高中数学第一轮复习学案06导数及其应用

第01讲：导数的概念、几何意义及其运算高考考试大纲的要求： 了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义；能根据导数定义，求函数（理科，外加）的导数 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，（另外，理科要求：能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数。）常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：； ； 法则1： 法则2： 法则3： （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数在处的瞬时变化率称为函数在处的导数，记作或，即如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数在处的导数，就是导函数在处的函数值，即。2. 由导数的定义求函数的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量;（2）.求平均变化率; （3）.取极限，得导数。3.导数的几何意义：函数在处的导数是曲线上点()处的切线的斜率。 因此，如果存在，则曲线在点（）处的切线方程为_。 4.常用的求导公式、法则（除上面大纲所列出的以外，还有）：（1）公式的特例：_; _, _.（2）法则：_; 若，则=_.（二）例题分析：例1. 已知y=，用导数的定义求y.例2.(2008全国卷理)设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2BCD 例3.(2007全国文)曲线y=在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）（A） （B） （C） （D） 例4.（2004全国卷文科）已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且 （）求直线的方程；（）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.（三）基础训练：1、如果质点A按规律S=2t3运动，则在 t=2秒时的瞬时速度为 ( ) (A) 6 (B) 8 (C) 16 (D)24 2(2008全国卷文) 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）A30B45C60D1203(2007海南、宁夏文)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）4（2005湖北文科）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）A3 B2 C1 D02BCAyx1O345612345.（2005重庆理科）曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为= 6（2008北京理）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 ； （用数字作答）7经过原点且与曲线y=lnx相切的直线的方程是_8. (2008江苏)直线是曲线的一条切线，则实数b _ 9（1977福建理科）求函数的导数。（只理科做）10、(2008海南、宁夏文)设函数，曲线在点处的切线方程为。 （1）求的解析式； （2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。第02讲： 导数在研究函数中的应用高考考试大纲的要求： 了解函数单调性和导数的关系:能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间（其中多项式函数一般不超过三次） 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭期间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）（一）基础知识回顾：1. 设函数在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内，则在这个区间内单调递增；如果在这个区间内，则是这个区间内单调递减.2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数； （2）解方程；（3）使不等式成立的区间就是递增区间，使成立的区间就是递减区间。3. 求函数的极值的方法：（1）求导数；（2）求方程的根（临界点）；（3）如果在根附近的左侧_0，右侧_0，那么是的极大值；如果在根附近的左侧_0，右侧_0，那么是的极小值4在区间 上求函数 的最大值与最小值 的步骤：（1）求函数 在内的导数 ； （2）求函数 在内的极值 ；（3）将函数在内的各极值与端点处的函数值作比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值5有关最值的几个结论: (1) 闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值;(2) 若函数()单调递增,则最小值是_,最大值是_. （二）例题分析：例1（2001江西、山西、天津卷文科）已知函数在点x=1处有极小值-1试确定a、b的值并求出f（x）的单调区间 例2（2007全国文）设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值. ()求a、b的值; （）若对于任意的x都有f (x)c2成立，求c的取值范围.（三）基础训练：1(2008广东文)设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）A B. C. D. 2(2008福建文)如果函数的图像如右图,那么导函数的图像可能是（ ）3（2004全国卷理科）函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ ）（A）(，)（B）(，2)（C）(，)（D）(2，3)4( 2007广东文)函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是 5（2007江苏）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为， 则.6.（2008北京文）已知函数是奇函数. （）求a,c的值； （）求函数f(x)的单调区间.7（2004浙江文）已知a为实数，（）求导数；（）若，求在-2，2 上的最大值和最小值；（）若在（-，-2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围。8（2005全国卷II文科）设为实数，函数（I）求的极值；（II）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点第03讲： 导数的实际应用高考考试大纲的要求：（1）生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。（2）（理科要求）定积分与微积分基本定理 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 了解微积分基本定理的含义（一）基础知识回顾：1.结论：若函数f(x)在区间A上有唯一一个极值点，且是这个函数的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f(x)在区间A上的最大（小）值。2.定积分的几何意义：表示由直线_,_,_和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。3微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）：如果f(x)是区间a,b上的连续函数，并且，那么。常常把记作。（二）例题分析：例1(2008海南、宁夏理)由直线，x=2，曲线及x轴所围图形的面积是（ ）A. B. C. D. （仅理科做）例2.（2007重庆文）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？例3.（2007湖北文）某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.()将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;()如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？