静电场的边值问题

3.6 静电场的边值问题3.6 静电场的边值问题 主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。 主 要 内 容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。 1，电位微分方程 2，镜像法 3，直角坐标系中的分离变量法 4，圆柱坐标系中的分离变量法 5，球坐标系中的分离变量法 1，电位微分方程 2，镜像法 3，直角坐标系中的分离变量法 4，圆柱坐标系中的分离变量法 5，球坐标系中的分离变量法 1. 电位微分方程1. 电位微分方程 已知，电位已知，电位与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为的散度为 =E 2 = E = E 那么，那么，线性各向同性线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为的均匀介质中，电位满足的微分方程式为 = 2 该方程称为该方程称为泊松方程泊松方程。 上式称为上式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。 对于无源区，上式变为 。 对于无源区，上式变为 0 2 = 0= 泊松方程的求解。泊松方程的求解。 已知分布在已知分布在V中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为) (r 因此，(1) 式是电位微分方程在自由空间的因此，(1) 式是电位微分方程在自由空间的解解。 V V = d | )( 4 1 )( rr r r (1)(1) = 2 泊松方程的通解可以应用格林函数来求出泊松方程的通解：泊松方程的通解可以应用格林函数来求出泊松方程的通解：) ,(rrG Srd) ,()()() ,( d ) ( ) ,()( + = rrrrr r rrrGGVG SV 式中式中格林函数格林函数对于自由空间具有如下形式对于自由空间具有如下形式) ,(rr G | |4 1 ) ,() ,( 0 rr rrrr =GG - 格林函数与距离成格林函数与距离成反比反比； 对于无限大的自由空间，表面 ； 对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于趋向无限远处，由于 ),( 0 rrG - dS 与距离平方成与距离平方成正比正比; ) (r 与距离的平方成与距离的平方成反比反比； - 电位与距离成电位与距离成反比反比； ) (r ) ,(rrG与距离的平方成与距离的平方成反比反比； 所以，对无限远处的 ； 所以，对无限远处的 S 表面，面积分表面，面积分 Srd) ,()()() ,( rrrrrGG S 为零为零。 于是得出分布在于是得出分布在V中的电荷在无限大的自由空间产生的电位。中的电荷在无限大的自由空间产生的电位。 ) (r V V = d | )( 4 1 )( rr r r 若若 V 为无源区，那么通解中为无源区，那么通解中 Srd) ,()()() ,( d ) ( ) ,()( + = rrrrr r rrrGGVG SV 的体积分为零。 由积分解的形式可以看出，电位的边界条件和 的体积分为零。 由积分解的形式可以看出，电位的边界条件和 ) (r ) (r 是求解静电场电位分布的关键。 因此，第二项面积分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认 为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。 是求解静电场电位分布的关键。 因此，第二项面积分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认 为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。 数学物理方程是描述物理量随数学物理方程是描述物理量随空间空间和和时间时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的 的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值初始值与与边界值边界值， 这些初始值和边界值分别称为 ， 这些初始值和边界值分别称为初始条件初始条件和和边界条件边界条件，两者又统称为 该方程的 ，两者又统称为 该方程的定解条件定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的 。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题边值问题。 通常给定的边界条件有三种类型： 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问 题又称为 。 通常给定的边界条件有三种类型： 第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值问 题又称为诺依曼诺依曼问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上 物理量的法向导数值，这种边界条件又称为 问题。 第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上 物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合混合边界条件。 