江苏苏州第五中学高中数学2.1函数的概念和图象2学案苏教必修1

21 函数的概念和图象(2)一、 学习内容、要求及建议知识、方法要求建议函数的基本性质单调性理解从数和形两个方面理解函数的单调性和奇偶性；研究函数单调性和奇偶性时要注意函数的定义域.奇偶性映射与函数定义比较二、 预习指导1 预习目标(1)理解函数单调性的概念及其几何意义；能从“形”和“数”两个方面理解单调性；能根据函数的图象求函数的单调区间，能根据单调性的定义判断、证明一些简单函数的单调性体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系及其几何意义，掌握通过函数单调性研究最大(小)值的思想方法； (2)函数的奇偶性是函数的整体性质理解函数奇偶性的概念，并能判断和证明一些简单函数的奇偶性能运用函数的图象讨论函数的奇偶性；(3)了解映射的概念.2 预习提纲(1) 函数的单调性阅读教材第34至37页，再阅读典型例题的例1至例5， 教材例1和典型例题例1都是通过“形”(函数的图象)去认识函数的单调性，教材例2和典型例题的例2都是利用定义证明函数的单调性问题，掌握证明的基本步骤和常见的作差处理方法由于函数的单调性与函数的最值紧密联系，教材例3-5都是以最值问题展开的典型例题例3介绍二次型函数的单调性的应用，例4是对复合函数的单调性的一种情形作了讨论，例5的目的是介绍了复合函数单调性法则的应用读者应完成另外三种情形的证明(2) 函数的奇偶性阅读教材第38至40页，再阅读典型例题的例5至例9教材从熟悉的二次函数和反比例函数来引入函数奇偶性的概念，教材例6、例7以及典型例题的例5是对函数奇偶性的判别，注意具有奇偶性函数的定义域的特征典型例题的例7、例8是函数的单调性和奇偶性的综合运用(3) 了解映射的概念阅读教材第41页，思考映射和函数的区别和联系，阅读典型例题的例11-12.(4) 完成自我测试3 典型例题例1 画出下列函数的图象，并根据图象写出函数的单调区间： (1)； (2)； (3) .分析：运用数形结合的思想，从左向右看，图象呈上升趋势的部分对应的x的范围为增区间；图象呈下降趋势的部分对应的x的范围为减区间注意定义域的范围及区间能否合并解：(1)如图，单调递增区间为，单调递减区间为 (2)如图，单调递减区间为和 (3) ,如图,单调递增区间为,单调递减区间是 图 图 图点评：利用函数的图象直接写出函数的单调区间是借助于图象的几何性质，直观性强而解决问题的关键就是正确画出函数的图象本例中的(2)的图象可以根据的图象经过适当的变换得到，(3)的图象可以转化成分段函数的图象来作出例2 证明下列函数在所定义的区间上是单调函数：(1)；(2)；(3)分析：利用单调性的定义，根据取值、作差、变形、定号四个步骤证明函数的单调性其中变形部分是关键，通常考虑配方、因式分解、通分、有理化等方法证明：(1)任取且, 则 ,和不同时为0, ,又, ,即 在上是单调递减函数 (2)任取且,则 , , 即在上是单调递增函数 (3)任取且， 则 , 又,， , 即 在上是单调递增函数点评：利用单调性的定义来证明函数的单调性是最基本的方法而证明过程一般分取值、作差、变形、定号四个步骤，关键是定号，而难点是变形，变形的目的是定号本例(1)中证明过程中变形的最后一步是对二次式的配方，这是必要的，目的是确定该括号的式子是正数还是零，这是很容易忽略的本例(3)中是采用的分子有理化的方法例3 已知函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围分析：二次项系数为参数时，首先考虑为零的情况，体现分类思想二次函数的单调区间由开口方向及对称轴共同决定解：当时, 在R上是减函数,符合题意；当时,由题意, 得即 综上所述, a的取值范围是点评：本题应对二次项系数a是否为0分类讨论，这是很容易疏忽的例4 已知函数的定义域是区间,函数的定义域是区间,且对于任意的,若单调递增, 单调递减证明：函数是上单调递减函数分析：直接根据函数单调性的定义证明：任取且 单调递减, 根据题意, 单调递增, 是单调递减函数思考：其他条件不变，试讨论在下列情形下的单调性：(1)单调递增, 单调递增； (2) 单调递减, 单调递增； (3) 单调递减, 单调递减点评：我们可以得到当、单调性相同的情况下，是单调递增的；当、单调性相反的情况下，是单调递减的利用上述结论，你能求函数(2)的单调区间和值域吗？