高三数学总复习 64数列的综合问题与数列的应用练习 新人教B

6-4数列的综合问题与数列的应用基础巩固强化1.(2011佛山月考)若a、b、c成等比数列，则函数f(x)ax2bxc的图象与x轴交点的个数是()A0B1C2D不确定答案A解析由题意知，b2ac0，b24ac3ac0，a5a62，a5a6()(a5a6)2，等号在a5a6时成立(理)(2011哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知an是等差数列，Sn为其前n项和，若S21S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2011，a2011)，则()A2011 B2011 C0 D1答案A解析由S21S4000得到Sn关于n2010.5对称，故Sn的最大(或最小)值S2010S2011，故a20110，2011ana20112011an02011，故选A.5数列an是公差d0的等差数列，数列bn是等比数列，若a1b1，a3b3，a7b5，则b11等于()Aa63 Ba36 Ca31 Da13答案A解析设数列bn的首项为b1，公比为q，则得d(q4q2)a1(q4q2)a1q2，q1，q22，d，于是b11a1q1032a1.设32a1a1(n1)，则n63，b11a63.6(文)(2011广东促元中学期中)已知an为等差数列，bn为正项等比数列，公式q1，若a1b1，a11b11，则()Aa6b6 Ba6b6Ca6b6.(理)(2011安徽百校论坛联考)已知a0，b0，A为a、b的等差中项，正数G为a、b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()AabAG BabAGCabAG D不能确定答案C解析由条件知，ab2A，abG2，AG0，AGG2，即AGab，故选C.点评在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用7小王每月除去所有日常开支，大约结余a元小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本和息假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息那么，小王存款到期利息为_元答案78ar解析依题意得，小王存款到期利息为12ar11ar10ar3ar2ararar78ar元8已知双曲线an1y2anx2an1an(n2，nN*)的焦点在y轴上，一条渐近线方程是yx，其中数列an是以4为首项的正项数列，则数列an的通项公式是_答案an2n1解析双曲线方程为1，焦点在y轴上，又渐近线方程为yx，又a14，an42n12n1.9(2012哈六中三模)已知数列an的前n项和为Sn，且an15Sn3，且a11，则an的通项公式是_答案an解析因为an15Sn3，所以当n2时，an5Sn13.两式相减得an1an5an，6，故数列an从第2项开始成等比数列，an26n2(n2)，当n1时a11不满足，综上，an10(文)(2012绥化市一模)已知等差数列an的公差大于0，且a3、a5是方程x214x450的两个根，数列bn前n项和为Sn，且Sn(nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.解析(1)a3，a5是方程x214x450的两根，且数列an的公差d0，a35，a59，公差d2.ana5(n5)d2n1.又当n1时，有b1S1，b1，当n2时，有bnSnSn1(bn1bn)，(n2)数列bn是首项b1，公比q的等比数列，bnb1qn1.(2)由(1)知，cnanbn，Tn，Tn，得Tn2()，整理得Tn1.(理)(2012河南六市联考)已知数列an的前n项和是Sn，且2Sn2an.(1)求数列an的通项公式；(2)记bnann，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)当n1时，2S12a1，2a12a1，a1；当n2时，两式相减得2anan1an(n2)，即3anan1(n2)，又an10，(n2)，数列an是以为首项，为公比的等比数列an()n12()n.(2)由(1)知bn2()nn，Tn2()2()3()n(123n)1()n.能力拓展提升11.(文)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是()A. B. C. D.答案C解析循环过程为i14i2，m1，S；i24i3，m2，S；i34i4，m3，S；i40，a11，an2n1.12(文)(2012成都双流中学月考)已知数列an、bn满足a1，anbn1，bn1，则b2012()A. B. C. D.答案C解析anbn1，a1，b1，bn1，b2，a2，b3，a3，b4，a4，观察可见an，bn，b2012，故选C.(理)(2012宿州市质检)等比数列an中，a36，前三项和S34xdx，则公比q的值为()A1 BC1或 D1或答案C解析S34xdx2x2|18，又a36，a1a212，q1或.13(文)(2011福州市期末、河北冀州期末)已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数yln(x2)x当xb时取到极大值c，则ad等于_答案1分析利用导数可求b、c，由a、b、c、d成等比数列可得adbc.解析y1，令y0得x1，当2x0，当x1时，y0)，b1a11，b2a22，b3a33，若数列an唯一，则a_.答案解析设等比数列an的公比为q，则有b1a1，b2aq2，b3aq23，(aq2)2(a1)(aq23)，即aq24aq3a10.因为数列an是唯一的，因此由方程aq24aq3a10解得的a，q的值是唯一的若0，则a2a0.又a0，因此这样的a不存在，故方程aq24aq3a10必有两个不同的实根，且其中一根为零，于是有3a10，a.15(2012天津十二区县联考一)已知数列an的前n项和Sn满足：Sna(Snan1)(a为常数，且a0，a1)(1)求an的通项公式；(2)设bnaSnan，若数列bn为等比数列，求a的值(3)在满足条件(2)的情形下，设cn，数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn2n.