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为 边界条件。 第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称为 狄利克雷狄利克雷问题。问题。 对于任何数学物理方程需要研究解的对于任何数学物理方程需要研究解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可 以证明 问题。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可 以证明电位微分方程解也是惟一的电位微分方程解也是惟一的。证明见3-2节。 由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此， 。证明见3-2节。 由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此，解的稳定性解的稳定性具有重要的实际意义。 解的 具有重要的实际意义。 解的惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 解的 是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 解的稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会 发生很大的变化。 解的 是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会 发生很大的变化。 解的存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的 是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑存在确信无疑。 静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的 电位值就是第一类边界 导体上的 电位值就是第一类边界。 因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的 。 因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位电位，或电 位的 ，或电 位的法向导数法向导数给定时，或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为 给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理静电场惟一性定理。 已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为， 可见， 已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为， 可见，表面电荷表面电荷给定等于给定等于给定了电位的法向导数值给定了电位的法向导数值。因此，。因此，给定 导体上的电荷就是第二类边界 给定 导体上的电荷就是第二类边界。 S n = 例例 已知已知同轴线同轴线的内导体半径为的内导体半径为a，电位为，电位为V，外导体接地，其 内半径为 ，外导体接地，其 内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。 0 d d d d1 2 = = r r rr 21 lnCrC+=求得求得 V b a O 解解对于这种边值问题，对于这种边值问题，镜像法镜像法不适 用，只好求解电位方程。 为此，选用 不适 用，只好求解电位方程。 为此，选用圆柱坐标系圆柱坐标系。由于场量仅与 坐标 。由于场量仅与 坐标 r 有关，因此，电位所满足的拉普拉 斯方程在圆柱坐标系中的展开式 有关，因此，电位所满足的拉普拉 斯方程在圆柱坐标系中的展开式只剩下包 含变量 只剩下包 含变量r 的一项的一项，即电位微分方程为，即电位微分方程为 利用边界条件：利用边界条件： ar V = = br= =0 =+ =+ 0ln ln 21 21 CbC VCaC 求得求得 = b a V C ln 1 = b a bV C ln ln 2 = b a b r Vlnln = = b a V rr ln r r r r e eE 最后求得最后求得 21 lnCrC+=代入代入 21 lnCrC+= 例 在球形区域，已知： （1）在r=a的球面边界上； （2）在r=b的球面边界上； （3）在arb之间电荷体密度为0。 求arb之间的电位。 例 在球形区域，已知： （1）在r=a的球面边界上； （2）在r=b的球面边界上； （3）在arb之间电荷体密度为0。 求arb之间的电位。 0 s r = 0= 解从题意可知，这是求解电位拉普拉斯方程满足第三类混合边值条件的 定解问题。由于边界是 解从题意可知，这是求解电位拉普拉斯方程满足第三类混合边值条件的 定解问题。由于边界是球面球面，且，且边界条件与边界条件与及及无关无关，因此选用球坐标 系， ，因此选用球坐标 系，电位将仅是电位将仅是r的函数的函数。在。在ar0的上半空间是空气，在的上半空间是空气，在z0的下半空间是介电常数为的 介质，在空气中z=h处有一个点电荷q，试求此电荷所受的力。 的下半空间是介电常数为的 介质，在空气中z=h处有一个点电荷q，试求此电荷所受的力。 解解点电荷受到分界面上束缚电荷的 作用力，而界面上的束缚电荷在上半空间 产生的场可通过镜像电荷计算。