江苏金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中高三数学期初联考

江苏省金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中2020届高三数学下学期期初联考试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合A1，2，3，B2，4，则AB 2已知复数z12i，z2a2i（i为虚数单位，aR），若z1z2为纯虚数，则实数a的值为 3函数f(x)ln(x1)的定义域为 4某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，x，10，11，9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x的值为 5已知抛物线y24x上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为 6已知命题p：1xa0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 7等比数列an的前n项和为Sn，若4a1，2a2，a3成等差数列，a11，则S7 8函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数，当0xc1的解集为(m4，m)，则实数c的值为 12在锐角ABC中，已知sinC4cosAcosB，则tanAtanB的最大值为 13在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为 14设函数f(x)axsinxcosx若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线yf(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD平面AEF（1）求证：EF平面ABD；ABCFED（第15题）（2）若BDCD，AE平面BCD，求证：平面AEF平面ACD16（本小题满分14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB（1）若c2a，求的值；（2）若CB，求sinA的值17（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2设AOCx rad（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；（2）试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值ABOCD（第17题）18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1(ab0)过点，其离心率等于（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足MBAB，且MA交椭圆E于点P求证：为定值；设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点19（本小题满分16分）已知函数f(x)ax2lnx，g(x)bx，设h(x)f(x)g(x)（1）若f(x)在x处取得极值，且f (1)g(1)2，求函数h(x)的单调区间；（2）若a0时，函数h(x)有两个不同的零点x1，x2求b的取值范围；求证：x1x2e220（本小题满分16分）已知数列an前n项和为Sn，数列an的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S52a4a5，a9a3a4（1）求数列an的通项公式；（2）若amam1am2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列an中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由2020届高三年级第二学期期初联考试卷数学试题命题单位：丹阳高级中学审核单位：金陵中学 无锡一中试题21【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换设a，bR若直线l：axy70在矩阵A= 对应的变换作用下，得到的直线为l：9xy910求实数a，b的值B选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长C选修45：不等式选讲已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的（1）求恰有2人申请A大学的概率；（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)23（本小题满分10分）已知，记（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除期初联考试卷 数学试题参考答案及评分标准试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）11，2，3，4 21 3(1，) 48 5(4，4)65，7 7127 82 93：2 10113 124 139 141，1二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）解：（1）因为BD平面AEF，BD平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以BDEF3分因为BD平面ABD，EF平面ABD，所以EF平面ABD6分（2）因为AE平面BCD，CD平面BCD，所以AECD8分因为BDCD，BDEF，所以CDEF，10分又AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF12分又CD平面ACD，所以平面AEF平面ACD14分16（本小题满分14分）解：（1）解法1：在ABC中，因为cosB，所以2分因为c2a，所以，即，所以4分又由正弦定理得，所以6分解法2：因为cosB，B(0，)，所以sinB2分因为c2a，由正弦定理得sinC2sinA，所以sinC2sin(BC)cosCsinC，即sinC2cosC4分又因为sin2Ccos2C1，sinC0，解得sinC， 所以6分（2）因为cosB，所以cos2B2cos2B18分又0B，所以sinB，所以sin2B2sinBcosB210分因为CB，即CB，所以A(BC)2B，所以sinAsin(2B)sincos2Bcossin2B14分17（本小题满分14分）解：（1）因为扇形AOC的半径为40 