黑龙江实验中学高二数学期中

黑龙江省实验中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1. 抛物线y=-x2的准线方程是（）A. B. C. D. 2. 相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是（）A. 双曲线的一支B. 双曲线C. 椭圆D. 抛物线3. 若直线mx+2y+m=0与直线3mx+（m-1）y+7=0平行，则m的值为（）A. 7B. 0或7C. 0D. 44. 已知双曲线=1的焦点在x轴上，若焦距为4，则a=（）A. B. 7C. D. 5. 设变量x，y满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D. 16. 半径长为6的圆与y轴相切，且与圆（x-3）2+y2=1内切，则此圆的方程为（）A. B. C. D. 7. 嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为（）A. B. C. D. 8. 已知抛物线C：y2=4x的焦点F和准线l，过点F的直线交l于点A，与抛物线的一个交点为B，且，则|AB|=（）A. B. C. D. 9. 设点F和直线l分别是双曲线的一个焦点和一条渐近线，若F关于直线l的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. 2B. C. D. 10. 已知实数x，y满足约束条件，若目标函数z=2x-y的最大值为5，则a的值为（）A. B. C. 1D. 211. 已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B为切点，若四边形PACB面积的最小值是2，则k的值是（）A. B. C. 2D. 12. 已知椭圆+=1（ab0）短轴的两个端点为A、B，点C为椭圆上异于A、B的一点，直线AC与直线BC的斜率之积为-，则椭圆的离心率为( ).A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题）13. 直线x+y-1=0的倾斜角为，则cos=_14. 顶点在坐标原点，焦点为F（0，1）的抛物线上有一动点A，定点M（-1，4），则|AM|+|AF|的最小值为_15. 过点P（1，2）与双曲线C：2x2-y2=2有且只有一个公共点的直线共_条16. 斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点M（1，1）平分，则=_三、解答题（本大题共6小题）17. 已知圆C：x2+y2-2x-4y=0（）求圆C关于直线x-y-1=0对称的圆D的标准方程；（）过点P（4，-4）的直线l被圆C截得的弦长为8，求直线l的方程18. 已知点F为抛物线C：x2=2py（P0）的焦点，点A（m，3）在抛物线C上，且|AF|=5，若点P是抛物线C上的一个动点，设点P到直线x-2y-6=0的距离为d（）求抛物线C的方程；（）求d的最小值19. 已知F1，F2分别是双曲线E：（a0，b0）的左、右焦点，P是双曲线上一点，F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当F1PF2=60时，PF1F2的面积为，求此双曲线的方程20. 设椭圆的右顶点为A，上顶点为B已知椭圆的离心率为，（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l：ykx(k0)与椭圆交于M，N两点，且点M在第二象限l与AB延长线交于点P，若BNP的面积是BMN面积的3倍，求k的值21. 已知F为抛物线C：y2=2px（P0）的焦点，过F垂直于x轴的直线被C截得的弦的长度为4（）求抛物线C的方程（）过点（m，0），且斜率为1的直线被抛物线C截得的弦为AB，若点F在以AB为直径的圆内，求m的取值范围22. 已知椭圆的左、右焦点为别为F1、F2，且过点和（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A为椭圆上一位于x轴上方的动点，AF2的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C，求ABC面积的最大值，并写出取到最大值时直线BC的方程答案和解析1.【答案】B【解析】解：，x2=-8y，其准线方程是y=2故选：B先把抛物线转换为标准方程x2=-8y，然后再求其准线方程本题考查抛物线的基本性质，解题时要认真审题，仔细求解2.【答案】B【解析】解：由已知可得：|PA|-|PB|=2k4k=|AB|，根据双曲线的定义可知：点P在以A，B为焦点，实轴长为2k米的双曲线上则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线故选：B由已知可得：|PA|-|PB|=2k4k=|AB|，根据双曲线的定义可判断出答案本题考查双曲线的定义，考查运算能力和推理能力，属于基础题3.【答案】B【解析】解：直线mx+2y+m=0与直线3mx+（m-1）y+7=0平行，m（m-1）=3m2，m=0或7，经检验都符合题意故选：B由m（m-1）=3m2，求出m值，再进行检验即可本题考查两直线平行的性质，两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比4.