重庆南开中学高一数学期中

2018-2019学年重庆市南开中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A=1，1，2，集合B=x|xA且2xA，则B=A. 1 B. 2C. 1，2 D. 1，2【答案】C【解析】【分析】根据元素与集合的关系直接进行判断.【详解】集合Bx|xA且2xA，集合A1，1，2，当x1时，可得2（1）3A；当x1时，可得211A；当x2时，可得220A；B1，2；故选：C【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2.函数的定义域为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据根号下的式子非负，分母不等于0，列出不等关系，解得函数的定义域即可【详解】由题意得：，解得：1x3，故选：D【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式及分式的性质，是一道基础题3.下列各组的两个函数为相等函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】A中，f(x)的定义域为x|x1，g(x)的定义域为x|x1或x1，它们的定义域不相同；B中，f(x)()2的定义域为，g(x)2x5的定义域为R，定义域不同，不是相等函数C中，f(x)与g(x)的对应关系不同，不相等D中，f(x)x(x0)与g(x)t(t0)的定义域与对应关系都相同，它们相等,故选D.4.已知函数，且，则A. B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意，先由换元法求出函数的解析式，结合函数的解析式可得若f（a）5，即4a+35，解可得a的值，即可得答案【详解】根据题意，函数f（x1）2x1，令tx1，则x2（t+1），则f（t）4（t+1）14t+3，若f（a）5，即4a+35，解可得a；故选：B【点睛】本题考查函数的解析式的求法及函数值的运算，属于基础题5.函数的图象为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分离常数，结合反比例函数的图象可得答案；【详解】函数y；可得x，0，y又x3时，y0结合反比例函数的图象，可得x时，函数图象单调性递减；故选：C【点睛】本题考查了函数图象变换及函数图像的识别，是基础题6.已知函数是R上的奇函数，当时，则A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（）的值，又由函数的奇偶性可得f（）f（），进而可得答案【详解】根据题意，当x0时，f（x）4x+x，则f（）1，又由函数为奇函数，则f（）f（）1；故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数的求值，属于基础题7.函数，的值域为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可令，根据x的范围，可求出，并求出xt21，原函数变成y2（t21）3t，配方即可求出该函数的最值，从而得出f（x）的值域【详解】令；xt21；时，f（x）取最小值；t2时，f（x）取最大值0,但是取不到；f（x）的值域为：故选：C【点睛】考查函数值域的概念及求法，换元法求函数的值域以及配方求二次函数值域的方法8.已知是奇函数且在R上的单调递减，若方程只有一个实数解，则实数m的值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知函数的奇偶性与单调性把方程f（x2+1）+f（mx）0只有一个实数解转化为方程x2x+m+10只有一个实数解，再由判别式等于0求得m值【详解】f（x）是奇函数，由f（x2+1）+f（mx）0，得f（x2+1）f（mx）f（xm），又f（x）在R上的单调递减，x2+1xm，即x2x+m+10则（1）24（m+1）0，解得m故选：B【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，是基础题9.已知开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可【详解】由题意函数的对称轴是x，图象开口向上，若f（x）在区间（a，2a1）上单调递减，则只需2a1，解得：a，而a2a1，解得：a1，故选：B【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题10.已知是定义在上的偶函数，若对任意的，都满足，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数为偶函数可得f（x+1）f（2x1）0f（|x+1|）f（|2x1|），进而分析可得在0，+）上为增函数，据此可得|x+1|2x1|，解可得x的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，f（x）是定义在（，+）上的偶函数，则f（x+1）f（2x1）0f（|x+1|）f（|2x1|），若f（x）对任意的x1，x20，+）（x1x2）都满足0，则函数f（x）在0，+）上为增函数，则f（|x+1|）f（|2x1|）|x+1|2x1|，变形可得：（x+1）2（2x1）2，解可得：x0或x2，即不等式的解集为（，0）（2，+）；故选：C【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的性质以及应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题11.已知函数，若存在实数x，使得与均不是正数，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】存在实数x，f（x）与g（x）的值均不是正数，所以对m分类讨论，即m0、m0、m0 讨论f（x）与g（x）的值的正负，求出满足题意的m的值【详解】分3类讨论 m0 时，对于任意x,g（x）0 而f（x）2（x+1）2+2值恒正，不满足题意m0 时，对于x0 时，g （x）0 成立，只需考虑x0时f（x）的情况，由于函数f（x）2x2+（4m）x+4m，对称轴为.当m0 时，对称轴在y轴左侧，故只需满足f（0）0即可，即m4，不满足题意当m0 时，g （x）0 在x0 时成立，只需考虑x0时f（x）的情况，若存在实数x使得f（x）不是正数，则,即m4.此时对称轴，所以只需，解得m4.综上所述m取值范围为m4故选：A【点睛】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查分类讨论思想，转化思想，是中档题12.