重庆大学城第一中学校高一数学下学期期中文

重庆市大学城第一中学校2017-2018学年高一数学下学期期中试题 文（含解析）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是正确的1.1.已知a,b为非零实数，且，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】本题考查不等式的性质及推理能力.因为，当时，所以A错误；当时，所以B错误；所以C正确；当时，所以D错误.故选C2.2.已知数列an是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为（ ）.A. 2 B. 3 C. 2 D. 3【答案】D【解析】【分析】用表示，利用求出.【详解】.因为成等比数列，故即，解得，故选D.【点睛】等差数列中，是基本量，一般地，我们可把等差数列的问题归结为两个基本量的方程或方程组.需要注意的是等差数列的任意两项都可以作为基本量.3.3.在中，分别是内角的对边，若，则（ ）A. 14 B. 6 C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，故选D【考点】本题主要考查解三角形4.4.九章算术“竹九节”问题:现有一根节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面节的容积共升,下面节的容积共升,则第节的容积为（ ）A. 升 B. 升 C. 升 D. 升【答案】B【解析】设该等差数列为，公差为由题意得，即，解得选B5.5.实数x，y满足条件，则3x5y的最大值为（ ）.A. 12 B. 9 C. 8 D. 3【答案】A【解析】【分析】画出可行域，平移动直线可得最大值.【详解】可行域如图所示：令，当动直线过时，有最大值且，故选A.【点睛】一般地，二元一次不等式组条件下二元线性目标函数的最值，可以利用线性规划来求解，注意动直线的斜率与已知直线斜率的大小关系.6.6.数列满足，则A. -2 B. -1 C. 2 D. 【答案】C【解析】因为数列满足，同理可得，数列是周期为的数列，则，故选C.7.7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示ABC的面积，若acos Bbcos Acsin C，S (b2c2a2)，则B等于（ ）.A. 90 B. 60 C. 45 D. 30【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可知acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（A+B）=2RsinC=2RsinCsinCsinC=1，C=90S=（b2+c2-a2），解得a=b，因此B=45考点：正弦定理的应用.视频8.8.在中，若，则的形状是( )A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形【答案】A【解析】【分析】题设中的边角关系可以转化为，故可判断三角形的形状.【详解】有正弦定理有，因，故化简可得即，所以或者，.因，故或者，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选A.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.9.9.若不等式mx22mx42x24x对任意x都成立，则实数m的取值范围是（ ）.A. (2,2 B. (2,2) C. (，2)2，) D. (，2【答案】A【解析】【分析】原不等式可以转化为在上恒成立，分三种情形讨论即可.【详解】原不等式可整理为（）.当时，对应的二次函数的开口向下，其在上不可能恒成立.当时，恒成立，故符合.当时，有，解得.综上，故选A.【点睛】上的含参数的不等式的恒成立问题，可先确定不等式的类型，在根据不等式对应的函数图像得到相应的判断条件即可.10.10.等差数列中，它的前21项的平均值是15，现从中抽走1项，余下的20项的平均值仍然是15，则抽走的项是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质可知，再根据前21项的均值和抽取一项后的均值可知抽取的一项的大小为，故可确定抽走的是哪一项.【详解】因为，所以即.有得，设抽去一项后余下的项的和为，则，故抽取的一项的大小为，所以抽走的项为，故选A.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.11.11.一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东，距离为海里，灯塔C在A的北偏西，距离为海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向，则此时灯塔C位于游轮的( )A. 正西方向 B. 南偏西方向C. 南偏西方向 D. 南偏西方向【答案】C【解析】【分析】根据题设中的方位角画出，在中利用正弦定理可求出的长，在中利用余弦定理求出的长，利用正弦定理求的大小（即灯塔的方位角）.【详解】如图，在中，由正弦定理有，.在中，余弦定理有，因，由正弦定理有，故或者.因，故为锐角，所以，故选C.【点睛】与解三角形相关的实际问题中，我们常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它们的差别.