江苏四校南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学高三数学期初调研检测

江苏省四校（南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学）2019届高三数学下学期期初调研检测试题6. 从 3 个男生、2 个女生中随机抽取 2 人，则抽中的 2 人不全是男生的概率是 .7. 已知正四棱锥的体积为4，底面边长为 2，则该正四棱锥的侧棱长为 32注意事项8若将函数 ycosx 3sinx 的图象向左平移 m(m0)个单位后，所得图象关于 y 轴对称，则实考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，包含填空题(第 1 题第 14 题，共 14 题)、解答题(第 15 题第 209.数 m 的最小值为函数 f(x)aexex 在 x0 处的切线与直线 y2x3 平行，则不等式 f(x21)f(1x)0题，共 6 题)两部分。本次考试时间为 120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。的解集为 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写在10.首项为 7 的数列an满足：(n1)an1(n2)an0，则 a2019a2018 的值为 答题卡上，并用 2B 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写。3答题时，必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。4如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。 11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB2，AD1， AB AC 5，则 cosCAB (第 11 题)参考公式：1锥体的体积公式为：V1Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高；3n2一组数据 x1，x2，xn 的方差为： s2 1n (xi x )2，其中 x 是数据 x1，x2，xn 的i113. 在平面直角坐标系 xOy 中， M，N 是两定点，点 P 是圆 O：x2y21 上任意一点，满足：平均数一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 A1，2，3，B2，3，4，5，则 AB PM2PN, 则 MN 的长为 2已知复数 z 满足(1i)z3i(i 为虚数单位)，则 z 3. 一组数据 96， 98， 100，102， 104 的方差为 .4. 一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，已知输出值 y 为 2，则输入值 x 为 Read xIf x0 Theny ex二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 Elsey x21 （共 10 页）（共 10 页）End IfPrinty(第 4 题)5已知双曲线x2y21(a0)的一个焦点坐标为(2，0)，则它的离心率为 16（本小题满分 14 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，已知点 M 为棱 BC 上异于 B，C 的一点.（1）若 M 为 BC 中点，求证：A1C/平面 AB1M；（2）若平面 AB1M平面 BB1C1C, 求证：AMBC18（本小题满分 16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2y21(ab0)，过左焦点 F( 3，0)的直线 l 与椭a2 b2圆交于 A，B 两点当直线 lx 轴时，AB1（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点 P 在 y 轴上，且PAB 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线 AB 的方程（第 16 题）17.（本小题满分 14 分）如图，l1 是经过城市 O 与城郊小镇 A 的东西方向公路，城市 O 与小镇 A 相距 8 3km，l2 是经过 城市 O 的南北方向的公路现准备在城市 O 的西北区域内选址 P，建造开发区管委会，并开发19（本小题满分 16 分）已知函数 f(x)lnxm（mR）的极大值为 1x（第 18 题）三角形区域 PAO 与 PBO其中，AB 为计划修建的经过小镇 A 和管委会 P 的绕城公路(B 在 l2 上，且位于城市 O 的正北方向)，PO 为计划修建的管委会 P 到城市 O 的公路，要求公路 PO 与公路PA 的总长为 16km(即 POPA16)设BAO（1）记 PAf()，求 f()的函数解析式，并确定的取值范围；（2）当开发的三角形区域 PAO 的面积最大时，求绕城公路 AB 的长（1）求 m 的值；（2）设函数 g(x)x1，当 x01 时，试比较 f(x0)与 g(x0)的大小，并说明理由；ex（3）若 b 2 ，证明：对于任意 k0，直线 ykxb 与曲线 yf(x)有唯一公共点el2北东B20（本小题满分 16 分）P 已知 q 为常数，正项数列an的前 n 项和 Sn 满足：Sn(anSn)q1，nN*（1）求证：数列an为等比数列； ql1AO（ ）若 ，且存在 ，使得为数列中的项2q N*tN*3at24at1an（共 10 页）（共 10 页）（第 17 题） 求 q 的值；n 记 b logan1列an2，求证：存在无穷多组正整数数组(r，s，k)，使得 br，bs，bk 成等比数2019 届期初数学学科调研测试试卷数学 II（附加题）注 意 事 项【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 的方程为 x22py(p0)，过点 P(m，0)(m0)的直线 l 与抛考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共 2 页，均为解答题（第 2123 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分 钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填 写在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。