3.3三维转动群的覆盖群.ppt

1,3.3三维转动群的覆盖群SU(2),一、二维幺模幺正矩阵群SU(2),1.群元素对于群中任意元素u，它的矩阵元素满足,二维幺模幺正矩阵（detR=1,R+R=RR+=1）的集合，按照普通矩阵的乘法，满足群的四个条件，构成群，记作SU(2)群,2,将复数c，d用4个实数表示出来，取,则4个实数中只有3个是独立的,为了下面方便讨论，我们用实矢量的球坐标,来代替上面实参数hi（3个独立的量）,3,其中，的长度是,方向沿n(,)方向,其中引入矢量代表3个泡利矩阵：无迹，幺正，厄米,矢量满足所有矢量的代数关系，如矢量点乘,4,由上面式子可以证明,SO(3)群,二、群空间,与SO(3)相比较，矢量的变化范围即为群空间：,半径为2的球体球内的点与SU(2)群元素u间有一一对应的关系外部球面上的点对应同一个元素（-1）,特点,SU(2)群的群空间是连通的；群中任一元素u都可以由恒元出发，在群空间连续变化得到简单李群,5,连通度单连通,SO(3)群空间：只有直径两端的点对应同一元素（连线按跳跃次数的奇，偶分两组，双连通）,SU(2)群空间：外球表面对应同一个元素（球面上的跳跃可以看成一条连续曲线，可通过曲线在群空间的连续变化，消去跳跃，因此只有一组连线，单连通）,SU(2)群是紧致李群（群空间是欧氏空间的闭空间）,相同的元素u(n,)互相共轭，构成一类,三、SO(3)与SU(2)同态关系,1.无迹厄米矩阵X,泡利矩阵：无迹，厄米，幺正泡利矩阵的实线性组合，仍是无迹，厄米矩阵,6,反之，任何二维无迹、厄米矩阵X，若只包含三个独立实参数，则可展开为泡利矩阵的实线性组合,现取：组合系数为三维空间任一点P的三个直角坐标，即,无迹矩阵与P点位置坐标r有一一对应关系，可验证,2.同态关系的建立,设uSU(2)，是任意一个二维幺模幺正矩阵，X经过u-1的相似变换仍是一个无迹厄米矩阵,7,且有相同的行列式detX=detX,无迹矩阵X与r，则X与r一一对应关系，即X对应空间另一点P,r的分量可以表示为r的分量的线性齐次函数,因此RO(3),显然u取恒元时，X=uXu-1相当于无变换，则r与r重合，即R是恒元,8,u可以由恒元在SU(2)群空间连续变化得到，对应R也可由恒元在O(3)群群空间连续变化得到（但只能是在有恒元的一个连续片内），即RSO(3),将XX，对应点变化PP，位置矢量rr的变换RSO(3),反之，若RSO(3),它将rr,对应点变化PP，则XX；因为X是无迹厄米矩阵，且detX=detX，所以X与X必将通过幺模幺正相似变换uSU(2)相联系，即前面的X=uXu-1，但这样的矩阵不唯一,设,（u2-1u1）可于任意矩阵X对易，则它必为常数矩阵，即,9,u2、u1为幺模矩阵：,各相似变换之间差一个+1因此，即所有相似变换矩阵为+u,_,_,将X、X按泡利矩阵展开式代入它们的相似变换，则,给出了SO(3)群一个元素R与SU(2)群一对元素+u间的对应关系,_,容易证明：这种对应关系对群元素乘积保持不变，即SO(3)SU(2),将u(n,)具体表达式代入，通过直接计算可得R矩阵（正是前面给出的形式）,10,说明,群元素对应关系,至此：SO(3)群空间：半径为的球体SU(2)：2,半径为的球体内，SO(3)与SU(2)元素一一对应SU(2)：2间圆环所对应元素，等于半径为的球体内相应元素的负值,这一对+u对应SO(3)群同一元素,_,11,群SO(3)双连通，SU(2)单连通，则SU(2)是SO(3)的覆盖群，同态对应关系2：1,SO(3)群的真实表示，称为单值表示，却不是SU(2)群的真实表示；（D(SO3)SO3SU2）SU(2)群的真实表示，严格说来不是SO(3)的表示，通常称为SO(3)群的双值表示，在物理上与自旋密切相关,只要找到了SU(2)群的全部不等价不可约表示，也就找到了SO(3)群的全部不等价不可约单值表示和双值表示,四、群上的积分,1.积分概念,有限群中群函数对群元素取平均值，推广到李群，变成群函数对群元素的积分，即对群参数的带权积分,12,权函数,权函数：1）群空间中，群元素R对应点的邻域dr体积内，元素的相对密度2）要求权函数(R)单值，可积，不小于零，不发散，在群空间任何一个测度不为零的区域内不恒为零3）要求权函数在整个群空间积分是归一化的,F(R)0,但不恒等于零,群函数在群空间对群参数的这种积分，称为群上的积分,13,2.群上积分的特点,显然是线性运算,希望选择权函数W(R)，使群上的积分对左乘、右乘群元素都保持不变,即(dr)W(R)不依赖与群元素R,以为参数计算SU(2)群群上积分的积分元结果,SO(3)群径向参数变化范围缩小一半,对类积分，可将角度积掉,14,3.紧致李群的表示理论,线性表示等价于幺正表示；两个等价的幺正表示可通过幺正的相似变换相联系,实线性表示等价于实正交表示；两个等价的实正交表示可通过实正交的相似变换相联系,可约表示一定是完全可约的；不可约表示的充要条件：找不到非常数矩阵与所有表示矩阵对易，即,不等价不可约幺正表示矩阵元、特征标满足正交关系,15,任何表示都可按不可约表示展开,对特征标的积分，可化为类上的积分，如SU(2)群：,表示等价的充要条件：每个元素在两个表示中的特征标对应相等,表示不可约的充要条件：,16,对SU(2)群，不等价不可约表示特征标的正交关