高中数学3.1.1方程的根与函数的零点教案1新人教A必修1

课题：3.1.1方程的根与函数的零点教学内容分析：本节课选自高中数学人教A版必修1第三章函数与方程第一节方程的根和函数的零点。函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。学生在学习了基本初等函数之后，对于函数的概念已经有了更进一步的认识，并掌握了研究函数性质的一些方法，初步了解数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法。函数作为高中的重点知识，有着广泛的应用，与其他数学有着有机联系。本节课选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图像与轴的焦点的横坐标之间的关系作为教学的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，充分体现了函数图像与性质的应用。因此把握课本要从三方面入手：新旧知识的练习，学生的认知规律，数学思想方法。学生学习情况分析学生大多来自市区，学生接触面较广，个性较活跃，故采用一些形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。教学目标（一）知识与技能：了解函数零点的概念理解函数零点与方程根的联系掌握零点存在的判定方法（二）过程与方法：培养学生的归纳概括能力。经历“类比归纳应用”的过程感悟由具体到抽象的研究方法（三）情感、态度、价值观：体验探究的乐趣学会用辨证与联系的观点看问题认识到万物的联系与转化教学重难点教学重点理解函数的零点与方程根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。突破：问题情境建立模型解释应用和拓展教学难点准确理解概念，探究发现函数零点存在的判定依据。突破：直观类比实践体验归纳总结发展问题教法与学法：教法选择体验学习及问题探究教学方法，通过学生亲历教师预设的各种问题情景，引导学生开展创造性的学习活动，不但使学生主动掌握知识，而且要培养学生的独立探究能力和态度。学法指导注重由特殊到一般的直观归纳；重视对概念的准确理解；强化方程与函数之间的转化意识，掌握方程根的个数问题的一般处理方法。教具选择 多媒体辅助教学教学过程设计【创设情境、引入课题】问题一：1：求方程的实数根？ 2：方程有实数解吗？3：方程lnx+2x6=0有实数解吗？设计意图：问题1、2、3（产生疑问，引起兴趣，引出课题）从一元二次方程入手提出问题，然后过渡到三次方程，这时学生会产生疑问，带着疑问学生会去想怎么解决问题，进而再提出问题3，指出本节课的课题。问题二：一元二次方程及相应的二次函数的图象与轴交点的关系?知识探究(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标函 数函数图象（简图）方 程方程的实数根函数的图象与轴的交点将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程及相应的二次函数的图象与轴交点的关系。函数的图象（简图）图象与x轴的交点方 程 的 根提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零点的概念做准备。师生互动师：教师引导学生解方程、画函数图象、分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，推广到一般的方程和函数引出零点概念。【形成概念】零点概念：对于函数yf（x）（xD），把使f（x）0成立的实数x叫做函数yf（x）（xD）的。（板书）师提示：根据零点概念，提出问题，零点是点吗？零点与函数方程的根有何关系？生：经过观察表格，得出第一个结论师再问：根据概念，函数yf（x）的零点与函数yf（x）的图象与x轴交点有什么关系生：经过观察图像与x轴交点完成解答，得出第二个结论【归纳结论】师：概括总结前两个结论（请学生总结）。概念：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现,而是实数。例如函数的零点为x=-1,3(1)函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标(2)方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。师：引导学生仔细体会上述结论。再提出问题：如何并根据函数零点的意义求零点？生：可以解方程而得到（代数法）；可以利用函数的图象找出零点（几何法）设计意图：问题4一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生归纳总结能力。【牛刀小试】练习1：判断下列函数是否有零点，若有，请求出其零点 练习2：若函数有一个零点是2，那么函数的零点是_答案：0，设计意图：设计的练习加深学生对零点概念的理解以及等价关系的体会，是学生能够把旧知和新知练习起来，便于理解运用。 知识探究（二）【创设情境】问题：哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？ （1）（2） 师生互动师：将河流抽象成x轴，将两个位置视为P、M两点。请问当P、M与x轴怎样的位置关系时，PM间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？由两个学生上台板书： .A B A B生：两个学生画出连接P、M两点的几条曲线后发现这些曲线必与直线l相交。师：如果函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，怎样才能保证在a,b上有零点？