江苏苏州苏州新区一中高考数学综合练习

苏州新区一中2015届高三数学综合练习一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1函数f(x)cos2xsin2x的最小正周期为 2已知复数z，其中i是虚数单位，则|z| 3某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取 名学生S0SSk2开始输出S结束YNk5（第6题图）k1kk24从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是 5已知向量a(2，1)，b(0，1)若(ab)a，则实数 6右图是一个算法流程图，则输出S的值是 7已知双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为 8已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是 9设f(x)x23xa若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为 10在ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c已知ac2b，sinBsinC，则cosA 11若f(x)是R上的单调函数，则实数a的取值范围为 12记数列an的前n项和为Sn若a11，Sn2(a1an)(n2，nN*)，则Sn 13在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y26x50，点A，B在圆C上，且AB2，则|的最大值是 14已知函数f(x)x1(e1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(ex)0的x的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知函数f(x)2sin(2x)(02)的图象过点(，2)（1）求的值； （2）若f()，0，求sin(2)的值 16 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点（1）求证：MN平面AA1C1C；（2）若CC1CB1，CACB，平面CC1B1B平面ABC，求证：AB平面CMNA1ABCB1C1MN（第16题图）17 已知an是等差数列，其前n项的和为Sn， bn是等比数列，且a1b12，a4b421，S4b430（1）求数列an和bn的通项公式； （2）记cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和18 给定椭圆C：1(ab0)，称圆C1：x2y2a2b2为椭圆C的“伴随圆”已知椭圆C的离心率为，且经过点(0，1)（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m)(m0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值19 如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中tan2在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积AMNP（第19题图）CB20 已知函数f(x)ax3|xa|，aR（1）若a1，求函数yf(x) (x0，)的图象在x1处的切线方程；（2）若g(x)x4，试讨论方程f(x)g(x)的实数解的个数；（3）当a0时，若对于任意的x1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，求满足条件的正整数a的取值的集合2015届高三数学综合练习1（2014.09.14）B选修42：矩阵与变换已知矩阵A属于特征值l的一个特征向量为 （1）求实数b，l的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C：x22y22，求曲线C的方程B选修42：矩阵与变换 已知M，N，设曲线ysinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程 C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线m的参数方程为（t为参数）；在以O为极点、射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为sin8cos若直线m与曲线C交于A、B两点，求线段AB的长C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数 )，圆C的参数方程为(为参数)若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值2015届高三数学综合练习1数学参考答案及评分标准（2014.09.14） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1 2 332 4 55 635 72 8 9(0， 10 11，) 1222n1 138 14(0，1)二、解答题：本大题共6小题，共计90分15（本小题满分14分）解：（1）因为函数f(x)2sin(2x)(02)的图象过点(，2)，所以f()2sin()2，即sin1 4分因为02，所以 6分（2）由（1）得，f(x)2cos2x 8分因为f()，所以cos又因为0，所以sin 10分所以sin22sincos，cos22cos21 12分从而sin(2)sin2coscos2sin 14分16（本小题满分14分）证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NPA1ABCB1C1MN（第16题图）P因为C1NNB1，C1PPA1，所以NPA1B1，NPA1B1 2分在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1AB，A1B1AB故NPAB，且NPAB 因为M为AB的中点，所以AMAB所以NPAM，且NPAM所以四边形AMNP为平行四边形所以MNAP 