等比数列二人教试验修订本

等比数列二【学习目标】1认识和理解等比数列的性质，掌握运用等比数列性质进行各种运算的技巧2掌握如何处理等比数列与等差数列的公共项问题3在探求、证明、应用中提高分析、计算能力【学习障碍】1如何通过等比数列的性质，把握等比数列各元素之间的联系和内在规律，进而灵活快捷地进行运算是学生普遍感到困难的地方2由于公共项问题，解决方法较为独特，对学生能力要求较高，学生初学时容易简单模仿、机械记忆，往往不能转化为能力【学习策略】学习导引和等差数列一样，等比数列也有许多重要性质：若数列an是公比为q的等比数列，则(1)an0，且anan20(2)当nmpq(n，m，p，qN*)时，有anamapaq特别地，当nm2p时，anamap2(3)当an是有穷数列时，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积由此可得a1a2a3an(4)数列an(为不等于0的常数)仍是公比为q的等比数列(5)若bn是公比为的等比数列，则数列anbn是公比为qq的等比数列(6)数列是公比为的等比数列(7)Sk，S2kSk，S3kS2k，也成等比数列，公比为qk证明：(1)由等比数列定义，可知an0又anan2a1qn1a1qn1a12q2n，q0，得anan20(2)anama1qn1a1qm1a12qnm2apaqa1qpa1qq1a12qpq2又nmpq，anamapaq当pq时，即nm2p时，显然有anamap2(3)与首末两项等距离的两项是ak和an(k1)项kn(k1)1n由性质(3)可知akan(k1)a1an(4)设bnan，则q(5)证明详见课本P125例3证明(6)设bn，则公比为qk知识拓宽中国古代有一个“浮萍七子”的趣味题：浮萍夜产七子(连同母萍)，则一叶浮萍逐日应得浮萍数应是一个等比数列：1，7，72，73，孙子算经中也记载了一个公比为9的等比数列问题：今有人出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何书中给出了正确的答案，但没有解法的详细说明在意大利斐波纳奇(LFibonacci，11701250)所著算法之书(1202)中有一个相仿的问题：7个老妇同走罗马，每人有7匹骡子，每匹骡子驮七个布袋，每个布袋装7个面包，每个面包带7把小刀，每把小刀有7层鞘，问各有多少对等比数列的比较系统的研究是从古希腊开始的，并且在欧几里德(Euclid，前330前275)的几何原本中达到了相当高的水平在几何原本第八卷中，欧几里德作过对连比例的分析，集中讨论了等比数列问题在欧几里德的观念中，等比数列是一系列构成连比例的数对连比例性质的研究，就是对等比数列的研究比如书中的命题13：如果有n个数成连比例，且每个自乘得某数，则这些乘积成比例 又，如果原来这些数再乘这些乘积得某些数，则最后这些数也成比例这就是说，如果a，b，c，d，成等比数列，则a2，b2，c2，d2，成等比数列同样an，bn，cn，d n，也成等比数列障碍分析1怎样用等比数列的性质解答数列问题？例1在等比数列an中：(1)已知a24，a5，求通项an；(2)已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值解：(1)a24，a5，a5a2q52，qana2qn24()n2(2)a3a5a42，a3a4a5a438，a42又a2a6a42，a2a3a4a5a6a4532点评：充分利用性质解题，使计算量减少了许多例2在等比数列an中，若a1a2324，a3a436，则a5a6_解：a1a2，a3a4，a5a6成等比数列(a3a4)2(a1a2)(a5a6)又a1a2324，a3a436，a5a64点评：这里运用了等比数列性质(2)2怎样求解等差数列和等比数列的公共项问题？例3已知等比数列an和等差数列bn，且an2n，bn3n2，设数列an，bn中的共同项由小到大排列组成数列cn求出数列cn的通项公式cn思路一：考查一个数列中是否含有另一数列的一个子列解法一：设数列an中的第n项与数列bn中的第m项相同，即anbm，亦即2n122n2(3m2)6m43(2m1)12n1被3除余1数列an中的第n1项不在bn中，又2n2222n4(3m2)12m83(4m2)22n2被3除余2数列an中的第n2项在bn中由此可知：当an在数列bn中时，其后每隔一项也都在bn中，由于23322，所以数列an中从第3项开始的所有奇数项均在bn中，而所有偶数项都不在bn中两个数列的公共项cn22n124n(nN*)思路二：由anbm，解含n，m的不定方程解法二：由anbm，得2n3m22n23m即2n2是3的倍数当n2k1(kN*)时，2n222k122(4k1)2(41)(4k14k241)是3的倍数；当n2k(kN*)时，2n222k2(4k1)1不是3的倍数cn22n124n点评：本题的难点是不知如何分类，为什么以奇数和偶数两种情况讨论？其实，本题解题前，首先运用特值探路法，计算出两个数列的前若干项，找出公共项的规律(an中从第3项开始前几个奇数项都在bn中)，其次才能进行合理的分类3怎样证明一个数列不是等比数列？