高中数学 23 第1课时距离和高度问题同步导学案 北师大必修5

3解三角形的实际应用举例第1课时距离和高度问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离.2.学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养自己分析问题和解决实际问题的能力. 重点难点点拨重点：分析测量的实际情景，找出解决测量距离的方法.难点：分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题.学习方法指导1.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题要注意两点：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称.理清量与量之间的关系.(2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.2.常见应用题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.解三角形应用题常见的几种情况（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法.（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决.知能自主梳理实际问题中的名词、术语1.方位角：从指北方向时针转到目标方向的水平角.如图(1)所示.2.方向角：相对于某一正方向（东、西、南、北）的水平角.北偏东，即由指北方向旋转到达目标方向，如图（2）.北偏西，即是由指北方向旋转到达目标方向.3.基线：在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线越，测量的精确度越高.4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用和，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.5.仰角与俯角：目标方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水平线时，称为仰角，在水平线时，称为俯角，如图.答案1.顺2.顺时针逆时针3.长4.正弦定理余弦定理5.上方下方思路方法技巧命题方向测量高度问题例1如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔AB的仰角分别是AMB=30，ANB=45APB=60，且MN=PN=500m，求塔高.分析解题的关键是读懂立体图形.解析设AB高为x.AB垂直于地面，ABM,ABN,ABP均为直角三角形，BM=xcot30x,BN=xcot45x,BP=xcot60=x.在MNB中,由余弦定理，得BM2=MN2+BN2-2MNBNcosMNB,在PNB中，由余弦定理，得BP2=NP2+BN2-2NPBNcosPNB,又BNM与PNB互补，MN=NP=500，3x2=250000+x2-2500xcosMNB，x2=250000+x2-2500xcosPNB，+，得x2=500000+2x2,x=250.答：塔高250m.说明在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：根据已知条件画出示意图；分析与问题有关的三角形；运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；把解出答案还原到实际问题中.还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想.变式应用1如图，在塔底B处测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB=20m，求山高DC（精确到0.1m）.分析如图，DC在RtBCD中，DBC=60，只需求出边BC的长，即可求出DC，而BC又在斜三角形ABC中，依据条件由正弦定理可求出BC.解析由已知条件，得DBC=60,ECA=45,则在ABC中，ABC=90-60=30,ACB=60-45=15,CAB=180-（ABC+ACB）=135.在ABC中，.BC=.在RtCDB中，CD=BCsinCBD=20(+1)47.3.答：山高约为47.3m.命题方向测量距离问题例2要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距100米的C、D两点，并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45（A、B、C、D在同一平面内），求A、B两地的距离.分析此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便.解析如图所示，在ACD中，CAD=180-（120+30）=30,AC=CD=100.在BCD中，CBD=180-（45+75）=60.由正弦定理,得BC=.在ABC中，由余弦定理,得AB2=（100）2+（200sin75) 2-2100200sin75cos75=1002(3+4)=10025,AB=100.答：A、B两地间的距离为100米.说明（1）求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是BCD和ABC.（2）本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中AB可视为基线.（3）在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的CD.在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.变式应用2如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65.问货轮到达C点时与灯塔A的距离是多少？分析根据所给图形可以看出，在ABC中，已知BC是半小时路程，只要根据所给的方位角数据，求出ABC及A的大小，由正弦定理可得出AC的长.解析在ABC中，BC=40=20,ABC=140-110=30,ACB=(180-140)+65=105,A=180-(30+105)=45,由正弦定理，得AC= (km).答：货轮到达C点时与灯塔A的距离是10 km.探索延拓创新命题方向综合应用问题例3如下图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105的方向B1处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？分析甲、乙两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距离B1B2即可.连结A1B2，转化为在A1B1B2中已知两边及夹角求对边的问题.解析如上图，连结A1B2，A2B2=10，A1A2=30=10.A1A2B2是等边三角形，B1A1B2=105-60=45.在A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1A1B2cos45=202+(10)2-22010=200,则B1B2=10.因此乙船的速度的大小为60=30.即乙船每小时航行30海里.说明仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键.变式应用3海中有小岛A，已知A岛四周8海里内有暗礁.今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75，航行20海里后见此岛在北偏东30.如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁的危险？分析如图所示，要判断有无触焦危险，只要看AD的长与8的大小，若AD8，则无触礁危险，否则有触礁危险.解析如图所示，作ADBC的延长线于D，由已知NBA=75,ACD=60,BC=20.由正弦定理，得，AC=10(- ),AD=ACsin60=15-58.无触礁危险.说明本题中理解方位角是解题的关键.北偏东75是指以正北方向为始边，顺时针方向转75.名师辨误做答例4某观测站C在城A的南偏西20的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人，距C为31千米，正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问：这人还要走多少千米才能到达A城？