另外，把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.12.12.在锐角三角形中,分别是角,的对边,=,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由已知求出，然后可把化为一个角的一个三角函数，再由正弦函数的性质得取值范围.详解：由得，即，从而， ，又，.故选B.点睛：求三角函数的取值范围及其他性质问题，一般都要把它变形为一个角的一个三角函数形式即的形式，其中可能要用到二倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式、诱导公式等等，掌握这些公式是解题的基础.填空题，本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.13.13.不等式 的解集是_.【答案】（-7,3）【解析】【分析】分式不等式转化为一元二次不等式后再求解即可.【详解】原不等式等价于，故不等式的解为，故填.【点睛】一般地，等价于，而则等价于，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.14.14.在中，若，则 _【答案】1【解析】【分析】先利用正弦定理计算出，利用内角和为得到，最后利用等腰三角形求出【详解】因，所以，故为锐角.由正弦定理有，故，故，所以，因此，所以，填1.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.15.15.设等比数列的前项和为，若，则_【答案】【解析】因为等比数列的前n项和为，那么构成等比数列，那么利用关系式可知16.16.在等差数列an中，Sn为它的前n项和，若a10，S180，S190， 则当Sn最大时，n的值为_.【答案】9【解析】【分析】利用等差数列的性质可得，从而，所以最大.【详解】因为是等差数列，所以，所以.又，故，因此，所以，填.【点睛】（1）一般地，数列的前项和的最值取决于项何时开始变号.（2）如果等差数列的前项和为，则，解题中应用这个性质可快速得到中间项的性质.三、解答题，本大题共6个小题，第17题10分，其余均为12分每题，满分共70分17.17.已知为等差数列，且，（1）求的通项公式； （2）若等比数列满足，求数列的前项和公式【答案】(1);(2).【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。、（1）设公差为，由已知得解得（2），等比数列的公比利用公式得到和。视频18.18.在ABC中，(1)求B的大小；(2)求cos Acos C的最大值【答案】（1）（2）1【解析】试题分析：（1）由余弦定理及题设得 ；（2）由（1）知 当时，取得最大值试题解析： （1）由余弦定理及题设得，又，；（2）由（1）知， ，因为，所以当时，取得最大值考点：1、解三角形；2、函数的最值.视频19.19.已知数列an中,a1=1,且点(an,an+1)在直线2x-y+3=0上.（1）求证：数列 an+3是等比数列；（2）设,数列bn的前n项和为Sn.求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由点在直线上可得递推关系，可证数列是等比数列.（2）由（1）可得，可用裂项相消法求其前项和.【详解】（1）由题得：，故，因，故，故数列是以4为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，故，所以.又【点睛】（1）证明一个数列是等比数列，有两种基本方法：证明总是常数（，）；证明（，）且 （2）数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20.20.设函数. ()当m=1时，解不等式； ()若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将不等式因式分解后可得相应的不等式的解.（2）就分类讨论即可.【详解】() 不等式即， 可化为， 可得原不等式的解集为.() 当时，不合题意； 当时，还需， 解之得. 综上得的取值范围是.【点睛】（1）含参数的一元二次不等式的恒成立问题，要注意区分是上的恒成立还是给定范围上的恒成立，前者可用判别式进行判断，后者可以转化为函数的最值.（2）含参数的一元二次不等式的恒成立问题，要注意对二次项系数的符号的讨论.21.21.如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进10米后到达点B，又从点B测得斜度为，建筑物的高CD为5米（1）若，求AC的长；（2）若，求此山对于地平面的倾斜角q 的余弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中利用正弦定理可求的长.（2）在中利用正弦定理可求的长，在利用正弦定理算出后可得的大小，从而可以得到的大小.【详解】（1）当时，所以，由余弦定理得：，故. （2）当，在中，由正弦定理有在中，又.【点睛】在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量22.22.已知数列的前n项和为, 其中，数列满足. ()求数列的通项公式;()令，数列的前n项和为，若对一切恒成立，求实数k的最小值.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用公式得出an为等比数列，代入得出bn的通项公式；（2）利用裂项相消法求出数列的前n项和为，构造新数列，判断其单调性求最值即可