因此点电 荷q所受的力也就是镜像电荷产生的电场对 它的作用力。 点电荷受到分界面上束缚电荷的 作用力，而界面上的束缚电荷在上半空间 产生的场可通过镜像电荷计算。因此点电 荷q所受的力也就是镜像电荷产生的电场对 它的作用力。 0 q Z=0 en h 按照求解镜像电荷公式按照求解镜像电荷公式 qq 21 21 + = 得到镜像电荷得到镜像电荷 qq + = 0 0 + = = 0 0 2 0 2 2 0 16)2(4h q h q qq zz eeEF 点电荷q受到的力点电荷q受到的力 0 0 q q E h 由求解微分方程的例子看出，为了利用给定的边界条件以便 确定求解过程中出现的积分常数， 由求解微分方程的例子看出，为了利用给定的边界条件以便 确定求解过程中出现的积分常数，选择适当的坐标系是非常重要 的 选择适当的坐标系是非常重要 的。 此外，由于同轴线和球壳中的电位函数仅与一个坐标变量 。 此外，由于同轴线和球壳中的电位函数仅与一个坐标变量 r 有关，因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程， 因而可采用 有关，因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程， 因而可采用直接积分方法直接积分方法求解这类边值问题。求解这类边值问题。 分离变量法分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为 三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。 是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为 三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。 对于平面对于平面边界边界，圆柱，圆柱边界边界及圆球及圆球边界边界必须分别选用直角坐标 系、圆柱坐标系及球坐标系。 但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有 关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是 必须分别选用直角坐标 系、圆柱坐标系及球坐标系。 但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有 关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变 量法 分离变 量法。 3. 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 0 2 2 2 2 2 2 = + + zyx 无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 )()()() , ,(zZyYxXzyx= 令 代入上式，得 令 代入上式，得 0 d d1 d d1 d d1 2 2 2 2 2 2 =+ z Z Zy Y Yx X X 显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式再对变量显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式再对变量 x 求导， 第二项及第三项均为零，求得第一项对 求导， 第二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项 等于 的导数为零，说明了第一项 等于常数常数。 0 d d d d d d 2 2 2 2 2 2 =+ z Z XY y Y XZ x X YZ 两边再除以两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得 同理，再分别对变量 ，得 同理，再分别对变量 y 及及 z 求导，得知第二项及第三项也 分别等于常数。 求导，得知第二项及第三项也 分别等于常数。 0 d d 2 2 2 =+Xk x X x 0 d d 2 2 2 =+Yk y Y y 0 d d 2 2 2 =+Zk z Z z 式中式中kx，ky，kz称为分离常数（度量波动的速率和能量的衰减程 度），它们可以是实数或虚数。显然，三个分离常数并不是独立 的，它们必须满足下列方程 称为分离常数（度量波动的速率和能量的衰减程 度），它们可以是实数或虚数。显然，三个分离常数并不是独立 的，它们必须满足下列方程 0 222 =+ zyx kkk 由上可见，经过变量分离后，由上可见，经过变量分离后，三维三维偏微分方程式被简化为三个偏微分方程式被简化为三个一 维 一 维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方 程又具有同一结构 三个常微分方 程又具有同一结构，因此它们，因此它们解的形式也一定相同解的形式也一定相同。例如，含变 量 。例如，含变 量 x 的常微分方程的通解为的常微分方程的通解为 xkxk xx BAxX jj ee)(+= xkDxkCxX xx cossin)(+= 或者 式中 或者 式中A, B, 或者或者C, D为待定常数。为待定常数。 令各项的常数分别为，分别求得令各项的常数分别为，分别求得 222 , , zyx kkk 1 cos() 2 1 sin() 2 jxjx jxjx xee xee j =+ = 分离常数也可为虚数。