误解本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城，即求AD的长，在ACD中，已知CD=21千米，CAD=60，只需再求出一个量即可.如图，设ACD=,CDB=,在CBD中，由余弦定理，得cos=，sin=.在ACD中，AC=CD2=AC2+AD2-2ACADcos60，即212242+AD2-224AD，整理，得AD2-24AD+135=0,解得AD=15或AD=9，答：这个人再走15千米或9千米就可到达A城.辨析本题在解ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解.正解如图，令ACD=,CDB=,在CBD中，由余弦定理得cos=，sin=.又sin=sin(-60)sincos60-sin60cos=+，在ACD中，,AD=15(千米).答：这个人再走15千米就可以到达A城.课堂巩固训练一、选择题1.如图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是 ()A.a和cB.c和bC.c和D.b和答案D解析在ABC中，能够测量到的边和角分别为b和.2.如图所示，D、C、B在地平面同一直线上，DC10m，从D、C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于 ()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5（+1）m答案D解析在ABC中，由正弦定理得AD=在RtABC中，AB=ADsin30=5(+1)(m).3.(2012福州高二质检)如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据 ()A.,a,bB.,aC.a,b,D.,b答案C解析根据实际情况，、都是不易测量的数据，而a,b可以测得，角也可以测得，根据余弦定理AB2=a2+b2-2abcos能直接求出AB的长，故选C. 4.(2011上海理，6)在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB=75,CBA=60，则A、C两点之间的距离为千米.答案解析本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两边.CAB=75,CBA=60,C=180-75-60=45,由正弦定理：,AC=.二、填空题5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60和45，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30角，则该转播塔的高度是米.答案解析如图所示，由题意，得ABC=45-3015,DAC=60-30=30.BAC=150,ACB=15,AC=AB=40米，ADC=120,ACD=30,在ACD中，由正弦定理，得CD=AC40.三、解答题6.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸的标记物C，测得CAB=45,CBA=75,AB=120米，求河的宽度.解析如图，在ABC中，CAB=45，CBA=75，ACB=60.由正弦定理，得AC=20（3）.设C到AB的距离为CD，则CD=ACsinCAB=AC=20（3+）.答：河的宽度为20（+3）米.课后强化作业一、选择题1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m,A=30,则其跨度AB的长为（）A.12mB.8mC.3mD.4m答案D解析在ABC中，已知可得BC=AC=4,C=180-302120所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120=42+42-244（-)=48AB=4 (m).2.从塔顶处望地面A处的俯角为30,则从A处望塔顶的仰角是 ()A.-60 B.30C.60D.150答案B3.海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是 ()A.10海里B.10海里C.5海里D.5海里答案D解析如图，由正弦定理得，BC=5.4.某人向正东方向走x km后，他向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为（）A. B.2C.2或D.3答案C解析由题意画出三角形如下图.则ABC=30,由余弦定理得，cos30=,x=2或.5.甲船在湖中B岛的正南A处，AB=3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是（）A. kmB. kmC. kmD. km答案B解析由题意知AM=8，MB=AB-AM=3-2=1，所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MBBNcos120=1+9-213(-)=13，所以MN=km.6.在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为（）A.米B.米C.200米D.200米答案A解析如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB=200，ADM=30,ACB=60,BC=200cot60=,AM=DMtan30=BCtan30=.CD=AB-AM=.7.一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A.20（+）海里/时B.20（-）海里/时C.20（+）海里/时D.20（-）海里/时答案解析题意可知NMS=45，MNS=105，则MSN=180-105-4530.而MS=20,在MNS中，由正弦定理得，MN=10(-).货轮的速度为10(-)=20(-)(海里/时).8.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB=45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000米到达S点，又测得山顶仰角DSB=75，则山高BC为（）A.500mB.200mC.1000mD.1000m答案D解析SAB=45-30=15,SBA=ABC-SBC=45-（90-75)=30,在ABS中，AB=1 000,BC=ABsin45=1 000=1 000（m）.二、填空题9.一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是km.（精确到0.1 km）答案4.2解析作出示意图如图.由题意知，AB=24=6，ASB=45,由正弦定理得，=，可得BS=34.2（km）.10.从观测点A看湖泊两岸的建筑物B、C的视角为60,AB=100m,AC=200m,则B、C相距.答案100m解析在ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=1002+2002-2100200=30000所以BC100m.11.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是.答案20米，米解析如图，依题意有甲楼的高度AB=20tan60=20 (米)，又CM=DB=20米，CAM=60，所以AM=CMcot60=米，故乙楼的高度为CD=20-=（米）.12.如图，一辆汽车在一条水平的公路上从C处向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东南15的方向上，行驶15km后到达B处，测得此山顶在东偏南30的方向上，仰角为15，则此山的高度CD等于km.答案5（2-）解析在ABC中，A=15,C=30-15=15,由正弦定理，得BC=.又CD=BCtanDBC=5tan15=5tan(45-30)= 5(2-).三、解答题13.（2012厦门高二检测）海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了10海里，求B船的速度.解析如图所示，在ABC中，AB10，AC=10,ABC=120由余弦定理，得AC2=BA2+BC2-2BABCcos120即700100BC2+10BC,BC=20,设B船速度为v,则有v=1