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文档简介
1 高考冲刺之导数(基础篇)高考冲刺之导数(基础篇) 1导数的几何意义 函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处切线l的斜率, 切线l的方程是yf(x0)f(x0)(xx0) 2导数的物理意义 若物体位移随时间变化的关系为sf(t),则f(t0)是物体运动在tt0时刻的瞬时速 度 3函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0. f(x)0函数f(x)在(a,b)上单调递增;f(x)0函数f(x)在(a,b)上单调递 减 4函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, 如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 求f(x); 求方程f(x)0 的根; 检查f(x)在方程f(x)0 的根左右值的符号如果左正右负,那么f(x)在这个根处 取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右两侧符号一样, 那么这个根不是极值点 5函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值 (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若 函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值 (3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在a,b上的最大值和最小值 的步骤如下: 求f(x)在(a,b)内的极值; 将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值 6利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间 的函数关系式yf(x); 2 (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)0; (3)比较函数在区间端点和f(x)0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答 两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定 (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值 还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较 三个防范 (1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论;另 外注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念 (2)f(x0)0 是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件 如y|x|在x0 处取得极小值,但在x0 处不可导; f(x)x3,f(0)0,但x0 不是f(x)x3的极值点 (3)若yf(x)可导,则f(x0)0 是f(x)在xx0处取极值的必要条件 易误警示 直线与曲线有且只有一个公共点,直线不一定是曲线的切线;反之直线是曲线的切线,但 直线不一定与曲线有且只有一个公共点 两个条件 (1)f(x)0 在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件 (2)对于可导函数f(x),f(x0)0 是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件 三个步骤 求函数单调区间的步骤: (1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的 x的范围 当f(x)0 时,f(x)在相应的区间上是增函数;当f(x)0 时,f(x)在相应的区 间上是减函数,还可以列表,写出函数的单调区间 小题分类 1.(导数与积分)定积分 ln2 0 exdx 的值为( ) A. 1B. 1C. 2 e1D. 2 e 【答案】 B (2)当0 x 时,函数 2 yx与函数2xy 的图像所围成的封闭区域的面积是 【答案】 3 4 27 (3)用maxa b,表示 a,b 两个数中的最大数,设 2 ( )maxf xxx, 1 () 4 x ,那么 由函数( )yf x的图象、x 轴、直线 1 4 x 和直线2x 所围成的封闭图形的面积是 【答案】 35 12 (4)若dxxcdxxbxdxa 1 0 2 1 0 1 0 1,1,,则cba,的大小关系是 ( ) A.cba B.bca C.cab D.abc 【答案】A 变式 设 a (sinxcosx)dx,则(a)6的二项展开式中含 x2的系数是( ) 0 x 1 x A192 B192 C96 D96 解析:因为 a (sinxcosx)dx(cosxsinx)Error!(cossin) 0 0 (cos0sin0)2,所以(a)6 6,则可知其通项 Tr1(1)rC 26rx x 1 x (2 x 1 x)r 6 (1)rC 26rx3r,令 3r2r1,所以展开式中含 x2项的系数是(1) 6r 2 r 2r 6 rC 26r(1)1C 261192,故答案选 B. r 61 6 (2)若等比数列an的首项为 ,且 a4 (12x)dx,则公比等于_ 2 3 4 1 解析: (12x)dx(xx2)| (416)(11)18,即 a418 q3q3. 4 14 1 2 3 2.