高考数学 考点22椭圆

考点22 椭圆 1.（2010福建高考文科1）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P为动点，依题意写出的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解. 【规范解答】选C，设，则，又因为，又， ，所以 .2.（2010广东高考文科7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A B C D【命题立意】本题考察椭圆的基本性质以及等差数列的定义.【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出、的关系，再转化为、间的关系，从而求出.【规范解答】选. 椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, ， ，即： ，又 ， ，即 ， （舍去）或 ， ，故选.3（2010陕西高考理科20）如图，椭圆C： ()求椭圆C的方程； ()设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（2）是一个开放性问题，考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】已知的方程组椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论【规范解答】（）由知a2+b2=7, 由 又， 由 解得故椭圆C的方程为（）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)假设存在直线l使成立，（）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得因为由求根公式得： 将代入上式并化简得（）当l与x轴垂直时，满足的直线l的方程为，4.（2010海南高考理科T20）设分别是椭圆E:（ab0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与E 相交于两点，且,成等差数列.（)求E的离心率；（）设点P（0,-1）满足,求E的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.【思路点拨】利用等差数列的定义，得出,满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.【规范解答】（)由椭圆的定义知，又得 ，的方程为，其中设，则两点坐标满足方程组 化简得，则 ，.因为直线AB斜率为1，所以得 ，故,所以E的离心率.（）设两点的中点为，由（)知，.由，可知.即，得，从而.椭圆E的方程为.【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.5. （2010陕西高考文科20）如图，椭圆C： ()求椭圆C的方程； ()设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（2）是一个开放性问题，考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。 【思路点拨】已知的方程组椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论【规范解答】（）同理科（）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)假设存在直线l使成立，（）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且得由得由求根公式得： 将代入上式并化简得（）当l与x轴垂直时，满足的直线l的方程为，6.（2010江苏高考8）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【命题立意】本题主要考查求曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程及其相关的基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。【思路点拨】（1）设出P点的坐标，然后代入，化简即可；(2) 点T为直线MT和NT的交点；（3）联立直线MAT、直线NBT和椭圆方程，求出M和N的坐标，从而求出直线MN的方程,进而求证结论.【规范解答】（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。方法一：当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。方法二：若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。【方法技巧】由于定点、定值是变化中得不变量，引进参数表述这些量，不变的量就是与参数无关的量，通过研究何时变化的量与参数无关，找到定点或定值的方法叫做参数法，其解题的关键是合适的参数表示变化的量. 当要解决动直线过定点问题时，可以根据确定直线的条件建立直线系方程，通过该直线过定点所满足的条件确定所要求的定点坐标.7.OF2F1AXY（2010安徽高考理科19）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 (1)求椭圆的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程；(3)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平，探究意识，创新意识和综合运算求解能力【思路点拨】（1）设出椭圆的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；（2）根据角平分线的性质求出直线的斜率或直线上的一个点的坐标，进而求得直线的方程；（3）先假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两点，根据推理结果做出判断。【规范解答】（1）设椭圆的方程为（），由题意，又，解得：椭圆的方程为（2）方法1：由（1）问得，又，易得为直角三角形，其中设的角平分线所在直线与x轴交于点，根据角平线定理可知：，可得，直线的方程为：，即。方法2：由（1）问得，又，直线的方程为：，即。（3）假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点、，令、，且的中点为，又，两式相减得: ,即（3），又在直线上，（4）由（3）（4）解得：，所以点与点是同一点，这与假设矛盾，故椭圆上不存在关于直线对称的相异两点。【方法技巧】1、求圆锥曲线的方程，通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；2、利用向量表示出已知条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算；3、对于存在性问题，其常规解法是先假设命题存在，再根据题设条件进行的推理运算，若能推得符合题意的结论，则存在性成立，否则，存在性不成立。8.（2010山东高考文科22）如图，已知椭圆过点.，离心率为，左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜线分别为、.证明：； 问直线上是否存在点，使得直线、的斜率、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.【命题立意】本题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查了数形结合思想，分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。【思路点拨】(1)根据离心率和已知点构造含有的方程组，可求出椭圆的方程；（2）方法一：将点P的坐标用表示出来，再将点P的坐标代入直线进行化简；方法二：设出点P的坐标，再将用点P的坐标表示，并利用点P在直线上进行化简；利用韦达定理将用表示出来，将用表示出来，再由可得关于的方程，再联立结论（1）可求出，最终可求出点P的坐标.【规范解答】（1）因为椭圆过点（），所以又，所以故 所求椭圆方程为 . (2) 证明：方法一：由于，的斜率分别为、，且点P不在轴上，所以.又直线，的方程分别为，联立方程组得所以，由于在直线上，所以，因此即结论成立.方法二：设，则，因为点P不在轴上，所以，又，所以结论成立.:设 联立直线与椭圆的方程得化简得,因此 ， 需将本行和下一行的大写的改为小写由于OA,OB的斜率存在,所以因此相似地可以得到,若，须有.当时，结合（1）的结论可得，所以解得点P的坐标为（0,2）；当时，结合（1）的结论可得（此时，不满足，舍去），此时直线CD的方程为，联立方程得，因此点P的坐标为。综上所述，满足条件的点P的坐标分别为（0,2），.