【答案】C【解析】解：双曲线=1的焦点在x轴上，可得a-30，2-a0，即a3，即有双曲线的方程为-=1，由焦距为4，可得a-3+a-2=4，解得a=，故选：C由题意可得a-30，2-a0，即a3，写出双曲线的标准方程，由题意可得a-3+a-2=4，即可得到所求值本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题5.【答案】B【解析】解：作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图：则的几何意义是区域内的点到定点D（4，-1）的斜率，由得A（3，3），则AD的斜率k=-4，则的最小值为：-4故选：B作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合进行求解即可本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，属于基础题6.【答案】D【解析】解：圆（x-3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为1，所求圆的半径为6，且两圆相内切，则圆心距离d=6-1=5，半径长为6的圆与y轴相切，且与圆（x-3）2+y2=1内切，圆心在y轴的右侧，设圆的圆心为（6，b），则=5，即b2=25-9=16，则b=4或b=-4，即圆的方程为（x-6）2+（y4）2=36，故选：D根据圆与y轴相切以及两圆相内切的条件，建立方程关系进行求解即可本题主要考查圆的方程的求解，结合圆与圆的相切关系，建立方程是解决本题的关键难度中等7.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查利用椭圆的性质列出方程组，求出a，c然后求解椭圆的离心率即可【解答】解：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，月球半径为R，则a+c=400+1738 且a-c=1738+100，解得a=1988，c=150，所以e=，故选B8.【答案】C【解析】解：已知抛物线C：y2=4x，所以DF=2，如图，所以AF：FB=3：1，又DF：BC=AF：AB，所以2：BC=3：4，得BC=BF，所以AB=4BF=，故选：C画出图象，根据抛物线的性质求出BC=，又AB=4BF，求出AB考查了抛物线的性质，焦点弦问题，基础题9.【答案】C【解析】解：如图取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，F关于直线l的对称点设为P，连接PE，直线l与线段PF的交点为A，因为点P与F关于直线l对称，则lPF，且A为PF的中点，所以|AF|=b，|OA|=a，|PE|=2|AO|=2a，根据双曲线的定义，有|PF|-|PE|=2a，则2b-2a=2a，即b=2a，所以e=，故选：C取双曲线的左焦点为E，设右焦点为F，l为渐近线，l与渐近线的交点为A，F关于直线l的对称点设为P，连接PE，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题10.【答案】B【解析】解：作出不等式对应的平面区域如图，A（2a+2，a）由z=2x-y，得y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z，经过点A时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大为5，即2x-y=5，2（2a+2）-a=5，得a=，故选：B作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义11.【答案】C【解析】解：圆的方程为：x2+（y-1）2=1，圆心C（0，1），半径r=1根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小切线长为2，PA=PB=2，圆心到直线l的距离为d=直线方程为y+4=kx，即kx-y-4=0，=，解得k=2，k0，所求直线的斜率为：2故选：C由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可本题的考点是直线与圆的位置关系，主要涉及了构造四边形及其面积的求法，解题的关键是“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”属于中档题12.【答案】A【解析】解答解：由题意可得A（0，b），B（0，-b），设C（x0，y0），由C在椭圆上可得+=1，即有=，由直线AC与BC的斜率之积为-，可得=-，即为=4（-），由代入可得=4，即a=2b，c=a，可得离心率e=故选：A分析由题意可得A（0，b），B（0，-b），设C（x0，y0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，由题意可得a，b的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，考查运算能力，属中档题13.【答案】【解析】解：直线x+y-1=0的斜率为-1，则tan=-1，又0，则cos故答案为：由直线方程求得直线的斜率，进一步求出倾斜角，则答案可求本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，训练了三角函数值的求法，是基础题14.