4分因为AP平面AA1C1C，MN平面AA1C1C，所以MN平面AA1C1C 6分（2）因为CACB，M为AB的中点，所以CMAB 8分因为CC1CB1，N为B1C1的中点，所以CNB1C1 在三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，所以CNBC因为平面CC1B1B平面ABC，平面CC1B1B平面ABCBCCN平面CC1B1B，所以CN平面ABC 10分因为AB平面ABC，所以CNAB 12分因为CM平面CMN，CN平面CMN，CMCNC，所以AB平面CMN 14分17（本小题满分14分）解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由a1b12，得a423d，b42q3，S486d 3分由条件a4b421，S4b430，得方程组解得所以ann1，bn2n，nN* 7分（2）由题意知，cn(n1)2n记Tnc1c2c3cn则Tnc1c2c3cn 22322423n2n1 (n1)2n，2 Tn 222323(n1)2n1n2n (n1)2n1，所以Tn22(22232n )(n1)2n1， 11分即Tnn2n1，nN* 14分18（本小题满分16分）解：（1）记椭圆C的半焦距为c由题意，得b1，c2a2b2，解得a2，b1 4分（2）由（1）知，椭圆C的方程为y21，圆C1的方程为x2y25显然直线l的斜率存在设直线l的方程为ykxm，即kxym0 6分因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组 （*） 有且只有一组解由（*）得(14k2)x28kmx4m240从而(8km)24(14k2)( 4m24)0化简，得m214k2 10分因为直线l被圆x2y25所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d即 14分由，解得k22，m29 因为m0，所以m3 16分19（本小题满分16分）解：（方法一）(A)xNPyOBC（第19题图1）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系因为tan2，故直线AN的方程是y2x设点P(x0，y0)因为点P到AM的距离为3，故y03由P到直线AN的距离为，得，解得x01或x04(舍去)，所以点P(1，3) 4分显然直线BC的斜率存在设直线BC的方程为y3k(x1)，k(2，0)令y0得xB1 6分由解得yC 8分设ABC的面积为S，则SxByC1 10分 由S 0得k或k3当2k时，S0，S单调递减；当k0时，S0，S单调递增 13分所以当k时，即AB5时，S取极小值，也为最小值15 答：当AB5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分（方法二）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系因为tan2，故直线AN的方程是y2x设点P(x0，y0)因为点P到AM的距离为3，故y03由P到直线AN的距离为，得，解得x01或x04(舍去)，所以点P(1，3) 4分显然直线BC的斜率存在设直线BC的方程为y3k(x1)，k(2，0)令y0得xB1 6分由解得yC 8分设ABC的面积为S，则SxByC1 10分 令8k9t，则t(25，9)，从而k 因此S111 13分因为当t(25，9)时，t(34，30，当且仅当t15时，此时AB5，34t的最大值为4从而S有最小值为15答：当AB5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分（方法三）如图2，过点P作PEAM，PFAN，垂足为E、F，连接PA设ABx，ACyAMNPBC（第19题图2）EF因为P到AM，AN的距离分别为3， 即PE3，PF由SABCSABPSAPCx3y (3xy) 4分因为tana2，所以sina 所以SABCxy 8分由可得xy (3xy)即3x5y2xy 10分因为3x5y2，所以 2xy2解得xy15 13分当且仅当3x5y取“”，结合解得x5，y3 所以SABCxy 有最小值15答：当AB5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2 16分20（本小题满分16分）解：（1）当a1，x0，)时，f(x)x3x1，从而f (x)3x21当x1时，f(1)1，f (1)2，所以函数yf(x) (x0，)的图象在x1处的切线方程为y12(x1)，即2xy30 3分（2）f(x)g(x)即为ax3|xa|x4所以x4ax3|xa|，从而x3(xa)|xa|此方程等价于xa或或 6分所以当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1；当1a1时，方程f(x)g(x)有三个不同的解a，1，1；当a1时，方程f(x)g(x)有两个不同的解a，1 9分（3）当a0，x(a，)时，f(x)ax3xa，f (x)3ax210，所以函数f(x)在(a，)上是增函数，且f(x)f(a)a40所以当xa，a2时，f(x)f(a)，f(a2)，当xa2，)时，f(x) f(a2)，) 11分因为对任意的x1a，a2，都存在x2a2，)，使得f(x1)f(x2)1024，所以， f(a2)，) 13分从而f(a2)所以f 2(a2)1024，即f(a2)32，也即a(a2)3232因为a0，显然a1满足，而a2时，均不满足所以满足条件的正整数a的取值的集合为1 16分 数学附加题参考答案及评分标准 B选修42：矩阵与变换解：（1）因为矩阵A属于特征值l的一个特征向量为， 所以l，即 3分从而解得b0，l2 5分（2）由（1）知，A设曲线C上任一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C上一点P(x0，y0)，则， 从而 7分因为点P在曲线C上，所以x022y022，即(2x)22(x3y)22，从而3x26xy9y21 所以曲线C的方程为3x26xy9y21 10分B选修42：矩阵与变换 解：由题设得. 4分设所求曲线F上任意一点的坐标为（x,y），上任意一点的坐标为，则MN，解得 . 7分把代入，化简得.所以，曲线F的方程为. 10分C选修44：坐标系与参数方程解：直线m的普