例4设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明数列cn不是等比数列证法一：设anaqn1，bnbpn1，且pq，则cnaqn1bpn1若cn为等比数列为一常数(nN*)pq当pq时，数列cn不是等比数列证法二：设cnanbn成等比数列，则(anbn)2(an1bn1)(an1bn1)an与bn是等比数列，an2an1an1，bn2bn1bn1整理上式并将其代入，得2anbnan1bn1an1bn1设an与bn的公比分别为p和q(pq)，所以，2anbnanpbnq，即2而2，矛盾cnanbn不能成等比数列证法三：设an、bn的公比分别为p、q(pq)cnanbnc22c1c3(a1pb1q)2(a1b1)(a1p2b1q2)a1b1(qp)2又a1，b10，pqc22c1c30，即c22c1c3数列cn不是等比数列证法四：假设数列cn为等比数列，又设数列an，bn的公比分别为p、q，pqcnanbn，cn12cncn2即(an1bn1)2(anbn)(an2bn2)(anpbnq)2(anbn)(anp2bnq2)化简得p2q22pq，即pq，这与pq矛盾数列cn不是等比数列点评：证法一，通过证明所给命题的等价命题而获证证法二、三、四运用反证法，通过推理，得到与题设相矛盾的结论在证明“不”或“至少”的命题时，用反证法往往比较简单，证法三应该是最简捷的方法思维拓展例5数列an，bn满足a11，a2r(r0)，bnanan1，且bn是公比为q(q0)的等比数列，设cna2n1a2n(nN*)(1)求cn的通项公式；(2)设dn，r219.21，q，求数列dn的最大项和最小项的值思路：根据bn是等比数列，可列出通项bn，从而得到anan1，即由数列an的递推关系，再研究数列an解：(1)bn为等比数列，公比为qq即q从而q，(nN*)因此，数列a1，a3，a5，a2n1和数列a2，a4，a6，a2n都为等比数列，且公比都是q故a2n1a1qn1qn1，a2na2qn1rqn1故cna2n1a2nqn1rqn1(1r)qn1(nN*)(2)此时，cn(1219.21)()n1220.2n故dn即dn1 (nN*)从上式可知，当n20.20，即n21(nN*)时，dn随n增大而减小，故有1dnd2112.25当n20.20，即n20(nN*)时，dn也随n的增大而减小，故有1dnd2014综合(1)、(2)两式知，对任意nN*，有d20dnd21，故dn的最大项d212.25，最小项d204误区点评：解本题的关键是确定cn的单调性，但若不细心，也容易出现失误如认为n20.2对nN*是单调递增，由此推导的单调性为单调递减，从而认为cn的最大项为c1，这显然是错误的探究学习在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b91，则有等式_成立你能否给出更一般的结论？答案：对应于等差数列和的性质，等比数列具有相应积的性质分析已知条件，注意到119210，又11729，可猜想答案为b1b2bnb1b2b17n这是因为当n8时，则17n9故bn1bn2b8b9b10b17n(bn1b17n)(bn2b16n)(b8b10)b9b92b92b92b91故b1b2b17nb1b2bn(n17，nN*)答：b1b2bnb1b2b17n(n17，nN*)【同步达纲练习】一、选择题1一个直角三角形三边的长成等比数列，则A三边边长之比为345B三边边长之比为13C较小锐角的正弦为D较大锐角的正弦为2在各项都为正数的等比数列an中，若a5a69，则：log3a1log3a2log3a3log3a10等于A8B10C12D2log353已知公差不为零的等差数列的第2、3、6项依次是一等比数列的连续三项，则这个等比数列的公比等于ABCD34若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为二根的一元二次方程为Ax26x250Bx212x250Cx26x250Dx212x250二、填空题5若a，b，c成等比数列，则函数f(x)ax2bxc的图象与x轴的交点个数为_6等比数列an中，a1a230，a3a460则：a7a8_7已知an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625那么，a3a5的值等于_三、解答题8四个数成等比数列，前三个数之积为1，后三个数之和为，求这四个数9设a，b，c都是实数，且方程(a2b2)x22b(ac)xb2c20有实根，求证：a，b，c成等比数列，并且公比为x参考答案【同步达纲练习】一、1C 提示：由三边等比排除A；由直角三角形排除B；由直角三角形较大锐角大于45，排除D2B 提示：原式log3a1a2a3a10log3(a5a6) 5log395103D 提示：根据题意：设三项依次为a1d，a12d，a15d(a12d)2(a1d)(a15d)(公差d0)解得：d2a1，由于三项依次是一等比数列的连续三项，公比q34D 提示：设两数为x1，x2，由已知条件，可知，所求方程为：x212x250二、50 提示：b2ac，在方程ax2bxc0中，b24ac3b20(b0)方程ax2bxc0无解；函数f(x)ax2bxc的图象与x轴无交点6240 提示：因为an