已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的最大值为A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】画出函数f（x）的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出【详解】函数f（x），如图所示，当b0时，f（x）2+af（x）b20化为f（x）2+af（x）0，当a0时，af（x）0，由于关于x的不等式f（x）2+af（x）0恰有1个整数解，因此其整数解为2，又f（2）4+22，a20，af（3）6，则6a2，a0不必考虑当b0时，对于f（x）2+af（x）b20，a2+4b20，解得：f（x），只考虑a0，则0，由于f（x）0时，不等式的解集中含有多于一个整数解（例如，0，1），舍去综上可得：a的最大值为6故选：C【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则_【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算f（），再次代入函数的解析式计算可得答案【详解】根据题意，f（x），则f（），则f（）；故答案为：【点睛】本题考查分段函数的求值，关键掌握函数的解析式，属于基础题14.函数的单调减区间为_【答案】【解析】【分析】根据所给函数式，讨论去掉绝对值，得到一个分段函数，利用二次函数的单调性即可得到减区间【详解】当x2时，f（x）x22x，当x2时，f（x）x2+2x，故函数f（x）f（x）x22x的对称轴为：x1，开口向上，x2时是增函数；f（x）x2+2x，开口向下，对称轴为x1，则x1时函数是增函数，1x2时函数是减函数即有函数的单调减区间是1，2故答案为：1，2【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是去掉绝对值，把函数化成基本初等函数，再通过函数的性质或者图象得到结果15.设函数是定义在R上的奇函数，若在单调递减，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在区间（0，2）或（，2）上，f（x）0；在（2，+）或（2，0）上，f（x）0，又由原不等式等价于或，分析可得不等式的解集，即可得答案【详解】根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+）单调递减，又由f（2）0，则f（2）f（2）0，则在区间（0，2）上，f（x）0，则（2，+）上，f（x）0，又由f（x）为R上的奇函数，则在区间（，2）上，f（x）0，则（2，0）上，f（x）0，则在区间（0，2）或（，2）上，f（x）0；在（2，+）或（2，0）上，f（x）0，（x+1）f（x1）0或，解可得：1x3，即x的取值范围为（1，3）；故答案为：（1，3）【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意将原不等式转化为关于x的不等式，属于基础题16.已知函数对任意的实数x，y都满足且，则的值为_【答案】【解析】【分析】可令xy0，计算可得f（0）1，再令xy1，求得f（2）；令x0，y1，求得f（1），再令xy1，求得f（2），即可得到所求和【详解】对任意的实数x，y都满足f（x+y）+f（xy）2f（x）f（y）且f（1），令xy0，可得f（0）+f（0）2f（0）f（0），可得f（0）0或f（0）1，若f（0）0，可令y0，则f（x）+f（x）2f（x）f（0）0，即f（x）0，这与f（1）矛盾，则f（0）0不成立，则f（0）1，令xy1，可得f（2）+f（0）2f（1）f（1），可得f（2）21，令x0，y1可得f（1）+f（1）2f（0）f（1），即有f（1）21，令xy1可得f（2）+f（0）2f（1）f（1），即有f（2）21，则f（2）+f（2）1故答案为：1【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求法，注意运用赋值法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合，其中设全集为R，求；若，求实数m的取值范围【答案】(1);(2) 实数m的取值范围是.【解析】【分析】（1）求解集合A、B，根据补集，交集的定义求解A（RB）；（2）根据并集的定义ABCR，即可实数m的取值范围【详解】由集合或，（1）由条件可得，.由（1）可知或，由，即或，解得：解得实数m的取值范围是【点睛】本题考查了交、并、补集及其运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键18.；设，化简：；若，求的值【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】根据指数幂的性质求出代数式的值即可利用根式与分数指数幂互化进行化简即可.由已知先计算，再平方计算，代入计算即可.【详解】原式；原式；若，则，故【点睛】本题考查了指数幂的运算及根式与分数指数幂互化，考查转化思想，是一道常规题19.已知函数是定义在上的奇函数，且求的解析式；求函数的值域【答案】(1);(2) 值域为.【解析】【分析】（1）根据奇函数得f（0）0，解得b0；根据f（），解得a2；（2）利用一元二次方程有解，判别式大于等于0解得【详解】由已知得，即，再由，得，解得，当时，；当时，一元二次方程对x有解，所以，解得且，综上所述：所求函数的值域为【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了分式型函数求值域的方法，属中档题20.已知集合，若，求实数a的取值集合；若，求实数a的取值范围【答案】(1) 实数a的取值集合为；（2）实数a的取值范围为.【解析】【分析】（1）由B1，2，AB，得1A或2A，得关于a的方程，求得a；（2）由C（3，2）与AC，分类讨论A与A两种情况下满足条件的不等式组，从而求出a的取值范围【详解】（1）根据题意得到若，则，此时，此时，实数a的取值集合为；，设，若，则，综上可知，实数a的取值范围为【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，需注意不要漏掉空集，难度中档21.定义在上的函数满足对所有的正数x、y都成立，且当，求的值判断并证明函数在上的单调性若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由f（xy）f（x）+f（y），取x1，y1得f（1）0；（2）设x1x20则f（x1）f（x2）f（x2）f（x2）f（），又当x1，f（x）0，得f（x）在（0，+）上单调递减；（3）由f（2）1，f（xy）f（x）+f（y），f（kx）f（x2kx+1）1得f（2kx）f（x2kx+1），又f（x）在（0，+）上单调递减，得到关于k的不等式组，解之得实数k的取值范围【详解】（1）f（xy）f（x）+f（y），取x1，y1得：f（1）f（1）+f（1）；f（1）0；（2）设x1x20则f（x1）f（x2）f（x2）f（x2）f（），x1x20；又x1时，f（x）0；f（x1）f（x2）0；f（x1）f（x2）；f（x）在（0，+）上单调递减；（3）f（2）1，f（xy）f（x）+f（y）；由f（kx）f（x2kx+1）1得f（2kx）f（x2kx+1）又f（x）在（0，+）上单调递减，0k【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，考查了用定义法证明单调性及不等式恒成立问题，运用了转化思想，属于难题22.已知，函数F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q=（）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范围；（）（）求F（x）的最小值m（a）；（）求F（x）