结合学生板演的结果，由学生总结：（1） 是函数图像（2） 是连续不断的（3） 函数值在的两侧【形成结论】师：教师引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系。生：根据函数零点的意义结合函数图象，归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析总结概括形成结论）零点的存在性原理：一般地，我们有：如果函数yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）f（b）0，那么函数yf（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c （a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）0的根。设计意图：由现实中的过河问题抽象成数学问题，体现了数学建模思想，结合学生的动手操作，教师引导学生探索归纳总结函数零点存在定理，培养归纳总结能力和逻辑思维【巩固练习】判断正误：（1） 若f(a)f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。（2） 若连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)0。（3） 若连续不断的函数f(x)满足f(a)f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。（三个都是错误的）设计意图：函数零点存在的判定结论，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，但零点的个数需结合函数的单调性等性质进行判断结论的逆命题不成立，通过三个问题使学生准确理解零点存在性定理【牛刀小试】练习3：已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下的x,f(x)对应值表：x2345678f(x)239-711-5-12-26那么该函数在区间1，6上有且（ ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定练习4：在下列哪个区间内,函数一定有零点（ ） A、(1,0） B、(0,2） C、(1,2） D、(2,3）答案：B 、B设计意图:本题比较灵活，既可以用零点存在定理，又可以转化为方程、因式分解后求根。目的有二：一是通过确定零点的大小，体会一分为二的思想，为下一节二分法做铺垫；二是再次体会方程函数的转化思想.练习5：求函数的零点个数问题：1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？2）判断函数的单调性，由单调性你能得到该函数的单调性具有什么特性？分析：用计算器或计算机作出的对应值表和图象。123456789-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表可知，f (2)0,则，这说明函数在区间（2，3）内有零点。结合函数的单调性，进而说明零点是只有唯一一个一个结论：函数在区间a，b内单调则函数在这个区间内有且只有一个零点解法二：转化为函数与函数交点的个数设计意图：学生应用练习3、4的方法来解决练习5的零点存在性问题，并结合函数的单调性，从图象的直观上去判断零点的个数问题。教师引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用,应用练习3、4、5加深对定理的理解【课堂小结】1、函数零点的定义2、方程的根和函数零点的等价关系3、零点存在性定理及其应用【课后作业】必做：教材P92习题31（A组）第1、2、3题；选做：，则函数的零点为_2、若函数有两个零点，则实数的取值范围是_思考：总结函数零点求法要注意的问题；思考可以用求函数零点的方法求方程的近似解吗？【板书设计】课题：方程的根和函数的零点1.零点的定义 选做练习：1.解答2.等价关系 2.解答3.零点的存在性定理教学反思 本节是在学习了前两章函数性质的基础上，利用函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与对应方程的根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法；为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供基础。因此本节内容具有承上启下的作用。方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点，因此设计符合学生认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和有兴趣的问题开始，通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程及一些高等数学思想方法。所以，我在教法上，以问题为纽带，用问题引出内容，激发学生积极主动地进行探索；同时向学生渗透数学思想方法；渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力以及采用 “提出问题引导探究形成概念讲练结合”的教与学模式。 在教材的处理方面我总体把握较好。课题的引入，通过让学生解方程: (1) (2) (3) lnx+2x6=0 .由简单到复杂，在学生对第三个问题一筹莫展时，再回到一元二次方程上，引导学生利用函数的图象和性质来研究方程的根。使学生认识到有些复杂的方程用以前的解题方法求解很不方便,需要寻求新的解决方法，让学生带着问题学习，激发学生的求知欲。在整个教学环节中突出重要的数学思想方法：化归转化的思想、方程与函数的思想、数形结合的思想和分类讨论的思想。在引导学生探究出函数零点存在性的判定后，给出了判断正误的三个小题，让学生对函数零点存在性有更进一步的理解。本课函