当分离常数也可为虚数。当kx为虚数时，令，则上 述通解变为（指数函数或双曲函数） 为虚数时，令，则上 述通解变为（指数函数或双曲函数） j= x k xx BAxX +=ee)(xDxCxX cosh sinh)(+=或者 含变量 或者 含变量 y 或或 z 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解 的的线性组合线性组合仍然是拉普拉斯方程的解仍然是拉普拉斯方程的解。 解的形式的选择是非常重要的，它解的形式的选择是非常重要的，它完全完全决定于给定的决定于给定的边界条件边界条件。 解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。 。 解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。 1 cosh() 2 1 sinh() 2 xx xx xee xee =+ = 例例两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有 限端被电位为 ，其有 限端被电位为0的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面 绝缘绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。 O d x y = 0 = 0 = 0 解解选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位 分布函数一定与 轴无限延伸，槽中电位 分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个无关，因此，这是一个二维场二维场的问题。电位所 满足的拉普拉斯方程变为 的问题。电位所 满足的拉普拉斯方程变为 0 2 2 2 2 = + yx )()() ,(yYxXyx= 应用分离变量法，令 根据题意，槽中电位应满足的四个边界条件为 为了满足及边界条件， 应用分离变量法，令 根据题意，槽中电位应满足的四个边界条件为 为了满足及边界条件， Y(y)应选具有周 期性的解： 应选具有周 期性的解： 0) ,(=dx0)0 ,(=x ykBykAyY yy cossin)(+= 0 ) , 0(=y0) ,(=y 0)0 ,(=x 0) ,(=dx 因为因为y = 0时，电位时，电位= 0，因此上式中常数，因此上式中常数B = 0。 相位随着变化，在时，为的整数倍。相位随着变化，在时，为的整数倍。 ydy = ? 3, 2, 1, , =n d n ky为了满足边界条件，分离常数为了满足边界条件，分离常数ky应为应为 0) ,(=dx O d x y = 0 = 0 = 0 =y d n AyY sin)( 求得Y的表达式为 已知，求得 求得Y的表达式为 已知，求得0 22 =+ yx kk d n kx j= 可见，分离常数可见，分离常数 kx为虚数，故为虚数，故 X(x) 的解应为的解应为 x d n x d n DCxX ee)( += 因为因为x 时， 电位时， 电位= 0 ，因此，式中常数，因此，式中常数C = 0，即，即 x d n DxX e)( = = y d n Cyx x d n sine),( 那么， 式中常数 那么， 式中常数C = AD 。 （既有衰减，也有增大）（既有衰减，也有增大） O d x y = 0 = 0 = 0 由边界条件获知，当由边界条件获知，当x = 0时，电位时，电位= 0 ，代入上式，得，代入上式，得 =y d n C sin 0 上式上式右端为变量右端为变量，但，但左端为常量左端为常量，因此不能成立。这就表明此式 不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的 ，因此不能成立。这就表明此式 不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式和式作为电位方 程的解，即 作为电位方 程的解，即 = = y d n Cyx n x d n n sine),( 1 为了满足为了满足x = 0，= 0边界条件，由上式得边界条件，由上式得 dyy d n C n n = = 0 , sin 1 0 需要来决定的取值。需要来决定的取值。 CCC, 21 ? 上式右端为上式右端为傅里叶级数傅里叶级数。 O d x y = 0 = 0 = 0 = y d n Cyx x d n sine),( 利用傅里叶级数的正交性，可求出系数利用傅里叶级数的正交性，可求出系数Cn。以乘以等 式两边，并在区间 。以乘以等 式两边，并在区间0yd内对内对y求积分，得求积分，得 y d m sin 上式上式左边积分左边积分 ) 1 ( sin sin sin 1 00 0 dyy d m y d n Cdyy d m n d n d = = )2( 0 , 2 sin 0 0 0 = 为偶数， 为奇数 m m m d dyy d m d )3( , 0 , 2 sin sin 0 = = nm nm dC dyy d m y d n C n d n 利用傅里叶级数的正交性，得 由（3）式可知，公式（1）右边只有 利用傅里叶级数的正交性，得 由（3）式可知，公式（1）右边只有m=n单项才存在，其余各项皆为 零，将公式（2）、（3）代入（1），得 单项才存在，其余各项皆为 零，将公式（2）、（3）代入（1），得 dyy d n C n n = = 0 , sin 1 0 从而可以求出系数从而可以求出系数Cn为为 = 为偶数 为奇数 0 4 0 n n nCn = n x d n y d n n yx sine 14 ),( 0 最后求得槽中电位分布函数为 式中 最后求得槽中电位分布函数为 式中? 5 3, , 1=n 0 d x y = 0 = 0 = 0 电场线等位面 电场线（红色） 及等位面（蓝 色）分布如右图 示： 电场线（红色） 及等位面（蓝 色）分布如右图 示： 例例已知长方体金属腔的内部尺寸为，若侧壁及底 板均接地，上盖电位为，试求腔内的电位分布函数。 