m，AOCxrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC800x，0x2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以SCODOCODsinCOD1600sin(x)1600sinx4分从而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x6分（2）由（1）知，S(x)1600sinx800x，0xS(x)1600cosx8001600(cosx)8分由S(x)0，解得x从而当0x时，S(x)0；当x时，S(x)0因此S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，)上单调递减11分所以当x，S(x)取得最大值答：当AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大14分18（本小题满分16分）解：（1）由题得且，解得所以椭圆的方程为4分（2）设，直线的方程为，代入椭圆得，由得，8分所以10分直线过定点，理由如下：由题得，12分由得，则的方程为，即，14分所以直线过定点16分19（本小题满分16分）解：（1）因为，所以，由可得又因为在处取得极值，所以， 所以2分所以，其定义域为，令得，当时，当时，所以函数h(x)在区间上单调增，在区间上单调减4分（2）当时，其定义域为由得，记，则，所以在单调减，在单调增，所以当时，取得最小值6分又，所以时，而时，所以b的取值范围是10分注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过3分由题意得，所以，所以，12分不妨设x1x2，要证，只需要证，即证14分设，则，所以，函数在上单调增，而，所以，即，所以16分20（本小题满分16分）解：（1）设的公差为，的公比为，则由，2分所以4分（2）若，则，因为为正整数，所以为正整数，即，此时，不成立，舍去6分若，则，成立，综上，8分（3）若为中的一项，则为正整数，因为，10分所以，故若为中的某一项，只能为12分若，15分综上，或16分试题21【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换解：在直线l：axy70取点A(0，7)，B(1，7a)因为 ， ，4分所以A，B在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A(0，7b)，B(3，b(7a)1)由题意，知A，B在直线l：9xy910上，所以8分解得a2，b1310分B选修44：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程化为普通方程得4x3y4，2分将曲线C的参数方程化为普通方程得y24x4分联立方程组解得 或 所以A(4，4)，B(，1)8分所以AB10分C选修45：不等式选讲证：因为|x5y|3(xy)2(xy)|5分由绝对值不等式性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321即|x5y|110分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）解：（1）记“恰有2人申请A大学”为事件A， P(A)答：恰有2人申请A大学的概率为4分（2）X的所有可能值为1，2，3P(X1)，P(X2)，P(X3)所以X的概率分布列为：X123P所以X的数学期望E(X)12310分23（本小题满分10分）解：（1）3分（2）7分，能被整除10分金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中2020届高三年级第二学期期初联考试卷数学试题点评与参考答案试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合A1，2，3，B2，4，则AB 【点评】集合并集的运算，简单题。【答案】11，2，3，42已知复数z12i，z2a2i（i为虚数单位，aR），若z1z2为纯虚数，则实数a的值为 【点评】复数的概念，简单题。此题源自于南京二模改编。【答案】213函数f(x)ln(x1)的定义域为 【点评】函数的定义域，简单题。【答案】3(1，)4某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，x，10，11，9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x的值为 【点评】平均数与方差的计算，简单题。此题为改编题。【答案】485已知抛物线y24x上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为 【点评】抛物线的性质，简单题。注意上下两个点，学生容易出错。【答案】5(4，4)6已知命题p：1xa0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 【点评】逻辑用语，中等题。此题为改编题。【答案】65，77等比数列an的前n项和为Sn，若4a1，2a2，a3成等差数列，a11，则S7 【点评】等比数列公式的考查，中等题。【答案】71278函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数，当0xc1的解集为(m4，m)，则实数c的值为 【点评】函数值域与不等式的简单综合，中等题。此题为改编题。【答案】11312在锐角ABC中，已知sinC4cosAcosB，则tanAtanB的最大值为 【点评】以正切为切入点的最值问题，中等题。此题有较多变式，后续教学应重点关注。【答案】12413在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC120，ABC的平分线交AC于点D，且BD1，则4ac的最小值为 【点评】三角形中的最值问题，中等题。【答案】13914设函数f(x)axsinxcosx若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线yf(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 【点评】函数与导数综合，以切线为切入点，难题。此题源自南京二模。【答案】141，1【填空题总评】本次考试填空题难度不大，关注基本点的考查，考生在本部分如低于60分，需要加强相关基本题的训练。此外，本次填空有多题为各市前几年的二模真题或改编题，难度略低，但考点覆盖较全面，针对近两年难度的下降，填空题难度的下降也会成为趋势。二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD平面AEF（1）求证：EF平面ABD；（2）若BDCD，AE平面BCD，求证：平面AEF平面ACD【点评】本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，简单题。