解析(1)S1a(S1a11)，a1a，当n2时，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，两式相减得anaan1，a，即an是等比数列，anaan1an.(2)由(1)知anan，Sn，bn(an)2an，若bn为等比数列，则有bb1b3，而b12a2，b2a3(2a1)，b3a4(2a2a1)，故a3(2a1)22a2a4(2a2a1)，解得a，再将a代入，得bn()n成立，所以a.(3)证明：由(2)知bn()n，所以cn2，所以cn2，Tnc1c2cn(2)(2)(2)2n2n.16(文)已知数列an是公差d0的等差数列，记Sn为其前n项和(1)若a2、a3、a6依次成等比数列，求其公比q.(2)若a11，证明点P1，P2，Pn(nN*)在同一条直线上，并写出此直线方程解析(1)a2、a3、a6依次成等比数列，q3，即公比q3.(2)证明：Snna1d，a1d1d.点Pn在直线y1d上点P1，P2，Pn(nN*)都在过点(1,1)且斜率为的直线上此直线方程为y1(x1)即dx2y2d0.(理)在等差数列an中， 设Sn为它的前n项和，若S150，S160，且点A(3，a3)与B(5，a5)都在斜率为2的直线l上，(1)求a1的取值范围；(2)指出，中哪个值最大，并说明理由解析(1)由已知可得2，则公差d2，14a10，S168(a8a9)0，a90；当9i15时，0是S9S3的()A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析S9S3a4a5a6a7a8a903(a6a7)0a6a70，a6a70a6a70，但a6a70 a6a70，故选A.2(2012吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列an的前20项的和是100，那么a6a15的最大值是()A25 B50 C100 D不存在答案A解析由条件知，a6a15a1a20S2010010，a60，a150，a6a15()225，等号在a6a155时成立，即当an5(nN*)时，a6a15取最大值25.3(2011揭阳一模)数列an是公差不为0的等差数列，且a1、a3、a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为()A. B4 C2 D.答案C解析设数列an的公差为d(d0)，由aa1a7得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故数列bn的公比q2，选C.4(2011北京西城期末)已知各项均不为零的数列an，定义向量cn(an，an1)，bn(n，n1)，nN*.则下列命题中为真命题的是()A若对于任意nN*总有cnbn成立，则数列an是等差数列B若对于任意nN*总有cnbn成立，则数列an是等比数列C若对于任意nN*总有cnbn成立，则数列an是等差数列D若对于任意nN*总有cnbn成立，则数列an是等比数列答案A解析若对任意nN*，有cnbn，则，所以an1anan2an1，即2an1anan2，所以数列an为等差数列5小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列an，有以下结论：a515；数列an是一个等差数列；数列an是一个等比数列；数列的递推公式为：anan1n(nN*)，其中正确的为()A B C D答案D解析观察图形可知an123n.选D.6如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”介于1到200之间的所有“神秘数”之和为_答案2500解析设正整数x(2n2)2(2n)28n4，由1x200及nZ知，0n24，所有这样的神秘数之和为2500.7(2011洛阳市高三模拟)已知函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f (x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an和数列bn满足等式：an(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)由题意可设f(x)ax2bxc，则f (x)2axb6x2，a3，b2，f(x)过原点，c0，f(x)3x22x.依题意得Sn3n22n.n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5，n1时，a1S11适合上式an6n5(nN*)(2)an，an1(n2)相减得6，bn62n(n2)b12a12，bnTn26(22232n)32n222.8已知f(x)a1xa2x2anxn(n为正偶数)且an为等差数列，f(1)n2，f(1)n，试比较f与3的大小，并证明你的结论解析由f(1)n2，f(1)n得，a11，d2.f3253(2n1) n，两边同乘以得，f233(2n3)n(2n1)n1，两式相减得，f22232n(2n1)n1(2n1).f33.9(2012安徽理，21)数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是c0；(2)求c的取值范围，使xn是递增数列分析(1)证明充要条件要从充分性与必要性两方面进行证明；(2)首先由递增数列得到c的取值范围，然后再用数学归纳法证明条件符合题已知条件解析(1)证明：先证充分性，若c0，由于xn1xxncxncxn，故xn是递减数列；再证必要性，若xn是递减数列，则由x2x1可得c0.(2)()假设xn是递增数列，由x10，得x2c，x3c22c.由x1x2x3，得0c1.由xnxn1xxnc知，对任意n1都有xn0，即xn1.由式和xn0还可得，对任意n1都有xn1(1)(xn)反复运用式，得xn(1)n1(x1)(1)n1.xn1和xn(1)n1两式相加，知21(1)n1对任意n1成立根据指数函数y(1)n的性质，得210，c，故0c.()若00.即证xn对任意n1成立下面用数学归纳法证明当0c时，xn对任意n1成立当n1时，x10，结论成立假