已知长方体金属腔的内部尺寸为，若侧壁及底 板均接地，上盖电位为，试求腔内的电位分布函数。 cba 0 a b c 0 0 2 2 2 2 2 2 = + + zyx , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Zk z Z Yk y Y Xk x X zyx = = = ()( ) ( ) ( )zZyYxXzyx=, 0, 0 0 = =bxx ( )xkAxX x sin= 0, 0 0 = =ayy ( )ykByY y sin= ,.3 , 2 , 1,=n b n kx ,.3 , 2 , 1,=m b m ky 只取正弦项只取正弦项 例例已知长方体金属腔的内部尺寸为，若侧壁及 底板均接地，上盖电位为，试求腔内的电位分布函数。 已知长方体金属腔的内部尺寸为，若侧壁及 底板均接地，上盖电位为，试求腔内的电位分布函数。 cba 0 a b c 0 0 222 =+ zyx kkk 2/122 222 )( )( yxz yxz kkjk kkk += += 是虚数是虚数 Zk z Z z 2 2 2 = 的解为的解为 ( )zkkCzZ yx 2/122 )sinh(+= ()( ) ( ) ( ) ()()()()zkkCykBxkA zZyYxXzyx xyx 2/1 2 y 2 sinhsinsin , += = 为了能够使为常数，取级数解。为了能够使为常数，取级数解。()cyx, () + = = = z b m a n Cy b m Bx a n Azyx m m n n 2/1 22 11 sinhsinsin, ? ? 例例已知长方体金属腔的内部尺寸为，若侧壁及 底板均接地，上盖电位为，试求腔内的电位分布函数。 已知长方体金属腔的内部尺寸为，若侧壁及 底板均接地，上盖电位为，试求腔内的电位分布函数。 cba 0 () + = = = z b m a n Cy b m Bx a n Azyx m m n n 2/1 22 11 sinhsinsin, ()z b m a n y b m x a n BAzyx nm mn 2/1 22 11 sinhsinsin, + = = = () 0 ,=cyx 0 2/1 22 11 sinhsinsin = + = = c b m a n y b m x a n BA nm mn 0 11 sinsin = = =nm nm y b m x a n C 只有,右侧才非零，所以只有,右侧才非零，所以 例例已知长方体金属腔的内部尺寸为，若侧壁及 底板均接地，上盖电位为，试求腔内的电位分布函数。 已知长方体金属腔的内部尺寸为，若侧壁及 底板均接地，上盖电位为，试求腔内的电位分布函数。 cba 0 dxdy b yt a xs dxdy b yt a xs y b m x a n C abab nm nm = = = sinsinsinsinsinsin 00 0 00 11 dxdy b yt a xs dxdy b yt a xs C abab st = sinsinsinsin 00 0 00 22 求得代入 只有才有非零值，所以 求得代入 只有才有非零值，所以mtns= , 2 0 00 22 00 0 ) 12)(12( 16 ) 12( sin ) 12( sin ) 12( sin ) 12( sin = = mn dxdy b ym a xn dxdy b ym a xn C ab ab nm 12, 12=mtns mnB A() = = = 11 ., nm mnB Azyx 4. 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 0 11 2 2 2 2 2 = + + zrr r rr 令其解为令其解为)()()(),(zZrRzr= 分别求，和。分别求，和。 )(rR)()(zZ 4. 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 0 11 2 2 2 2 2 = + + zrr r rr 将代入将代入)()()(),(zZrRzr= 0 d d d d1 d d d d 2 22 2 2 =+ z Z Z r r R r rR r 得 上式中第二项仅为变量 得 上式中第二项仅为变量的函数，而第一项及第三项与的函数，而第一项及第三项与无关，因 此将上式对 无关，因 此将上式对求导，得知第二项对求导，得知第二项对的导数为零，可见第二项应为 常数，令 的导数为零，可见第二项应为 常数，令 2 2 2 d d1 k= 0 d d 2 2 2 =+ k即 式中 即 式中 k为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量的变化范围 为，那么此时场量随 的变化范围 为，那么此时场量随的变化一定是以 2的变化一定是以 2 为周期的周期函 数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数 为周期的周期函 数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数 k一定是整数，以保 证函数的周期为2 一定是整数，以保 证函数的周期为2 。