高三数学二轮复习 必考问题专项突破9 等差、等比数列的基本问题 理

必考问题9等差、等比数列的基本问题1(2012辽宁)在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和S11()A58 B88 C143 D176答案： B利用等差数列的性质及求和公式求解因为an是等差数列，所以a4a82a616a68，则该数列的前11项和为S1111a688.2(2012新课标全国)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10()A7 B5 C5 D7答案：D设数列an的公比为q，由得或所以或所以或所以a1a107.3(2012福建)等差数列an中，a1a510，a47，则数列an的公差为()A1 B2 C3 D4答案：B在等差数列an中，a1a510，2a310，a35，又a47，所求公差为2.4(2012浙江)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.解析S4S2a3a43(a4a2)，a2(qq2)3a2(q21)，q1(舍去)或q.答案本部分在高考中常以选择题和填空题的形式出现，考查这两种数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等，属于中档题；以解答题出现时，各省市的要求不太一样，有的考查等差、等比数列的通项公式与求和等知识，属于中档题；有的与函数、不等式、解析几何等知识结合考查，难度较大(1)深刻理解两种数列的基本概念和性质，熟练掌握常用的方法和技能；掌握等差数列和等比数列的判定、证明方法，这类问题经常出现在以递推数列为背景的试题的第(1)问中(2)熟练掌握等差数列和等比数列的性质，并会灵活应用，这是迅速、准确地进行计算的关键.必备知识等差数列的有关公式与性质(1)an1and(nN*，d为常数)(2)ana1(n1)d.(3)Snna1d.(4)2anan1an1(nN*，n2)(5)anam(nm)d(n，mN*)；若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)；等差数列an的前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列等比数列的有关公式与性质(1)q(nN*，q为非零常数)(2)ana1qn1.(3)Sn(q1)(4)aan1an1(nN*，n2)(5)anamqnm；若mnpq，则amanapaq；等比数列an(公比q1)的前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m，也成等比数列必备方法1运用方程的思想解等差(比)数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算2深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列的相关性质及公式，然后要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决问题3等差、等比数列的判定与证明方法：(1)定义法：an1and(d为常数)an是等差数列；q(q为非零常数)an是等比数列；(2)利用中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列；aanan2(nN*)an是等比数列(注意等比数列的an0，q0)；(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列；ancqn(c，q为非零常数)an是等比数列；(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列；Snmqnm(m为常数，q0)an是等比数列；(5)若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a1，a2，a3验证即可等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性，是高考必考内容，着重考查等差、等比数列的基本运算、基本技能和基本思想方法，题型不仅有选择题、填空题、还有解答题，题目难度中等【例1】 (2011江西)已知两个等比数列an、bn满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值审题视点 听课记录审题视点 (1)利用b1、b2、b3等比求解；(2)利用(1)问的解题思路，结合方程的相关知识可求解解(1)设an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10.(*)由a0得，4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根，由an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a. 关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识【突破训练1】 (2011广东改编)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k()A10 B12 C15 D20答案： A设等差数列an的前n项和为Sn，则S9S40，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70，而aka40，故k10.高考对该内容的考查主要是等差、等比数列的定义，常与递推数列相结合考查常作为数列解答题的第一问，为求数列的通项公式做准备，属于中档题【例2】 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式审题视点 听课记录审题视点 (1)先利用an1Sn1Sn将Sn14an2转化为关于an的递推关系式，再利用bnan12an的形式及递推关系式构造新数列来求证(2)借助(1)问结果，通过构造新数列的方式求通项(1)证明由a11，及Sn14an2，有a1a24a12，a23a125，b1a22a13，由Sn14an2，则当n2时，有Sn4an12.