高考数学二轮复习 导数基础篇

1 高考冲刺之导数（基础篇）高考冲刺之导数（基础篇） 1导数的几何意义 函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线l的斜率， 切线l的方程是yf(x0)f(x0)(xx0) 2导数的物理意义 若物体位移随时间变化的关系为sf(t)，则f(t0)是物体运动在tt0时刻的瞬时速 度 3函数的单调性 在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0. f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递 减 4函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 求f(x)； 求方程f(x)0 的根； 检查f(x)在方程f(x)0 的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样， 那么这个根不是极值点 5函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若 函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值 的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 6利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间 的函数关系式yf(x)； 2 (2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)回归实际问题作答 两个注意 (1)注意实际问题中函数定义域的确定 (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值 还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较 三个防范 (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另 外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念 (2)f(x0)0 是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件 如y|x|在x0 处取得极小值，但在x0 处不可导； f(x)x3，f(0)0，但x0 不是f(x)x3的极值点 (3)若yf(x)可导，则f(x0)0 是f(x)在xx0处取极值的必要条件 易误警示 直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但 直线不一定与曲线有且只有一个公共点 两个条件 (1)f(x)0 在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件 (2)对于可导函数f(x)，f(x0)0 是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件 三个步骤 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的 x的范围 当f(x)0 时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0 时，f(x)在相应的区 间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间 小题分类 1.（导数与积分）定积分 ln2 0 exdx 的值为（ ） A. 1B. 1C. 2 e1D. 2 e 【答案】 B （2）当0 x 时，函数 2 yx与函数2xy 的图像所围成的封闭区域的面积是 【答案】 3 4 27 （3）用maxa b，表示 a，b 两个数中的最大数，设 2 ( )maxf xxx， 1 () 4 x ，那么 由函数( )yf x的图象、x 轴、直线 1 4 x 和直线2x 所围成的封闭图形的面积是 【答案】 35 12 （4）若dxxcdxxbxdxa 1 0 2 1 0 1 0 1,1,，则cba,的大小关系是 （ ） A.cba B.bca C.cab D.abc 【答案】A 变式 设 a (sinxcosx)dx，则(a)6的二项展开式中含 x2的系数是( ) 0 x 1 x A192 B192 C96 D96 解析：因为 a (sinxcosx)dx(cosxsinx)Error!(cossin) 0 0 (cos0sin0)2，所以(a)6 6，则可知其通项 Tr1(1)rC 26rx x 1 x (2 x 1 x)r 6 (1)rC 26rx3r，令 3r2r1，所以展开式中含 x2项的系数是(1) 6r 2 r 2r 6 rC 26r(1)1C 261192，故答案选 B. r 61 6 （2）若等比数列an的首项为 ，且 a4 (12x)dx，则公比等于_ 2 3 4 1 解析： (12x)dx(xx2)| (416)(11)18，即 a418 q3q3. 4 14 1 2 3 2.(导数的单调性)若，则的单调递增区间为（ ） 2 24lnf xxxx( )f x A B C D 【答案】1,0 1,02,2,0, C （2）函数的定义域为 R，对任意实数 x 满足，且( )f x(1)(3)f xfx 当 lx2 时，函数的导数，则的单调(1)(3)f xf x( )f x( )0fx( )f x 递减区间是（ ） 4 A B2 ,21()kkkZ21,2 ()kk kZ C D 【答案】2 ,22()kkkZ22,2 ()kk kZ A （3）已知函数为自然对数的底数 若函数在 2 ( )(21)(R x f xaxxea ，e).