令，。令，m 为整数，则上式的解为为整数，则上式的解为 20 mk= mBmAcossin)(+= 式中式中A, B 为待定常数。为待定常数。 再来解。再来解。 )(zZ 上式左边第一项仅为变量上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因 此按照前述理由，它们应分别等于常数，令 的函数，因 此按照前述理由，它们应分别等于常数，令 2 2 2 d d1 z k z Z Z = 0 d d 2 2 2 =Zk z Z z即 式中分离常数 即 式中分离常数 kz可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或 指数函数。当 可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或 指数函数。当 kz为实数时，其解可为三角函数，可令为实数时，其解可为三角函数，可令 zkDzkCzZ zz cossin)(+= 式中式中C, D 为待定常数。为待定常数。 考虑到，以及变量考虑到，以及变量的方程式，则前述方程可表示为的方程式，则前述方程可表示为mk= 0 d d1 d d d d1 2 2 2 2 =+ z Z Zr m r R r rRr 将变量将变量 Z(z) 代入 得 代入 得 0)( d d d d 222 2 2 2 =+Rmrk r R r r R r z 0 d d1 d d d d1 2 2 2 2 =+ z Z Zr m r R r rRr 再来解。再来解。 )(rR 若令，则上式变为若令，则上式变为 222 xrkz= 0)( d d d d 22 2 2 =+ 2 Rmx x R x x R x 上式为标准的柱贝塞尔方程，其解为柱贝塞尔函数，即上式为标准的柱贝塞尔方程，其解为柱贝塞尔函数，即 )(N)(J)(rkFrkErR zmzm += 式中式中E, F 为待定常数为待定常数, 为为 m 阶第一类柱贝塞尔函数， 为 阶第一类柱贝塞尔函数， 为m阶第二类柱贝塞尔函数。根据第二类柱贝塞尔函数的特性知， 当 阶第二类柱贝塞尔函数。根据第二类柱贝塞尔函数的特性知， 当r = 0 时，。因此，当场存在的区域包括时，。因此，当场存在的区域包括 r = 0 时，此 时只能取第一类柱贝塞尔函数作为方程的解。 时，此 时只能取第一类柱贝塞尔函数作为方程的解。 )(Jrkz m )(Nrkz m )(Nrkz m 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r) ,() , Z(z) 的解，而电位微分方 程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。 的解，而电位微分方 程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。 此方程的解为指数函数，即此方程的解为指数函数，即 mm FrErrR +=)( 特例1：若所讨论的静电场与特例1：若所讨论的静电场与变量变量 z 无关无关，则分离常数。 那么电位微分方程变为 ，则分离常数。 那么电位微分方程变为 0= z k 0 d d d d 2 2 2 2 =+Rm r R r r R r 0 d d1 d d d d1 2 2 2 2 =+ z Z Zr m r R r rRr 考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式 = = + += 1 1 0 )cossin( )cossin(ln),( m mm m m mm m mDmCr mBmArrAr 特例特例2： 若所讨论的静电场又与： 若所讨论的静电场又与变量 无关变量 无关，则，则 m = 0。那么，电 位微分方程的解为 。那么，电 位微分方程的解为 00 ln)(BrArR+=0 d d d d1 d d d d 2 22 2 2 =+ z Z Z r r R r rR r 例例设一根无限长、半径为设一根无限长、半径为 a 的导体圆柱放入无限大的均匀静 电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱 外的电场强度。 的导体圆柱放入无限大的均匀静 电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱 外的电场强度。 解解 选取选取圆柱坐标系圆柱坐标系，令，令 z 轴为圆柱轴 线，电场强度的方向与 轴为圆柱轴 线，电场强度的方向与x 轴一致，即轴一致，即 x EeE 00 = 当导体圆柱处于当导体圆柱处于静电平衡静电平衡时，圆柱内的 电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电 场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函 数应与 时，圆柱内的 电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电 场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函 数应与z 无关。解的形式可取前述一般形 式，但应满足下列两个边界条件： 无关。