在阅卷时，应严格按照评分标准进行阅卷。对于考生在此部分答题的不规范，应严格判分。ABCFED（第15题）【答案】解：（1）因为BD平面AEF，BD平面BCD，平面AEF平面BCDEF，所以BDEF3分因为BD平面ABD，EF平面ABD，所以EF平面ABD6分（2）因为AE平面BCD，CD平面BCD，所以AECD8分因为BDCD，BDEF，所以CDEF，10分又AEEFE，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF12分又CD平面ACD，所以平面AEF平面ACD14分16（本小题满分14分）在ABC中，内角A，B， C所对的边分别为a，b，c，cosB（1）若c2a，求的值；（2）若CB，求sinA的值【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，三角函数的相关运算，中等题。注意考生的答题规范。【答案】解：（1）解法1：在ABC中，因为cosB，所以2分因为c2a，所以，即，所以4分又由正弦定理得，所以6分解法2：因为cosB，B(0，)，所以sinB2分因为c2a，由正弦定理得sinC2sinA，所以sinC2sin(BC)cosCsinC，即sinC2cosC4分又因为sin2Ccos2C1，sinC0，解得sinC， 所以6分（2）因为cosB，所以cos2B2cos2B18分又0B，所以sinB，所以sin2B2sinBcosB210分因为CB，即CB，所以A(BC)2B，所以sinAsin(2B)sincos2Bcossin2B14分17（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2设AOCx rad（1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；（2）试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值【点评】应用题，以三角函数为基底进行考查，中等题。此题源自南京市零模，难度不大。在高考中，预测应用题也会以三角函数为基底进行考查，关注导数或不等式。【答案】解：（1）因为扇形AOC的半径为40 m，AOCxrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC800x，0x2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以SCODOCODsinCOD1600sin(x)1600sinx4分从而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x6分ABOCD（第17题）（2）由（1）知，S(x)1600sinx800x，0xS(x)1600cosx8001600(cosx)8分由S(x)0，解得x从而当0x时，S(x)0；当x时，S(x)0因此S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，)上单调递减11分所以当x，S(x)取得最大值答：当AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大14分18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：1(ab0)过点，其离心率等于（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足MBAB，且MA交椭圆E于点P求证：为定值；设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点【点评】本题考查解析几何，关注向量的运算，在二模中属于热度题，中等题。定点定值题，一定要算到底，注意方法优化，本题应注意一题多解。【答案】解：（1）由题得且，解得所以椭圆的方程为4分（2）设，直线的方程为，代入椭圆得，由得，8分所以10分直线过定点，理由如下：由题得，12分由得，则的方程为，即，14分所以直线过定点16分19（本小题满分16分）已知函数f(x)ax2lnx，g(x)bx，设h(x)f(x)g(x)（1）若f(x)在x处取得极值，且f (1)g(1)2，求函数h(x)的单调区间；（2）若a0时，函数h(x)有两个不同的零点x1，x2求b的取值范围；求证：x1x2e2【点评】本题考查函数与导数，中等题。零点问题注意零点存在定理的使用，如不使用得分会较低。第三问考查点较为基础，在教学过程中教师应注意这类题的证法。在高考中，不会再出现这样的陈题、旧题，但这样的方法与思想应该牢牢把握。【答案】解：（1）因为，所以，由可得又因为在处取得极值，所以， 所以2分所以，其定义域为，令得，当时，当时，所以函数h(x)在区间上单调增，在区间上单调减4分（2）当时，其定义域为由得，记，则，所以在单调减，在单调增，所以当时，取得最小值6分又，所以时，而时，所以b的取值范围是10分注：此处需用零点存在定理证明，如考生未证明，此问最多不超过3分由题意得，所以，所以，12分不妨设x1x2，要证，只需要证，即证14分设，则，所以，函数在上单调增，而，所以，即，所以16分20（本小题满分16分）已知数列an前n项和为Sn，数列an的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S52a4a5，a9a3a4（1）求数列an的通项公式；（2）若amam1am2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得恰好为数列an中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由【点评】等差数列、等比数列的综合，难题。前两问较基础，注重公式的考查，第三问对于考生的解题思维有较大挑战，不求满分，只求多得分。【答案】解：（1）设的公差为，的公比为，则由，2分所以4分（2）若，则，因为为正整数，所以为正整数，即，此时，不成立，舍去6分若，则，成立，综上，8分（3）若为中的一项，则为正整数，因为，10分所以，故若为中的某一项，只能为12分若，15分综上，或16分【解答题总评】本次解答题难度中等，涉及考点较全面。在本次作答过程中，考生应注意对答题思维的培养与答题规范的重视，不应拘泥于分数的高低。试题21【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修42：矩阵与变换设a，bR若直线l：axy70在矩阵A= 对应的变换作用下，得到的直线为l：9xy910求实数a，b的值【点评】考查矩阵与变换，简单题。【答案】解：在直线l：axy