ax+By+C0所表示的平面区域。 注：Ax+By+C0所表示的平面区域包括边界线，此时，边界线应画为实线。若不包括边界线，边界线应画为虚线。 4. 二元一次不等式组表示的平面区域： 二元一次不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集。即为各不等式所表示的平面区域的公共部分。 5. 应用举例： 例1. 不等式4x+3y70表示的区域是（ ） A. 左下方且包含边界B. 右上方且包含边界 C. 左下方D. 右上方 解：先画出直线4x+3y-7=0， 取原点（0，0）代入4x+3y7=70 原点不在4x+3y70的平面区域内。 4x+3y70表示右上方饱含边界的区域。 答案：B 例2. 如图表示平面区域的是不等式组（ ） 解：图中区域在直线x+y=5的左下方，则x+y5。 且在直线2x+y=4右上方，则2x+y4。 答案：A 例3. 解：不等式：x3表示x=3左侧点的集合； 不等式：2yx表示x2y0表示x2y=0上及左上方点的集合。 不等式：3x+2y6即3x+2y60表示3x+2y6=0上及右上方点的集合。 不等式：3y0表示x3y+9=0右下方点的集合。 综上可得不等式组表示的平面区域为图中阴影部分区域。二、线性规划： 1. 定义：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大或最小值的问题，统称为线性规划问题。 例如： 求z=4x3y的最大值和最小值。 这就是一个线性规划问题。 其中：不等式组叫做线性约束条件；z=4x3y叫做线性目标函数。 2. 可行解：满足约束条件的解（x，y）叫做可行解； 3. 可行域：所有的可行解组成的集合叫做可行域。 4. 应用举例： 例1. 求y=4x3y的最大值和最小值。 解： 可行域如图所示。 直线4x3y=0经过原点（0，0） 作一组与4x3y=0平行的直线l：4x3y=t 则当l过C点时，t值最小，当l过B点时，t值最大。 说明：增大，因而t也随之增大。 当4x3y=t经过B点时，截距（横）最大。 当4x3y=t经过C点时，横截距最小。 例2. 某农场种植某种作物，根据当地的气候，土壤情况，全部生产过程中，至少需要36公斤氮、磷不得超过40公斤。钾不得超过42公斤，现有甲、乙两种肥料，它们每公斤的价格及含氮磷、钾的数量如下表所示： 问应如何配合使用这些肥料，才能既满足作物对氮、磷、钾的需要，又能使施肥成本最低？ 解：设种植某种作物所需甲、乙两种肥料的施肥量分别为x、y公斤。 解：作出以上不等式组所表示的平面区域 即可行域（过程叙述略） 作直线4x+28y=0即x+7y=0把直线l向右上方移到l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且距原点距离最小，此时，z=4x+28y取最小值。 z=4200+28200=6400（元） 答：当甲、乙两种肥料各取200公斤配合使用时，既可以满足作物对氮、磷、钾的需要，又使施肥成本最低。 例3. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的购买方式有多少种？ 解：设：购买软件x片，磁盘y盒。 作出不等式组表示的平面区域，在相关区域内找出整数点的个数。 在可行域中，不难判断整数点坐标共有7个。 （3，2） （3，3） （3，4） （4，2） （4，3） （5，2） （6，2） 5. 线性规划的步骤： （1）在平面直角坐标系中作出可行域。 （2）在可行域中找到最优解对应的点。 （3）解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。 3. 要将A、B两种不同的五合板制成甲、乙两种产品，A种五合板每张4m2，B种五合板每张6m2，每张五合板同时生产两种产品如下表。 今需生产甲产品45件，乙产品55件，问A、B两种五合板各取多少张才能得到所需产品，且使总的用料面积最少？参考答案 （1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，2）、（2，3） 2. xy+50表示直线xy+5=0上及右下方的点集合。 x+y0表示直线x+y=0上及右上方的点集合。 x3表示直线x=3上及左方的点的集合。 3. 设需A、