解的形式可取前述一般形 式，但应满足下列两个边界条件： x y a E0 O 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 0 1 = = =ar r eE 0= =ar 因此因此 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 cos) ,( 00 rExE= 此式表明，无限远处电位函数此式表明，无限远处电位函数仅为 cos 的函数仅为 cos 的函数，则通解 中的系数，且 ，则通解 中的系数，且 m = 1。因此电位函数为。因此电位函数为0 0 = mm CAA coscos),( 1 1 r D rBr+= = = += 11 0 )cossin()cossin(ln),( m mm m m mm m mDmCrmBmArrAr coscos),( 2 0 0 r aE rEr+= 则柱外电场强度为则柱外电场强度为 zrr zr = eeeE 1 sin1cos1 0 2 2 0 2 2 E r a E r a r +=ee 01 EB= 2 01 aED = 那么，根据应满足的边界条件，即可求得系数那么，根据应满足的边界条件，即可求得系数 B1， D1应为应为 0= =ar 代入求得柱外电位分布函数为代入求得柱外电位分布函数为coscos),( 1 1 r D rBr+= x y a E0 电场线等位面 ? ? ? ? 圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示： 5. 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为 0 sin 1 sin sin 11 2 2 222 2 2 = + + rrr r rr )()()(),(rRr= 令令 0 d d1 d d sin d dsin d d d dsin 2 2 2 2 =+ + r R r rR 代入上式，得 与前同理， 代入上式，得 与前同理，的解应为的解应为 mBmAcossin)(+= 0 sind d sin d d sin 1 d d d d1 2 2 2 = + m r R r rR 可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。因此，与前 同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 无关。因此，与前 同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 ) 1( d d d d1 2 += nn r R r rR 0) 1( d d 2 d d 2 2 2 =+Rnn r R r r R r 式中式中n 为整数。这是尤拉方程，其通解为为整数。这是尤拉方程，其通解为 1 )( + += n n r D CrrR 将此结果代入上式，得将此结果代入上式，得 0 sin sin) 1( d d sin d d 2 = + m nn 令，则上式变为令，则上式变为 x=cos 0 1 ) 1( d d )1 ( d d 2 2 2 = + x m nn x x x 上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数与 第二类连带勒让德函数之和，这里 上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数与 第二类连带勒让德函数之和，这里 m n 。 )(Px m n )(Qx m n 当当 n 是整数时，及为有限项多项式。因此，要求是整数时，及为有限项多项式。因此，要求 n 为整数。为整数。 )(Px m n )(Qx m n 根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，。因此，当场存在的区域包括或 根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，。因此，当场存在的区域包括或 时，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以， 通常令 时，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以， 通常令 1=x )(Qx m n0= 1=x )(cosP)(P)( m n m n x = 那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合 )(cosP)( )cossin(),( )1( 00 m n n n n n m n mn m rDrC mBmAr + = = + += 特例：若静电场与变量特例：若静电场与变量无关，则无关，则 m = 0 。那么称 为第一类勒让德函数。此时，电位微分方程的通解为 。那么称 为第一类勒让德函数。此时，电位微分方程的通解为 )(P)(P0 xx nn = )(cosP)(),( 0 )1( n n n n n n rDrCr = + += 例例 设半径为设半径为a，介电常数为，介电常数为的介质球放在无限大的真空中， 受到其内均匀电场 的介质球放在无限大的真空中， 受到其内均匀电场E0的作用，如图所示。试求介质球内的电场强 度。 的作用，如图所示。试求介质球内的电场强 度。 E0 z y 0 a 解解取球坐标系，令取球坐标系，令E0的方向与的方向与 z 轴一 致，即。显然，此时场分布以 轴一 致，即。显然，此时场分布以 z 轴为旋转对称，因此轴为旋转对称