【方法技巧】解析几何中的存在判断型问题1、基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形)是否存在或某一结论和参数无关. 2、基本策略：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式来证明该式是恒定的.9.（2010天津高考理科20）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1） 求椭圆的方程；（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值.【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。【思路点拨】（1）建立关于a,b的方程组求出a,b；（2）构造新的一元二次方程求解。【规范解答】（1）由，得，再由，得由题意可知， 解方程组 得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为。(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去整理，得由得设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当k时，线段AB的垂直平分线方程为（后边的Y改为小写）令x=0，解得由整理得综上10.（2010天津高考文科21）已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（）求椭圆的方程；（）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若，求直线l的倾斜角； （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.【命题立意】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力。【思路点拨】（1）建立关于a,b的方程组求出a,b；（2）构造新方程综合运用两点间的距离公式、平面向量等知识求解。【规范解答】（）解：由e，得.再由，解得a2b.由题意可知，即ab2.解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为.()(i)解：由（）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k.所以直线l的倾斜角为或.（ii）设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得。由，整理得。故。所以。11.（2010北京高考文科9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x,y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中的关系，离心率.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（）问中最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】由焦点可求出，再利用离心率可求出。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.【规范解答】（）因为，且，所以所以椭圆C的方程为.（）由题意知由 得所以圆P的半径为.由，解得.所以点P的坐标是（0，）.（）由（）知，圆P的方程.因为点在圆P上。所以由图可知。设，则当，即，且，取最大值2.【方法技巧】（1）直线与圆的位置关系：时相离；时相切；时相交；（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.12.（2010辽宁高考文科20） 设F1，F2分别为椭圆C:=1(ab0)的左右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60,F1到直线l的距离为2.()求椭圆C的焦距；()如果，求椭圆C的方程.【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，直角三角形中的边角关系，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，平面向量的坐标以及推理运算能力.【思路点拨】（1）利用直角三角形中的边角关系直接求解.（2）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，求出a ,进而求出椭圆方程.【规范解答】【方法技巧】1、第（I）利用直角三角形中的边角关系比用点到直线的距离要简单，做题时要根据题目特点，灵活选择解题策略.2、直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组是一种常用的方法.13.（2010辽宁高考理科20）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I) 求椭圆C的离心率；(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中的弦长问题，以及推理运算能力.【思路点拨】（I）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，得出a、b、c间的关系，求出离心率. （II）利用弦长公式表示出|AB|，再结合离心率和，求出a、b，写出椭圆方程.【规范解答】【方法技巧】1、直线、圆锥曲线的综合问题，往往是联立成方程组消去一个x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程，使问题得以解决. 2、弦长问题，注意使用弦长公式，并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题.14.（2010福建高考理科17）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2 , 3），且点F（2 ，0）为其右焦点.（I）求椭圆C的方程；（II）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.【思路点拨】第一步先求出左焦点，进而求出a,c,然后求解椭圆的标准方程；第二步依题意假设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线的距离等于4列出方程，求解出t的值，注意判别式对参数t的限制.【规范解答】（I）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有 ，解得，又，故椭圆的方程为；（II）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与椭圆C有公共点，所以，解得。另一方面，由直线OA与直线的距离等于4可得，由于，所以符合题意的直线不存在.【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式的限制。因为抛物与直线有交点，注意应用进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围.15.（2010湖南高考文科19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过10Km的区域。（I） 求考察区域边界曲线的方程：（II） 如图4所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？【命题立意】把直线和圆锥曲线的关系问题放在生活实际中考查充分体现了知识的应用性。能很好的体现学生应用知识的能力，而且打破了解析几何的固定命题模式。【思路点拨】题目的阐述比较新颖，把求曲线的方程阐述成求区域的边界。不受表面阐述所干扰，还是利用定义法求轨迹即可。第二问是数列问题，巧妙地把解析几何和数列的求和结合起来。【规范解答】 (1) 设边界曲线上点P的坐标为（x,y），则由|PA|+|PB|=10知，点P在以A,B为焦点，长轴为2a=10的椭圆上。此时短半轴长.所以考察区域边界曲线（如图）的方程为. (2) 易知过点P1,P2的直线方程为，因此点A到直线P1P2的距离为设经过n年，点A恰好落在冰川边界线上，则利用等比数列求和公式可得解得n=5，即经过5年，点A恰好在冰川边界线上。【方法技巧】1、求曲线的轨迹时常用的方法有：直译法，定义法，待定系数法，相关点法和参数法等。注意各种方法的使用条件以及步骤。2、曲线上的点到直线的最短距离的求法。直线和圆常常转化为圆心到直线的距离。直线和椭圆（双曲线、抛物线）常常利用平移直线，使直线和椭圆（双曲线、抛物线）相切。当然也还有别的方法。16. （2010湖南高考理科4）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A,B