得an14an4an1.an12an2(an2an1)又bnan12an，bn2bn1，bn是首项b13，公比为2的等比数列，(2)解由(1)可得bnan12an32n1，.数列是首项为，公差为的等差数列，(n1)n，所以an(3n1)2n2. 判断一个数列是等差数列或等比数列的首选方法是根据定义去判断，其次是由等差中项或等比中项的性质去判断【突破训练2】 在数列an中，a11，an12an2n.(1)设bn.证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.(1)证明an12an2n，1.即有bn1bn1，所以bn是以1为首项，1为公差的等差数列(2)解由(1)知bnn，从而ann2n1.Sn120221322(n1)2n2n2n1，2Sn121222323(n1)2n1n2n.两式相减得，Snn2n2021222n1n2n2n1(n1)2n1.从近几年的考题看，对于等差与等比数列的综合考查也频频出现考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上【例3】 (2012石家庄二模)已知等比数列an的前n项和为Sn，a12，S1、2S2、3S3成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列bnan是首项为6，公差为2的等差数列，求数列bn的前n项和审题视点 听课记录审题视点 (1)列出关于公比q的方程求q；(2)先求出bn后，再根据公式求和解(1)由已知4S2S13S3,4(a1a1q)a13a1(1qq2)，3q2q0，q0(舍)，或q，an2n1.(2)由题意得：bnan2n8，bnan2n82n12n8.设数列bn的前n项和为Tn，Tn3n(n7)n27n3. (1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式(2)方程思想的应用往往是破题的关键【突破训练3】 数列an为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列bn为等比数列，且a13，b11，数列ban是公比为64的等比数列，b2S264.(1)求an，bn；(2)求证：.(1)解设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正整数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有由(6d)q64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一，解得d2，q8，故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)证明Sn35(2n1)n(n2)，.递推数列及其应用递推数列问题一直是高考命题的特点，递推数列在求数列的通项、求和及其它应用中往往起至关重要的纽带作用，是解决后面问题的基础和台阶，此类题目需根据不同的题设条件，抓住数列递推关系式的特点，选择恰当的求解方法【示例】 (2011湖北)已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1a(a0)，an1rSn(nN*，rR，r1)(1)求数列an的通项公式；(2)若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，试判断：对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2是否成等差数列，并证明你的结论满分解答(1)由已知an1rSn，可得an2rSn1，两式相减，得an2an1r(Sn1Sn)ran1，即an2(r1)an1.(2分)又a2ra1ra，所以，当r0时，数列an为：a,0，0，；(3分)当r0，r1时，由已知a0，所以an0(nN*)，于是由an2(r1)an1，可得r1(nN*)，a2，a3，an，成等比数列，当n2时，anr(r1)n2a.(5分)综上，数列an的通项公式为an(6分)(2)对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列，证明如下：当r0时，由(1)知，an对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列(8分)当r0，r1时，Sk2Skak1ak2，Sk1Skak1，若存在kN*，使得Sk1，Sk，Sk2成等差数列，则Sk1Sk22Sk，2Sk2ak1ak22Sk，即ak22ak1.(10分)由(1)知，a2，a3，am，的公比r12，于是对于任意的mN*，且m2，am12am，从而am24am，am1am22am，即am1，am，am2成等差数列(12分)综上，对于任意的mN*，且m2，am1，am，am2成等差数列(13分)老师叮咛：本题是以an和Sn为先导的综合问题，主要考查等差、等比数列的基础知识以及处理递推关系式的一般方法失分的原因有：第(1)问中漏掉r0的情况，导致结论写为anr(r1)n2a；第(2)问中有的考生也漏掉r0的情况，很多考生不知将Sk1Sk22Sk转化为ak1与ak2的关系式，从而证明受阻【试一试】 (2012四川)已知数列an的前n项和为Sn，且a2anS2Sn对一切正整数n都成立(1)求a1，a2的值；(2)设a10，数列的前n项和为Tn.当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最大值解(1)取n1，得a2a1S2S12a1a2，取n2，得a2a12a2，由，得a2(a2a1)a2，(i)若a20，由知a10，(ii)若a20，由知a2a11.由、解得，a11，a22；或a11，a22.综上