分析：将函数分解为的形式，依据“同增异减”的复合法则分析，将所求复合函数的单调区间转化成求内(外)函数的相应的单调区间解：(1)由得函数的定义域为 设, 是单调递增函数(可仿照例2（3）证明), 要求的单调增区间, 就是求的单调增区间,即 又,函数的单调增区间为 同理可得函数的单调减区间为 ,所以, 函数的值域为 (2)由可得函数的定义域为R,令,（）单调递减,要求的单调增区间,就是求的单调减区间,即同理可得函数的单调减区间为 , , ,即函数的值域为点评：利用复合函数的单调性的法则，我们可以求一些比较简单的复合函数的单调区间这里值得注意的是，有条理地表达非常重要，可以通过阅读仔细体会例5 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)；(2)；(3)； (4)；(5)分析：首先判断函数的定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提，然后根据定义考察f(x)与f(-x)的关系从而判断函数的奇偶性值得注意的两点：一是非奇非偶函数的判定可以考虑举反例；二是既奇又偶的函数的辨识解：(1)函数的定义域为R,关于原点对称,函数是奇函数(2)函数的定义域为R,关于原点对称,函数是偶函数(3)函数的定义域为R,关于原点对称是非奇非偶函数.(4)由得函数的定义域为,关于原点对称,且此时,函数既是奇函数又是偶函数.(5)由得函数的定义域为,不关于原点对称,是非奇非偶函数点评：判断函数的奇偶性(还有，如求函数的单调区间等问题)应优先考虑函数的定义域，这是很容易疏忽 例6 已知函数是定义在R上的偶函数，当0时，求的解析式分析： 根据偶函数的对称性求解对称区间的解析式是基本而重要的题型关键是利用偶函数的定义及0的函数表达式，求出x0的函数表达式注意“求什么设什么”即设x0可以沟通已知条件解： 设,则-x0,故 又是偶函数, ,则 点评： 这里我们是使用的化归的思想，将未知的一段函数的解析式转化到已知的某一段的函数解析式例7 奇函数当14时解析式为，试求在区间上的最大值分析：两种思路：一是直接求出上的解析式，然后求解；二是根据奇函数的对称性，先求出上的最小值解：(法一)设,则, 此时,是奇函数,在上, (法二),在上, 则对任意的,有, 是奇函数,即 在上, 点评：本例的法一是比较容易想到的，先求解析式后求最值；法二是从整体去把握函数的对称的两段区间，考察对函数最值的定义的理解以及函数奇偶性的灵活运用，要求较高若函数是偶函数，则该函数的表达式中没有奇次项例8 定义在R上的偶函数在上是增函数 比较与的大小关系； 解不等式分析： 可以利用函数的奇偶性把自变量化到同一单调区间内,然后通过比较自变量的大小就可以比较函数值的大小 利用，将赋予f的值都能等价地变换到单调增区间上，从而直接用单调性解抽象不等式 解： (1)为偶函数, 又 在上是增函数, (2) 为偶函数, 即 又在上是增函数, 原不等式的解集为点评： 比较函数值的大小一般来讲可以借助于函数的单调性，本例(1)的两个自变量不在同一个单调区间里，我们可以借助于函数的单调性进行转化；本例(2)解函数不等式，我们利用函数的单调性，设法将“f”脱掉这里我们注意这样的事实：是增函数，则由可以得到，同样由也可以得到很容易利用反证法证明这个事实例9 已知，且，求的值分析：为多项式函数，它的特点是只有奇次项和常数项，如果我们把常数去掉就会得到一个奇函数，这样可以利用奇函数的性质求解解：设，则，是奇函数 又，,点评： 如果多项式函数是奇函数，则该函数的表达式中没有偶次项；如果多项式函数是偶函数，则该函数的表达式中没有奇次项例10 已知为奇函数(1)求、；(2)判断的单调性并加以证明分析：(1)运用奇函数定义,根据待定系数法求出、，也可以先用特殊情形求得、，再证明(先求后证)；(2)直接运用单调性定义解：(1)(法一)函数是奇函数, , 即对任意恒成立 整理即得，对任意恒成立 , (法二)函数是定义在的奇函数, 即 解得因此， 经检验，此时满足条件，故 (2)任取且, 则 , 又, , ,即 是单调递增函数.点评：本例(1)的方法一是直接根据函数的奇偶性的定义将问题转化成恒成立的问题，而方法二根据特殊情形先求出、，也就是先求必须满足的条件(以后我们称这样的条件叫做必要条件)，然后去检验这样的、是符合条件的，也就是这样的、是充分的(以后我们称这样的、是充分条件)例11 下列对应是否是A到B的映射，能否构成函数？ (1)A=R，B=R，； (2)，； (3)，B=R，； (4),三角形该三角形的周长数值(单位m)分析：直接依据映射、函数的定义判断解：(1)当时,不存在,所以该对应不是映射,更不是函数. (2)是映射,也是函数,数集A中所有的元素的倒数都是B中的元素. (3)不是映射,不是函数,例如对于一个输入值,有两个输出值与之对应. (4)是映射,但不是函数,因为A不是数集点评：注意函数与映射的联系和区别：函数是特殊的映射,映射是函数的推广例12 已知集合，且，映射，使B中的元素y=3x+1和A中元素x对应，求a和k的值分析：如果把A中元素x对应到B中的元素y,则称y是x的象, 称 x为y的一个原象根据可知：1，2，3，k的象分别为4，7，10，3k+1，那么根据B，我们就可以求得a和k的值解：由题意1、2、3、k的象分别是4、7、10、3k+1,且是B中的元素k不能为1、2、3中的一个，则3k+1不是4、7、10中的一个，或,式无解由解得点评：本例是已知映射的对应法则，根据映射的定义求字母的问题在解题的过程中，会出现两种对应关系，应值得注意4 