( )f x -1，1上单调递减，求的取值范围a 【答案】解： 322) 12()22()( 22 xaxaxeexaxeaxxf xxx 令若，则，在内，3) 1(2)( 2 xaaxxg0a32)(xxg)11(，0)(xg 即，函数在区间上单调递减.7 分若，则0)( x f)(xf11，0a ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，当且3) 1(2)( 2 xaaxxg1 1 a a x 仅当，即时，在内，0) 1 (g10 a)11(，0)(xg0)( x f 函数在区间上单调递减.若，则，其图象)(xf11，0a3) 1(2)( 2 xaaxxg 是开口向下的抛物线， 当且仅当，即时，在内， 0) 1 ( 0) 1( g g 0 3 5 a)11(，0)(xg0)( x f 函数在区间上单调递减.)(xf11， 综上所述，函数在区间上单调递减时，的取值范围是12 分)(xf11，a1 3 5 a 3.（导数与切线斜率）设Ra,函数( )ee xx f xa 的导函数是( )fx，且( )fx是奇 函数，若曲线( )yf x的一条切线的斜率是 3 2 ，则切点的横坐标为（ ） A. ln2 2 B.ln2 C. ln2 2 D. ln2 【答案】D （2）已知函数)0() 1 ( 2 1 3 1 )( 23 axx a axxf，则)(xf在点)1 (, 1 (f处的切线的 斜率最大时的切线方程是_ 【答案】 3 1 y (3)曲线 y x3x 在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( ) 1 3 (1， 4 3) 5 A. B. C. D. 1 9 2 9 1 3 2 3 【答案】A 4.(导数与图像)函数 yf（x）在定义域（ ，3）内的图像如图所示记 yf（x）的导 3 2 函数为 yf（x） ，则不等式 f（x）0 的解集为 A ，12，3） B1， ， 1 3 1 2 4 3 8 3 C ， 1，2） D （ ， ， ，3） 3 2 1 2 3 2 1 3 1 2 4 3 4 3 【答案】A （2）设是函数的导函数,的图象如右图所示，则的图象最有可( )fx( )f x( )yfx( )yf x 能的是 【答案】C （3）已知 R 上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为)(xf0)()32( 2 xfxx （ ） 【答案】D A B), 1 ()2,()2 , 1 ()2,( C D. ), 2()0 , 1() 1,(), 3() 1 , 1() 1,( 5.（导数的运用）已知定义在 R 上的函数满足，且)(),(xgxf x a xg xf )( )( ),()()()(xgxfxgxf ，则的值是（ ） 2 5 ) 1( ) 1( ) 1 ( ) 1 ( g f g f a A2BC3D 2 1 3 1 【答案】B （2）已知定义在实数集 R 上的函数满足=1，且的导数在 R 上恒有)(xf) 1 (f)(xf)(x f 6 ，则不等式的解集为（ ）)(x f )( 2 1 Rx 2 1 2 )( 2 2 x xf A B C D ), 1 ( ) 1,() 1 , 1() 1,(), 1 ( 【答案】D （3）函数)(xf的定义域为R,2) 1(f,对任意2)(, xfRx,则42)(xxf的 解集为（ ） A.) 1 , 1( B.), 1( C.) 1,( D.R 【答案】B （4）,若是奇函数，则= ( )cos( 3)(0)f xx( )( )f xfx 【答案】 （5）是定义在上的非负可导函数 ，且满足 ，对任意的正数)(xf), 0( ( )( )xfxf x ，若，则必有 A B C ba、ba )()(abfbaf)()(bbfaaf)()(bbfaaf D【答案】A)()(abfbaf 大题冲关 1.（研究函数的单调性、极值、最值等问题） 例 1.设函数 2 ( )(1)2ln(1)f xxx （I）求( )f x的单调区间；（II）当 0a2 时，求函数 2 ( )( )1g xf xxax在区 间0 3，上的最小值 解：（I）定义域为( 1,) 12 (2) ( )2(1) 11 x x fxx xx 令( )0fx，则 2 (2) 0 1 x x x ，所以2x 或0 x 因为定义域为( 1,) ，所以0 x 令( )0fx，则 2 (2) 0 1 x x x ，所 以20 x 因为定义域为( 1,) ，所以10 x 所以函数的单调递增区间为(0,)，单调递减 区间为( 1,0) （II）( )(2)2ln(1)g xa xx 7 （1x ） 2(2) ( )(2) 11 a xa g xa x xx 因为 0a0,即， ( )fx( )g x0a 30 x ( )0fx 4 分 当时,g(x)5，所以函数 f(x)在区间上的最大值是.14 分 5 5 5 ( 5)5fe e 5,) 5 5e 5.（本小题满分 13 分）已知函数 322 ,.f xxaxbxaa bR （）若函数 fx在1x 处有极值为 10，求 b 的值； （）若对于任意的4,a ， fx在0,2x上单调递增，求 b 的最小值 15 【答案】 （） 2 32fxxaxb， 于是，根据题设有 2 1320 1110 fab faba 解得 4 11 a b 或 3 3 a b 当 4 11 a b 时， 2 3811fxxx，64 1320 ，所以函数有极