(导数的单调性)若,则的单调递增区间为( ) 2 24lnf xxxx( )f x A B C D 【答案】1,0 1,02,2,0, C (2)函数的定义域为 R,对任意实数 x 满足,且( )f x(1)(3)f xfx 当 lx2 时,函数的导数,则的单调(1)(3)f xf x( )f x( )0fx( )f x 递减区间是( ) 4 A B2 ,21()kkkZ21,2 ()kk kZ C D 【答案】2 ,22()kkkZ22,2 ()kk kZ A (3)已知函数为自然对数的底数 若函数在 2 ( )(21)(R x f xaxxea ,e).( )f x -1,1上单调递减,求的取值范围a 【答案】解: 322) 12()22()( 22 xaxaxeexaxeaxxf xxx 令若,则,在内,3) 1(2)( 2 xaaxxg0a32)(xxg)11(,0)(xg 即,函数在区间上单调递减.7 分若,则0)( x f)(xf11,0a ,其图象是开口向上的抛物线,对称轴为,当且3) 1(2)( 2 xaaxxg1 1 a a x 仅当,即时,在内,0) 1 (g10 a)11(,0)(xg0)( x f 函数在区间上单调递减.若,则,其图象)(xf11,0a3) 1(2)( 2 xaaxxg 是开口向下的抛物线, 当且仅当,即时,在内, 0) 1 ( 0) 1( g g 0 3 5 a)11(,0)(xg0)( x f 函数在区间上单调递减.)(xf11, 综上所述,函数在区间上单调递减时,的取值范围是12 分)(xf11,a1 3 5 a 3.(导数与切线斜率)设Ra,函数( )ee xx f xa 的导函数是( )fx,且( )fx是奇 函数,若曲线( )yf x的一条切线的斜率是 3 2 ,则切点的横坐标为( ) A. ln2 2 B.ln2 C. ln2 2 D. ln2 【答案】D (2)已知函数)0() 1 ( 2 1 3 1 )( 23 axx a axxf,则)(xf在点)1 (, 1 (f处的切线的 斜率最大时的切线方程是_ 【答案】 3 1 y (3)曲线 y x3x 在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) 1 3 (1, 4 3) 5 A. B. C. D. 1 9 2 9 1 3 2 3 【答案】A 4.(导数与图像)函数 yf(x)在定义域( ,3)内的图像如图所示记 yf(x)的导 3 2 函数为 yf(x) ,则不等式 f(x)0 的解集为 A ,12,3) B1, , 1 3 1 2 4 3 8 3 C , 1,2) D ( , , ,3) 3 2 1 2 3 2 1 3 1 2 4 3 4 3 【答案】A (2)设是函数的导函数,的图象如右图所示,则的图象最有可( )fx( )f x( )yfx( )yf x 能的是 【答案】C (3)已知 R 上可导函数的图象如图所示,则不等式的解集为)(xf0)()32( 2 xfxx ( ) 【答案】D A B), 1 ()2,()2 , 1 ()2,( C D. ), 2()0 , 1() 1,(), 3() 1 , 1() 1,( 5.(导数的运用)已知定义在 R 上的函数满足,且)(),(xgxf x a xg xf )( )( ),()()()(xgxfxgxf ,则的值是( ) 2 5 ) 1( ) 1( ) 1 ( ) 1 ( g f g f a A2BC3D 2 1 3 1 【答案】B (2)已知定义在实数集 R 上的函数满足=1,且的导数在 R 上恒有)(xf) 1 (f)(xf)(x f 6 ,则不等式的解集为( ))(x f )( 2 1 Rx 2 1 2 )( 2 2 x xf A B C D ), 1 ( ) 1,() 1 , 1() 1,(), 1 ( 【答案】D (3)函数)(xf的定义域为R,2) 1(f,对任意2)(, xfRx,则42)(xxf的 解集为( ) A.) 1 , 1( B.), 1( C.) 1,( D.R 【答案】B (4),若是奇函数,则= ( )cos( 3)(0)f xx( )( )f xfx 【答案】 (5)是定义在上的非负可导函数 ,且满足 ,对任意的正数)(xf), 0( ( )( )xfxf x ,若,则必有 A B C ba、ba )()(abfbaf)()(bbfaaf)()(bbfaaf D【答案】A)()(abfbaf 大题冲关 1.(研究函数的单调性、极值、最值等问题) 例 1.设函数 2 ( )(1)2ln(1)f xxx (I)求( )f x的单调区间;(II)当 0a2 时,求函数 2 ( )( )1g xf xxax在区 间0 3,上的最小值 解:(I)定义域为( 1,) 12 (2) ( )2(1) 11 x x fxx xx 令( )0fx,则 2 (2) 0 1 x x x ,所以2x 或0 x 因为定义域为( 1,) ,所以0 x 令( )0fx,则 2 (2) 0 1 x x x ,所 以20 x 因为定义域为( 1,) ,所以10 x 所以函数的单调递增区间为(0,),单调递减 区间为( 1,0) (II)( )(2)2ln(1)g xa xx 7 (1x ) 2(2) ( )(2) 11 a xa g xa x xx 因为 0a0,即, ( )fx( )g x0a 30 x ( )0fx 4 分 当时,g(x)5,所以函数 f(x)在区间上的最大值是.14 分 5 5 5 ( 5)5fe e 5,) 5 5e 5.(本小题满分 13 分)已知函数 322 ,.f xxaxbxaa bR ()若函数 fx在1x 处有极值为 10,求 b 的值; ()若对于任意的4,a , fx在0,2x上单调递增,求 b 的最小值 15 【答案】 () 2 32fxxaxb, 于是,根据题设有 2 1320 1110 fab faba 解得 4 11 a b 或 3 3 a b 当 4 11 a b 时, 2 3811fxxx,64 1320 ,所以函数有极
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