简化立体几何运算的几种方法学法指导不分本

简化立体几何运算的几种方法http:/www.DearEDU.com吕晓 立体几何教学的任务之一就是培养学生的运算能力，要培养运算能力，就要掌握简化立体几何运算的方法，那么怎样简化立体几何运算呢？一、一般问题特殊化 有些选择题或填空题，若根据题意直接解答运算很繁，把一般问题特殊化，可简化运算过程。 例1. 正四棱锥相邻两侧面形成的二面角为，则的范围是（ ） A. B. C. D. 解：如图1，正四棱锥SABCD，过A作AESB于E，连CE。图1 由三角形全等容易证得AEC是二面角的平面角。考虑特殊位置V，当S无限接近O点时，接近；当S距平面ABCD无限远时，接近，的范围是。故选D。二、整体估算 有些立体几何选择题，若直接解答十分繁杂，若采用整体估算则十分简单。 例2. （1999年高考题）如图2，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF与面ABCD的距离为2，则多面体EFABCD的体积是（ ）图2 A. B. 5C. 6D. 解：连结EB、EC得四棱锥EABCD，它的高h2，SABCD9，四棱锥EABCD的体积。 因为，即。故应选D。三、用公式求二面角 一个平面上的图形面积为S原，它的另一个面上的射影的图形面积为S射，这两个面的夹角为，则有，即。利用这公式求二面角的大小，不需要找二面角的棱确定二面角的平面角，显然可以简化运算。 例3. 正方体中，E是BC的中点，求平面与平面ABCD所成二面角的大小。解：如图3，连结DB、DE，因为都垂直于平面ABCD，则DBE是D1B1E在平面ABCD上的射影。图3 设正方体的棱长为1，易知。 所以。 设所求二面角为，则，故。即平面与平面ABCD所成的二面角为。四、运用三棱锥的体积求点面距离 求点面距离的一般思路是过点向平面作垂线，确定垂足位置和表示距离的线段长，这样作解答难，运算繁。如果构造三棱锥，把所求距离转化为三棱锥的高，通过三棱锥的体积求点面距离，可简化运算。 例4. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC2，求点B到平面EFC的距离。 解：如图4，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥BEFG。图4 设点B到平面EFG的距离为h，BD，EF，CO。 。 而GC平面ABCD，且GC2。由，得GC，所以解得。 故点B到平面EFG的距离是。 评注：构造以点B为顶点，EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。五、变换图形的位置 根据待解题目给出图形求解，有时运算很繁。若变换图形的位置，便于求解，可简化运算。 例5. 已知三棱锥VABC的三个侧面VAB、VBC、VAC互相垂直，且其面积依次为6、4、3。求此三棱锥的体积。图5 解析：根据已知条件用左图求三棱锥VABC的体积，解答难，运算繁。若改变为右图，求三棱锥AVBC的体积，可简化运算。 因为平面VAB、VBC、VAC两两互相垂直所以VA、VB、VC互相垂直，从而VA平面VBC。 设VAx，VBy，VCz，则xy12，yz8，zx6。三式相乘，得，因，所以。 。六、运用分割法 求某种几何体的体积，直接求解运算很繁。若注意用分割法，则可简化运算。 例6. 如图6，三棱锥PABC中，已知PABC，PABCl，PA、BC的公垂线段EDh，求三棱锥PABC的体积。图6 解：连BE、EC。因为PABC，PAED且BCEDD，所以PA平面BEC。 因，所以，PE。 七、运用等积代换 有些求体积问题，根据公式直接求解，运算很繁，又需要许多证明，若通过等积代换，可简化运算。 例7. 斜三棱柱的一个侧面面积为S，这个侧面与它的对棱的距离为a，求这个棱柱的体积。 解：如图7，设斜三棱柱中，侧面BBCC面积为S，与它的对棱AA间的距离为a。图7 连CA、CB，则有。 调查顶点和底面，有三棱锥ABCC，于是。 因为AABB，BB平面BBCC，所以AA平面BBCC。 由此可知，AA到侧面BBCC的距离a等于三棱锥ABCC的高。 因为 所以。 所以。八、倍角为自变量使问题三角化 涉及立体几何的最值问题，若设线段的长度为自变量常出现根式运算；如果设角为自变量，可避免根式运算，简化解题过程。 例8. 如图8，利用仓库两墙互相垂直的墙角，把一块长方形木板的两条边紧靠在两堵墙上，使地面、木板和两堵墙围成一个直三棱柱，若已知木板长为a，宽为b（），问如何围法可使三棱柱容积最大？图8 解：设ABC（），直三棱柱的体积为V，则有： 当且仅当，即时，V取最大值。 容积的大小不仅与角有关，还与木板是a边还是b边着地有关，因此还有 当且仅当，即45时，体积V取得最大