【答案】4【解析】解：设点A到准线的距离为|AE|，由定义知|AF|=|AE|，故|AM|+|AF|=|AF|+|AM|ME|MN|=4+1=5（M到准线的垂足设为N）取等号时，M，A，E三点共线，|AM|+|AF|的最小值等于5故答案为：5本题若建立目标函数来求|AF|+|AM|的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，则问题不难解决由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换15.【答案】4【解析】解：双曲线C：2x2-y2=2；即x2-=1a=1，b=当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=1，满足题意；因为a=1，b=，所以双曲线的渐近线方程为y=x，则过P分别作出两条与渐近线平行的直线即与双曲线只有一个交点；过点P还可以作一条与左支相切的直线，故满足条件的直线共有4条故答案为：4分为三类考虑：直线的斜率不存在；与渐近线平行的直线；与左支相切，即可得到结论本题考查了直线与双曲线有一个公共点的情况，做题时极容易丢平行渐近线的情况，做题时一定要细心16.【答案】5【解析】解：解：设弦的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），可得，相减可得，弦恰被点M（1，1）平分，直线l斜率为，a2=3b2，又a2=b2+c2，c2=2b2故答案为：5设弦的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），代入椭圆的方程，作差变形，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及双曲线的离心率公式，即可得到所求值本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查点差法的运用，以及化简运算求解能力，属于中档题17.【答案】解：（1）化圆C：x2+y2-2x-4y=0为（x-1）2+（y-2）2=5，可得圆心坐标为C（1，2），半径r=，设C（1，2）关于直线x-y-1=0的对称点为D（x0，y0），则，解得，D（3，0）则圆D：（x-3）2+y2=5；（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=4，与圆相离，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为y+4=k（x-4），即kx-y-4k-4=0圆心C（1，2）到直线的距离d=，由，解得k过点P（4，-4）被圆C截得的弦长为8的直线l不存在【解析】（1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求圆心C关于直线的对称点，则圆D的方程可求；（2）由直线与圆相离，可知满足条件的直线l不存在本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题18.【答案】解：（1）由抛物线的定义得，|AF|=3+=5解得p=4，所以抛物线C的方程为x2=8y（2）设直线x-2y-6=0的平行线：x-2y+c=0，=16+16c=0c=-1所求d=【解析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；（2）联立直线与抛物线方程，点P到直线x-2y-6=0的距离为d1，转化求解d1的最小值；本题开学直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力19.【答案】解：（1）因为双曲线的渐近线方程为bxay=0，F2坐标为,则点F2到渐近线距离为，所以c+a=2b又因为a2+b2=c2，解得，故所求双曲线的渐近线方程是4x3y=0（2）因为F1PF2=60，由余弦定理得，即又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a，平方得，相减得根据三角形的面积公式得，得b2=48再由上小题结论得，故所求双曲线方程是【解析】本题考查双曲线方程的求法以及双曲线的简单性质余弦定理三角形的面积公式，属于中档题（1）根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离即可求出a和b的关系，问题得以解决，（2）根据余弦定理和三角形的面积公式以及双曲线的定义可得b2=48，问题得以解决20.【答案】解：（）设椭圆的焦距为2c，由已知得，a2+b2=13，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，所以，椭圆的方程为（3分）（II）设点P（x0，y0），M（x1，y1），（x0x10）则N（-x1，-y1）BPN的面积是BMN面积的3倍，|PN|=2|MN|，即，从而-x1-x0=3（-x1-x1），x0=5x1，易知直线AB的方程为：2x+3y=6由消去y，可得x（7分）由方程组消去y，可得x（9分）由x0=5x1，可得，（10分）整理得18k2+25k+8=0，解得k=-或k=-（12分）当k=-时，x0=-90，符合题意；当k=-时，x0=120，不符合题意，舍去所以，k的值为-（14分）【解析】（）设椭圆的焦距为2c，由已知可得，a2+b2=13，又a2=b2+c2，解得a=3，b=2，即可（）设点P（x1，y1），M（x2，y2），（x2x10）则Q（-x1，-y1）由BNP的面积是BMN面积的3倍，可得x2-x1=2x1-（-x1），x2=5x1，联立方程求出由x1x2，可得k本题考查了椭圆的方程、几何性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于