3 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。物线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 Q，设 PA QA ， PB QB (，R)（1）当 Q 为抛物线 C 的焦点时，直线 l 的方程为 y1x1，求抛物线 C 的标准方程；3（2）求证：为定值21【选做题】本题包括 A、B、C 共 3 小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步 骤A选修 4-2：矩阵与变换 （本小题满分 10 分）1123（本小题满分 10 分）（第 22 题）已知 mR，矩阵 A（1）求实数 m；的一个特征值为2m0设集合 M1，2，3，m，集合 A，B 是 M 的两个不同子集，记|AB|表示集合 AB 的元 素个数若|AB|n，其中 1nm1，则称(A, B)是 M 的一组 n 阶关联子集对(（A，B）与（B，（共 4 页）（共 4 页）（2）求矩阵 A 的逆矩阵 A1B选修 4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 是曲线 E: xcos，y22cos（为参数）上的一 点以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以 C 为圆心的圆的极坐标方程为2cos，求线段 PC 长的最大值C选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分）已知 x0，求证：x3y233x2yA）看作同一组关联子集对)，并记集合 M 的所有 n 阶关联子集对的组数为 an（1）当 m3 时，求 a1，a2；（2）当 m2019 时，求an的通项公式，并求数列an的最大项一、填空题江苏省海门中学 2019 年期初数学学科调研测试试卷数学 I 参考答案（2）过 B 作 BP B1M ,垂足为 P平面 AB1M 平面B1BCC1平面 AB1M I 平面B1BCC1 = B1MBP 平面 BB1C1C BP 平面 AB1M1. 2，32.1+2i3.84. 15.2 336. 7107.38.239.(0，1)10. 7211. 5 714AM 平面 AB1M12. (，ee ，)13.314. 2 3 BP AM直四棱柱 ABCD - A B C D 中, BB 平面 ABCDe e 25二、解答题1 1 1 1 1AM 平面 ABCD15.（1）因为 cosB 5，B(0，)， BB1 AM5所以 sinB 1cos2B1( 5)22 555在三角形 ABC 中，sinAsin(BC)sin(BC)sin(B)sinBcoscosBsin444故 sinA2 5 2( 5) 2 10又 BP I BB1 = BBP, BB1 平面 BB1C1C AM 平面 BB1C1C又 BC 平面 BB1C1C AM BC 14 分5252108 1017.解： （1）如图，在 DPAO 中，设 PA = x ，l2则因为 PO + PA = 16 ，所以 PO = 16 - x ，北由正弦定理知 AC BC ，所以 BCACsinA 10 2 2.6 分又因为 AO = 8 3 ， BAO = q ，BsinBsinAsinB2 55所以由余弦定理得：东x2 + (8 3)2 - 2 8 3x cosq= (16 - x)2 ， 2 分P（2）在三角形 ABC 中，cosAcos(BC)cos(B)cosBcossinBsin，解得 x =44 分l q 4442 - 3 cosq1AO故 cosA 5 22 5 23 10当 POA = 时， (8 3)2 + (16 - x)2 = x2 ，解得 x = 14 ，（第 17 题）5252102因为 cos2A2cos2A12(3 10)214,此时， cosq = 8 3 = 4 3 105sin2A2sinAcosA23 10 103，1474 310105设 0 a ，且 cosa =2，则结合 P 位于城市 O 的西北区域内， B 在 l2 上，7因此 cos(2A)cos2Acossin2Asin4 23 2 214 分4445 25 210且位于 O 北，得a q ，216证明：（1）连接 A1B 交 AB1 于 N直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1B1B 为平行四边形综上，公路 PA 段长关于q 的函数解析式为 PA =2 -43 cosq，q 的取值范围为 (a, ) ，2 N 为 A1B 的中点4 3其中， 0 a ，且 cosa = 6 分又 M 为 BC 中点 MN / A1C又 A1C 平面 AB1M2（2）由（1） PA =2 -43 cosq7，a q ，结合 AO = 8 3 ， BAO = q ，2MN 平面 AB1M A1C /平面 AB1M .6 分得开发的三角形区域 PAO 面积： S (q) = 1 AO PA sinq2= 1 8 