重庆育才中学高三数学一轮复习45数列求和学案理

45数列求和 一、学习内容： 必修四6872二、课标要求： 能在具体的问题情景中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题（数列求和）三、基础知识：数列求和的常见方法有： 1、 公式法： 等差数列的求和公式，等比数列的求和公式2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 （常见：等差+等比型或多个特殊数列混合在一起）即：将原来的数列分拆成两个或两个以上的数列，然后利用公式法求和。3、倒序相加法：如果一个数列a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2通常，当数列的通项与组合数相关联时，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）将一个数列倒过来排列与原数列相加主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和4、错位相减法：适用于： “等差等比”型 的数列求和特征：适应于数列的前n向求和，其中成等差数列，成等比数列。方法：给各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.5、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。把一个数列分成几个可直接求和的数列常见的拆项公式： (1) ； (2)四、基础练习1已知数列an是首项a14，公比q1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，2a3成等差数列(1)求公比q的值；(2)求Tna2a4a6a2n的值【答案】(1)1(2)4n【解析】(1)由题意得2a54a12a3.an是等比数列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首项为a24(1)4，公比为q21的等比数列，Tnna24n.【点评】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式2求数列1，2，4，的前2n项和S2n.【答案】2n【解析】S2n(1242n1)()2n112n.【点评】将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为通项分解法，运用这种方法的关键是通项变形3. 已知数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.【解析】(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn， 由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.【点评】裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的4.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN)(1)求数列an的通项an；(2)求数列nan的前n项和Tn.【解析】(1)an12Sn，Sn1Sn2Sn，3.又S1a11，数列Sn是首项为1，公比为3的等比数列，Sn3n1(nN)当n2时，an2Sn123n2，an(2)Tna12a23a3nan，当n1时，T11；当n2时，Tn14306312n3n2，3Tn34316322n3n1，得：2Tn22(31323n2)2n3n1222n3n11(12n)3n1.Tn3n1(n2)又T1也满足上式，故Tn3n1(nN)【点评】如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法运用错位相减法求和，一般和式比较复杂，运算量较大，易会不易对，应特别细心，解题时若含参数，要注意分类讨论【练习】5(2011浙江文)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR)，且，成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)对nN*，试比较与的大小【解析】(1)设等差数列an的公差为d，由题意可知()2，即(a1d)2a1(a13d)从而a1dd2.因为d0，所以da1a.故通项公式anna.(2)记Tn，因为a2n2na，所以Tn()1()n从而，当a0时，Tn；当a.6求数列0.9,0.99,0.999，0.999前n项的和Sn.【答案】n(10.1n)7已知直线(3m1)x(1m)y40所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第一项与第二项，若bn，数列bn的前n项和为Tn，则T10()A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，将(3m1)x(1m)y40化为(xy4)m(3xy)0，令，解得，所以直线(3m1)x(1m)y40过定点(1,3)，所以a11，a23，公差d2，an2n1，bn()，T10()().故选B.8. 设正项等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100，(1)求an的通项；(2)求nSn的前n项和Tn.【解析】(1)an，n1,2，(2)an是首项a1，公比q的等比数列，Sn1，nSnn.则数列nSn的前n项和Tn(12n)()(12n)()，得(12n)()，即Tn2. 9、（2011重庆文16)（本小题满分13分，（）小问7分，（）小问6分）设是公比为正数的等比数列，。 （）求的通项公式； （）设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和。解：（I）设q为等比数列的公比，则，由 ， 即，解得 （舍去）， 因此 所以：的通项为 （II）设的前项和为，的前项和为 通项：( 等差+ 等比 分组求和 )则 10.(2012江西理16)已知数列an的前n项和,且Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求an；（2）求数列的前n项和Tn。错位相减法 11（2013年高考江西卷（理）正项数列an的前项和an满足:(1)求数列an的通项公式an; 裂项求和(2)令,数列bn的前项和为.证明:对于任意的,都有【答案】(1)解:由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. 综上,数列的通项. (2)证明:由于. 则. . 备用例1、求的值。 解析：由 通项：分式型，分母为乘积：裂项求和 例2、求数列 的通项公式和前n项和。解析：由 通项：( 等差+ 等比 分组求和 )例3、 求数列 的前n项和。 通项：( 等差等比 错位相减求和 )解析：由 上面两式相减 例5、（2010山东文）（18）（本小题满分12分） 已知等差数列满足：，的前n项和为（）求及； （）令bn=(nN*)，求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为d，因为，所以: ，解得，所以:； =。（）由（）知，所以 = 通项：分式型，分母为乘积：裂项求和=，所以:=，即数列的前n项和 =。例6、（2010四川文数）（20）（本小题满分12分）已知等差数列的前3项和为6，前8项和为-4。（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和解：(1) 设的公差为，则 由 等差数列的前3项和为6，前8项和为-4 (2) 由 (1)可得： 通项：( 等差等比 错位相减求和 ) 若 若 所以： 五、课后巩固练习1求下列数列的前项和：（1）5，55，555，5555， 解析： 通项： ( 等差+ 等比 分组求和 )（2）； 解析：， 通项：分式型，分母为乘积：裂项求和（3）； 通项：分式型，分母为：裂项求和 解析：（4） 通项：( 等差+ 等比 分组求和 )解析： =(5) ； 通项： ( 等差等比 错位相减求和 )解析：当时， 当时， ， ， 两式相减得 ，2、求Sn1 解： an 通项：分式型，分母为乘积：裂项求和2() Sn2(1)3、已知数列1，求它的前n项的和Sn解： an1 an2则原数列为：(21)， 通项：( 等差+ 等比 分组求和 )则，前n项和 ： Sn(21)2n2n 2n2 2n24、 已知数列an是等差数列，且a1=2， （1）求数列an的通项公式； （2）令，求数列bn前n项和解：（1) 通法：由 an是等差数列 , 又a1=2， (2）由 (1)可得： ， 通项：( 等差等比 错位相减求和 ) 所以： 数列bn前n项和 5、（2010重庆文16）（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分. ） 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（）求通项及；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.（2）由题： 通项：(