自我检测(1)作出函数-3的图象，并根据图象写出函数的单调区间(2)证明：函数在区间上是减函数(3)已知在区间上是减函数，求实数a的取值范围(4)求函数的单调区间(5)已知函数是偶函数，则实数m的值是 (6)已知偶函数在区间0,4上是增函数，则和的大小关系是 (7)设函数，已知，则的值是 (8)已知函数既是R上的奇函数，又是R上的减函数，则满足的实数a的取值范围是 (9)已知映射，其中，集合A=-3,-2,-1,1,2,3,4,集合B中的每一个元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是 (10)已知是奇函数，且时，求时的解析式三、 课后巩固练习A组1判断下列函数在区间上的单调性： (1)； (2)；(3)；(4)2函数的单调递增区间是 3如图为的图象，则它的单调减区间为 4函数的递增区间为 5函数在定义域上是否是单调函数？如果是，是单调递增还是单调递减函数？6已知和在上都是减函数，则在上是单调递_函数7函数，当时是增函数，当时是减函数，则的值为 8若是区间上的减函数，则实数的取值范围是 9二次函数y = ax 2 + bx + c (a 0)的图象的对称轴为x = 2，则f (1 ),f (2)和f (4)的大小关系为 10求函数的单调递减区间为 11求函数的单调递增区间 12作出函数的图象并写出函数的单调区间13已知，利用单调性的定义证明在上是增函数14若为R上的增函数，解不等式 15判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 16判断下列函数是否具有奇偶性：(1)；(2)17已知定义在上的偶函数满足，则= 18若函数为奇函数，则的值为 19已知函数是偶函数，那么是 函数(判断奇偶性)20偶函数在轴右侧的图象如图所示，试画出在轴左侧的图象21若是偶函数，则 22定义在R上的偶函数在时，表达式为， 求当时， 的表达式 23已知是偶函数，当 0时的表达式 24奇函数在上的表达式是求在上的最小值 25已知奇函数的定义域为，若当时的图象如图所示，则不等式的解集是 26已知函数是偶函数，且在上是减函数，试判断在上是增函数还是减函数，并加以证明27定义在R上的奇函数也是R上的减函数，设，现有不等式：；其中成立的不等式序号是 28若是奇函数，且方程有三个根, 则的值是 29已知，都是定义在R上的函数，为奇函数，为偶函数，且，试判断下列函数的奇偶性： ； ； ； ； ； 30已知函数是R上的偶函数，且在上是减函数，若，求实数的取值范围 31已知奇函数在定义域上是增函数，那么在定义域上奇偶性和单调性怎样? 32偶函数在上是递减函数，试比较大小：_ 33是定义在R上的任意一个增函数，则单调递 函数，而且还是 函数(判断奇偶性) .34判断下列对应是否是从A 到B的映射：(1)； (2)，：35从集合到集合，共可建立的映射的个数是 36已知集合，判断下列对应关系中，能不能构成从M到P的映射： (1)； (2)；(3)； (4) .B组37函数的定义域是，则单调减区间是 38函数在定义域上是单调递 函数39函数在上的最大值为2，求的值 40函数在上的最大值和最小值之和为，求的值41函数在上是增函数，求实数的取值范围 42函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 43已知奇函数y=f(x)的定义域为x|x0，且xR，若f(x)在(-，0)上为单调增函数，且f(-1)=0，解不等式f(x)0时，用定义讨论函数的单调性 C组56定义在R上的二次函数在区间上递增,且对任意R都有，若，求实数的取值范围57.，若，求的取值范围.58.已知：函数，R,且，则的值的符号为 59已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数，比较三者的大小关系.60已知是偶函数，则函数的图象的对称轴方程为 61已知，解方程62在矩形ABCD中，AD=15，AB=a(a15)，E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD上的点，若AE=AF=CG=CH，问AE取何值时，四边形EFGH的面积最大？并求最大面积63已知函数是定义在上的增函数，试求函数的单调区间64求函数的最小值65已知函数的最小值是，求实数的取值范围66求函数，的最大最小值67利用定义，讨论的单调性68若在上递增，求实数的取值范围 69已知函数对任意实数，总有，且当时，(1)求；(2)判断函数的单调性；(3)若，求在上的最值70定义在R上的奇函数对任意的实数都有，若，求的值 71设定义在上的偶函数在区间上单调递减若，求实数的取值范围72若，记，求的最大值和最小值73已知不恒为零的函数对任意实数，总有成