3 4sin q（共 10 页）（共 10 页）22 -3 cosq= 16 3 sinq，a q 2 - 3 cosq2D 0所以 S (q) =16 3cosq(2 -3 cosq) -3 sin 2q则 x + x-8 3k 2=(2 -3 cosq) 2 1 2 1 + 4k 2= 16 3(2 cosq- 3) ，a q 12k 2 - 4x x(2 -3 cosq) 22 1 =2 1 + 4k 2由 S (q) = 0 ，得q = ，因为 cos =3 a ， AB =1 + k 2 | x - x |=1 + k 2(x + x )2 - 4x x6因此可得下表：62761 2 1 2 1 216(1 + k 2 ) 4(1 + k 2 )q(a, )66( , )62S (q)+0-S (q)2 2= 1 + k 2 =1 + 4kAB 中点为 M 的横坐标为1 + 4k-4 3k 21 + 4k 2所以，当q = 时，S (q)= S ( ) = 16 3 ，PM =1 + (-1 -4 3k 22)2 | |6max6k 1 + 4k2 2此时， AB = AO= 8 3 = 16 ， 2 1 + (- 1 ) 2 | -4 3k|= 4(1 + k )cos 362即开发的三角形区域 PAO 面积最大时，绕城公路 AB 的长为16km 14 分k k = 11 + 4k 21 + 4k 2c =311直线 AB 的方程为 y =1 (x +113) 或 y = -1 (x + 3)11 b218解：（1）由已知，得2 = 1综上：直线 AB 的方程为 y =1 (x +3) 或 y = -1 (x +3) 或 y = 0 .16 分 a 11 11a2 = 4解得 b2 = 1a2 = b2 + c219.解：（1）f (x)1mlnx, 令 f(x)0 得：xe1m,x2所以 f(x)在(0，e1m)单调增，在(e1m，)单调减.2 1m 1 4e1 m2（2）Q DPAB 为 P 为直角顶点的等腰直角三角形，设 AB 中点为 M ， AB = 2PM （2）f(x0)g(x0)lnx01x01 1 (lnx01x0（）直线 AB 与 x 轴垂直， AB = 1， OF = 3 ,x0不合题意，舍.2椭圆 E 的标准方程为： x+ y 2 = 1 4 分所以 f(x)f(e)1, 得 m1.3 分x0)ex0x0ex0()直线 AB 与 y 轴垂直， AB = 4 ， P 为 (0, 2) 或 (0, -2) ，适合题意。令 h(x)lnx1x x(x1)，ex()直线 AB 不与 x 轴垂直时，设 AB : y = k ( x +3) ，则 h(x)1x2x1exx3x2x(exx)(x3x2)0，2 xexxexxexx与椭圆方程4+ y 2 = 1联立得：(1 + 4k 2 ) x2 + 8 3k 2 x + 12k 2 - 4 = 0h(x)在(1，)单调增，h(x)h(1)120设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )ef(x0)g(x0)8 分ln x + 1(3) kx + b =可化为xln x + 1x2- b - k = 0x（共 10 页）（共 10 页）ln x + 1 b令 h( x) = - - kx2 x-1 - 2 ln x b1 2 ln x + 1所以 q 2 ， q N* ， h ( x) = + =(b - )令j( x) =x32 ln x + 1xx2 x2 x( x 0)所以 3q2 - 4q 4 ，即 q p -t 4 ，结合 t ， p N* ，得 p - t N* 当 p - t 3 时， q p -t - (3q 2 - 4q) q 3 - (3q 2 - 4q)1 - 2 ln xj( x) = ，令j( x) = 0 得： x = ex2= q(q2- 3q + 4) 0 ，（*）不成立；5j( x) 在 (0,e ) 增， (e , +) 减当 p - t = 1 时，（*）得 3q2 - 4q = q ，解得 q = 0 或 q = （舍）；3j( x)max= j(e ) = 2e当 p - t = 2 时，（*）得 3q2 - 4q = q2 ，解得 q = 0 （舍）或 q = 2 ；综上，q = 2 10 分( ) 1 (2 ln x +1 1 (2 ) 0 1h x = b -x2) x x2b - e 由得 an2n1，则 bnn1=1+nn, 所以数列bn单调递减， h( x) 在 (0, +) 单调递增。由 br，bs，bk 成等比数列，不妨设 rsk，s + 1r + 1k + 1s + 1 r k当 x 1 时， h( x) = ln x + 1 - b - k - b - k则 bs r k2 2 2b b ，即 ()= ,即 ( ) =x2 x x bs r ks2(r1)s r + 1k + 1所以 x1 - 且 x1 1 时， h( x1 ) 0所以 kk1 ln x + 1 b b2srrs2当 0 x 时， h( x) = - - k - - k令 2srs2 即 s2r，得k(2r)2(r1)4r24re x2 x xb 1r所以存在无穷多组(r，2r，4r24r)(rN*)符合条件16 分 0 x2 - 且 x2 时， h( x2 ) 0k e又 y = h(x) 在 (0, +) 的图象是不间断的， h( x) = 0 在 ( x1 , x2 ) 有唯一解，即对于任意 k 0)得： x2 - 2 pkx + 2 pkm = 0 C (1, 0)设点 P(cosq, 2 + 2 cosq) ， y = k (x - m)D 0 1 2所以 x + x = 2 pk| PC |=(cosq-1) 2 + (2 + 2 cosq) 2 =5 cos2 q+ 6 cosq+ 5 当 cosq = 1 时， PC 有最大值 4.10 分 x1 x2 = 2 pkm故