例4(本人原创参加市命题比赛试题) 已知直线与曲线相切于一点P，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则当三角形AOB的面积最大时，求切点P的坐标和直线的方程，并求出三角形AOB面积的最大值（三）基础训练：1.由三条曲线围成的封闭图形的面积是_.(理)2（2000江西、天津理科）右图中阴影部分的面积是（ ）(理) （A） （B） （C） （D）3. 由定积分的几何意义可知=_.(理)4.(2008山东理)设函数f(x)=ax2+c(a0).若，0x01,则x0的值为_.(理)5（2004春招安徽文科）某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系 .问该商品零售价定为多少时毛利润L最大，并求出最大毛利润。（毛利润=销售收入进货支出）。O5（2006江苏）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？O17(2008江苏)某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km（）按下列要求写出函数关系式： 设BAO=(rad)，将表示成的函数关系式； 设OP(km) ，将表示成x的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短第04讲： 导数的综合应用1.（2008安徽文）设函数为实数。（）已知函数在处取得极值，求的值； （）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。2.(2008海南、宁夏文)设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。3.（2007全国文）（本小题满分12分）已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1 在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且0x11x20; （2）若z=a+2b,求z的取值范围。4. (2008广东理)设,函数. 试讨论函数的单调性.5( 2007广东文)（本小题满分14分）已知是实数,函数.如果函数在区间-1,1上有零点,求的取值范围. 参考答案第01讲：导数的概念、几何意义及其运算（二）例题分析：例1.解：，所以。例2. D ； 例3。A ； 例4. 解：y=2x+1. 直线l1的方程为y=3x3.设直线l2过曲线y=x2+x2上 的点B（b, b2+b2）,则l2的方程为y=(2b+1)xb22因为l1l2，则有2b+1= 所以直线l2的方程为（II）解方程组 得, 所以直线l1和l2的交点的坐标为l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、.所以所求三角形的面积 （三）基础训练：1、D ； 2B； 3； 4D ； 5。 ；6。 2 ， -2 ；7。； 8。 ln2-1 9解：10解：（）方程可化为 当时，又，于是, 解得 故（）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为， 即令得，从而得切线与直线的交点坐标为令得，从而得切线与直线的交点坐标为所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为第02讲： 导数在研究函数中的应用（二）例题分析：例1解：由已知，可得 又 由、联立，可解得 故函数的解析式为 由此得 根据二次函数的性质，当或x1时， 当时， 因此，在区间和上，函数f（x）为增函数；在区间内，函数f（x）为减函数例2解：（），因为函数在及取得极值，则有，即 解得，（）由（）可知，当时，；当时，；当时，所以，当时，取得极大值，又，则当时，的最大值为因为对于任意的，有恒成立，所以， 解得或，因此的取值范围为（三）基础训练：1A ； 2A ； 3B； 4 ；532.6.解：（）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的xR,g(-x)=-g(x),即f(-x)- 2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.所以解得a=0，c2.（）由（）得f(x)=x3+3bx+2. 所以f(x)=3x2+3b(b0).当b0时，由f(x)=0得x=x变化时，f(x)的变化情况如下表：x(-,- )-(-,)(,+)f(x)+0-0+所以，当b0时，函数f (x)在（-，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+）上单调递增.当b0时，f(x)0.所以函数f (x)在（-，+）上单调递增.7解: ()由原式得 ()由 得,此时有.由得或x=-1 , 又 所以f(x)在-2,2上的最大值为最小值为 ()解法一: 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得 即 -2a2. 所以a的取值范围为-2,2. 解法二:令即 由求根公式得: 所以在和上非负. 由题意可知,当x-2或x2时, 0, 从而x1-2, x22, 即 解不等式组得: -2a2. a的取值范围是-2,2.8【解】（1），若，则当变化时，变化情况如下表：100极大值极小值所以的极大值是，极小值是.（2）函数.由此可知取足够大的正数时，有，取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个交点.结合的单调性可知：当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上；当的极小值时，即上时，它的极大值也小于0，与轴仅有一个交点，它在上.所以，当时，曲线与轴仅有一个交点.第03讲： 导数的实际应用（二）例题分析： 例1 D. 例2.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。例3.解：（）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).又由已知条件，24=k22,于是有k=6,所以f(x)= -6x3+126x2-432x+9072,x0,30.()根据（），我们有f(x)= -18x2+252x-432= -18(x-2)(x-12).X0，22（2，12）12（12，30）f(x)-0+0-f(x)斜下剪头极小斜上剪头极大斜下剪头故x=12时，f(x)达到极大值，因为f(0)=9072、f(12)=11264,所以定价为30-12=18元能使一个星期的商品销售利润最大.例4 解：已知曲线方程是，则，设点P的坐标为(t,),则点P处切线的斜率是当t=2时，k=0，过点P（2，0）的切线为y=0,不符合题意，故.当时，曲线在点P处切线的方程是在上面的方程中，令,得; 令，由，得要使切线与轴、轴的正半轴都有交点，需有下列关系式成立 解得所以A、B两点的坐标为A，B(0,)，且所以令，解得 或 （舍去） 因为，当时，当时所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，当时，有最大值此时 ， ，所以，切点坐标为P(),切线的方程为, 即，答：当三角形AOB的面积最大时，切点P的坐标是P()和直线的方程为，这时三角形AOB面积的最大值是（三）基础训练：1._1_； 2 C； 3. _2_；4. _；55解：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位：m2）帐篷的体积为（单位：m3）求导数，得令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2.当1x2时，,V(x)为增函数；当2x4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答当OO1为2m时，帐篷的体积最大。7解：（）由条件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，则, 故，又OP1010ta，所以， 所求函数关系式为若OP=(km) ，则OQ10，所以OA =OB=所求函数关系式为（）选择函数模型，令0 得sin ，因为，所以=，当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边km处。第04讲： 导数的综合应用1.解: (1) ，由于函数在时取得极值，所以 即 (2) 方法一：由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 设 , 则对任意，为单调递增函数 所以对任意，恒成立的充分必要条件是 即 ， 于是的取值范围是 方法二：由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 于是对任意都成立，即 于是的取值范围是2解：（）方程可