等比数列一人教试验修订本

等比数列一我们已经知道，在“西萨的故事”中西萨要求的麦粒数组成的数列是：1，2，22，23，262，263 于是西萨获得麦粒数是122223263264118446744073709551615有人算过，每一立方米的容量，大约可以贮放1500000粒麦子，这就是说，西萨获得的赏赐要有120000000000001.21013立方米的地方来贮藏，假若仓库高4 m，宽10 m，那么它的长就达3108 km约等于地球到太阳的距离的2倍，也相当于绕地球赤道7000圈那么长，它的总量相当于全世界在两千年内所生产的全部小麦！由此看来，这个印度皇帝根本无法付出这笔奖赏，不过这些麦粒数的和2641是怎样算出来的呢？这需要我们研究数列的特点这个数列与等差数列不同，其特点是，从第二项起，每一项都是前一项的2倍，或者说，每一项和它前一项的比都是2再看一个例子，某人有人民币x元，假设储蓄的年利率为r（0r1），且r保持不变，将x元人民币存入银行，一年后取出，则本息共计xxrx（1r）元；再将这x（1r）元存入银行，一年后再取出，得本息共计x（1r）x（1r）rx（1r）2元 ；再将这x（1r）2元存入银行如此每年从银行取出的钱数组成一个数列：x，x（1r），x（1r）2，x（1r）n， 这个数列也是从第二项起，每一项都是前一项的（1r）倍，或者说，每一项和它前一项的比都是1r具有上述特点的数列，我们称为等比数列等比数列在实际生活中有广泛地应用，本节将系统学习等比数列的基础知识和计算方法【学习目标】（1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能应用通项公式解决一些简单问题（2）理解等比中项的概念，并能运用它解决相关问题【学习障碍】1对等比数列的概念理解不够全面，做题时仍有这样或那样一些错误2n个数成等比数列，如何用最少的字母、最简洁的形式表示出这n个数，容易出现错误表达形式并导致错误结果3求等比中项或开偶次方求公比q时，往往会丢掉负根4对于可以转化为等比数列的某些数列，由于不熟悉，看不出项与项之间的内在联系，导致求通项an时出现困难【学习策略】学习导引1阅读课本P1241262本节课主要学习以下三个方面的问题：（1）等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比公比通常用字母q表示（q0）（2）等比数列的通项公式：根据等比数列的定义q（n2，且nN*），归纳出通项公式为ana1qn1（nN*）（3）等比中项定义：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项G是a与b的等比中项G2abG知识拓宽1等比数列的判定方法：（1）q（q是不为0的常数，nN*）an是等比数列（2）ancqn（c，q均是不为0的常数，nN*）an是等比数列（3）an12anan2（anan1an20，nN*）an是等比数列2根据等比数列的定义，立即可以得到下面的四个结论：（1）a10，q0对nN*，an0（2） an递增； an递减（3）q1an是常数数列（4）qn，则q是的（mn）次方根在实数范围内，当mn为奇数时，q；当mn为偶数时，q （q的符号，可以按照所求等比数列的其他条件决定）5如何将某些一般数列问题转化为等比数列问题？例3求数列的通项公式：（1）an中，a12，an13an2；（2）an中，a12，a25，且an23an12an0思路：转化为等比数列解：（1）an13an2an113（an1）所以an1是等比数列，an133n1，an3n1（2）an23an12an0an2an12（an1an）an1an是等比数列，即an1an（a2a1）2n132n1再注意到a2a13，a3a2321，a4a3322，anan132n2，利用迭加法，即可得到an32n11点评：等比数列与等差数列一样，都是常见的基本数列在处理一些较复杂的数列时，常设法转化为等差或等比数列本例解题的关键是发现一个等比数列，化生疏为已知（1）中发现an1是等比数列（2）中发现an1an是等比数列一般地，有形如anpan1q递推关系的数列，可以转化为等比数列用待定系数法设它可以写成anp（an1）即anpan1p，比较系数，得qp，则数列an是等比数列思维拓展例4已知0rqp100，且pr2（pq）在一容器内装有浓度为r%的溶液1 kg，注入浓度为p%的溶液kg，搅匀后，再倒出混合溶液kg，第2次再注入浓度为p%的溶液kg，搅匀后又倒出混合液kg，如此反复进行下去（1）写出第一次混合后溶液的浓度a1%（2）设第n次混合后，浓度为an%，试用an表示an1（3）写出an的通项公式（4）为使溶液的浓度不低于q%，问至少要混合多少次？思路：计算每次混合后的浓度解：pr2（pq），2qpr（1）a1%（2）an1%（p4an）%（3）从上面的结论可知an1anpan1p（anp）数列anp是以（rp）为首项，为公比的等比数列anp（rp）（）n1（rp）（）nanp（pr）（）n（4）由p（pr）（）nq，得（pr）（）n（pr）（）n2，n3.1，n取4即至少要混合4次才能使溶液浓度不低于q%点评：应用等比数列概念解实际应用题，有时要构造出等比数列本题构造出等比数列anp是关键的一步，这需要有一定的观察能力和变形能力对于解应用问题，要仔细审题，弄清实际问题中所涉及的数学量之间的关系，建立起数学模型，再应用相关数学知识去解决探究学习已知正整数列3，9，2187，试写出三个数列的通项公式，每个通项公式都需符合给出的三项值答案：解：我们容易想到从等差数列或等比数列去考虑，得出an3(n1)6或构造周期数列：a13，a29，a32187，an3an（n1），则这个数列即为3，9，2187，3，9，2187，由于给出的三项都是3的倍数，可以假设an3(an1k)，因此an3（an1），由此得到通项公式an3n，k取不同的值就得到不同的通项公式【同步达纲练习】一、选择题1实数a，b，c满足b2ac，是a，b，c成等比数列的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D不充分也不必要条件2在等比数列an中，公比为q，若amxan，则x等于AqBqnmCqmnD13设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则：的值为（ ）ABCD14在等比数列an中，a3a4a53，a6a7a824，则：a9a10a11的值等于A48B72C144D192二、填空题5在等比数列中，已知首项为，末项为，公比为，则项数n_6已知各项都为正数的等比数列的任何一项都等于它后面相邻两项的和，则该数列的公比q_7等比数列an中，a10，an是递增数列，则满足条件的公比q的取值范围是_三、解答题8已知数列an满足a11，an12an+1（nN*），求an9某厂生产微机，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产微机多少台？参考答案【同步达纲练习】一、1B 提示：b2ac时，a，b，c可能为零2C 提示：由等比数列通项公式得：a1qm1xa1qn1xqmn3A 提示：4D 提示： q98（q为数列an的公比）a9a10a11a6a7a8q9248192二、54 提示：由ana1qn1得：即n13，n46 提示：根据题意：anan1an2，即ananqanq2q2q10，q数列各项均为正数，q070q1 提示：an1an0即a1qna1qn10a1qn1（q1）0由a10qn1（q1）0（nN*）0q1三、8由an12an1得：an112（