课堂设计高中数学1.1.7柱、锥、台和球的体积学案新人教B必修2

1.1.7柱、锥、台和球的体积(2)自主学习 学习目标1了解球的体积公式2会计算简单组合体的体积3培养学生的空间想象能力和思维能力 自学导引1球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S_，即球的表面积等于它的大圆面积的_倍2球的体积设球的半径为R，则球的体积V_.对点讲练知识点一球的体积和表面积的计算例1(1)球的体积是，则此球的表面积是()A12 B16C. D.(2)一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为()A.cm3 B.cm3C.cm3 D.cm3点评遇到球的表面积及体积的有关计算问题时，我们的分析方向就是要充分利用条件去确定球心的位置和半径，只要这两点确定了，那球的表面积及体积问题就会迎刃而解变式训练1球的截面把垂直于截面的直径分成13的两段，若截面圆半径为，则球的体积为()A16 B.C. D4知识点二有关几何体的外接球与内切球问题例2在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比点评解决与球有关的组合问题，可通过画过球心的截面来分析，并注意组合体中半径与相关几何体的关系：长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高变式训练2有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比知识点三综合应用例3有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度点评在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体几何问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等变式训练3一个高为16的圆锥内接于一个体积为972的球，在圆锥内又有一个内切球求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥的内切球的体积1利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算2解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算. 课时作业一、选择题1直径为6的球的表面积和体积分别是()A144，144 B144，36C36，144 D36，362如果两个球的体积之比为827，那么这两个球的表面积之比为()A827 B23C49 D293三个球的半径之比为123，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的()A1倍 B2倍C.倍 D.倍4四面体ABCD中，公共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1，3，若它的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()A3 B4 C3 D16题号1234答案二、填空题5若一个球的体积为4，则它的表面积为_6一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是_7有一棱长为a的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为_三、解答题8如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇凌，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇凌的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇凌融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？9某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，(1)求该几何体的表面积(结果保留)；(2)求该几何体的体积(结果保留)【答案解析】自学导引14R242.R3对点讲练例1(1)B设球的半径为R，则由已知得VR3，R2.球的表面积S4R216.(2)C由球的性质知，球的半径R5，V球53(cm3)变式训练1C设直径被分成的两段为x,3x；则球心O到截面的距离为x，球半径为2x，由勾股定理得：x2()2(2x)2，x1，球半径为2，所以V23.例2解方法一作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CCa，OC.在RtCCO中，由勾股定理，得CC2OC2OC2，即a2()2R2，所以Ra.从而V半球R3(a)3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.方法二将半球补成整个球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径设原正方体棱长为a，球的半径为R，则根据长方体的对角线性质，得(2R)2a2a2(2a)2，即4R26a2，所以Ra.从而V半球R3(a)3a3，V正方体a3.因此V半球V正方体a3a32.变式训练2解设正方体的棱长a.(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，如图(1)，所以有2r1a，r1，所以S14ra2.(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2)，2r2a，r2a，所以S24r2a2.(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)，所以有2r3a，r3a，所以S34r3a2.综上知S1S2S3123.例3解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为VV圆锥V球(r)23rr3r3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V(h)2hh3，由VV，得hr.变式训练3解(1)如图，作轴截面，则等腰三角形CAB内接于O，而O1内切于ABC.设O的半径为R，由题意得R3972.R3729，R9，CE18.已知CD16，ED2.连接AE，CE是直径，CAAE，CA2CDCE1618288，CA12 .ABCD，AD2CDDE16232，AD4.S圆锥侧41296.(2)设内切球O1的半径为r，ABC的周长为2(12 4)32，r32816，r4.内切球O1的体积V球r3.课时作业1D2C设这两个球的半径分别是r，R，则，所以，则这两个球的表面积之比为()2.3C设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4r2、16r2、36r2.所以.4D此外接球的直径即为以1，3为长、宽、高的长方体的体对角线，即2R4.R2，S球4R216.512解析设球的半径为R，则R34，R.S球4R212.6576 cm2解析球的体积等于以16 cm为底面半径，高为9 cm的圆柱的体积，设球的半径为R，所以R31629，解得R12，所以S球4R2576(cm2)72a2解析气球表面积最大时，气球的直径等于正方体侧面的对角线长a，则此时气球的半径ra，则表面积为4r24(a)22a2.8解要使冰淇凌融化后不会溢出杯子，则必须V圆锥V半球，V半球r343，V圆锥Shr2h42h.依题意：42h43，解得h8.即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8