四库全书基本概念系列文库：缀术

四库全书基本概念系列文库 缀术缀术 华夏文明是人类最伟大的文明，没有之一！ 四库全书，在中华文化中占有重要地位。 本文提供对四库全书基本概念 “缀术” 的解读，以供大家了解。 缀术缀术 五卷。 南北朝祖冲之(429500)撰。 祖冲之，字文远，范阳遒(今河北省涞水县北)人，生活 于南朝的宋齐之间。 461年任南徐州从事史，后回建康任公府参军，464年 出任娄县令，晚年提升为长水校尉。 祖冲之在天文历算、机械制造方面多有成就，462年编 大明历呈送朝廷，还曾制造指南车，欹器，千里 船，水碓磨等机械。 在数学方面他曾研究过九章算术和刘徽注，并为 九章与刘徽重差作注，并自着缀术一 书。 缀术曾于唐初立于学官，是“十部算经”之一，可 惜至北宋元丰年间已经失传。 现只能根据史料记载对其作些介绍。 隋书卷十六称：“又设开差幂、开差立，兼以正圆 参之，指要精密，算之最者也。 所着之书，名为缀术，学官莫能究其深奥，是故 废而不理。” 可知缀术内容深奥难懂，受到冷遇。 当代中算史家钱宝琮认为：“祖冲之钻研了九章算 术刘徽注之后，认为数学还应该有所发展，他写成 了数十篇专题论文，附缀于刘徽注的后面，叫它缀 述。 也就是他的九章注。 他在三十三岁以前，对于圆周率和球体积已有深入的 研究，这些无疑是缀述的重要部分。” (中国数学史)据隋书律历志论备数节记 载：“古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。 自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒各设新率， 未臻折衷。 宋末，南徐州从事史祖冲之更开密法。 从圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘 九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒 六忽，正数在盈朒二限之间。 密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。 约率：圆径七，周二十二。” 祖冲之用“盈朒二限”来限定一个尚未完全知道的数值 的范围，这是一种创见。 他的圆周率盈朒二限平均值314159265，已准确到小 数第八位，是当时世界上最好的结果。 由于缀术失传，人们无法得知祖冲之求圆周率的 方法，只能进行推测。 祖冲之的圆周率得到广泛应用，隋书律历志上记 载了561年后周以此率计算玉升的容积：“(玉斗)内径七 寸一分，深二寸八分今若以数计之，玉升积玉尺 一百一十寸八分有，斛积一千一百八寸五分七厘三毫 九秒。” 由圆柱体积反求其所用之圆周率值为3141592938， 这与“密率”31415929相近。 关于球体积的计算，即九章的开立圆术，误差很 大，曾引起张衡注意，刘徽亦深入研究，为后人开辟 了道路。 祖冲之与其子祖暅在刘徽工作的基础上，抓住了关键 性的“牟合方盖”的体积计算，一举解决了球体积的公 式。 他们把注意力从“牟合方盖”转到从立方体内去掉“牟合 方盖”剩余部分方盖差的求积，而方盖差正是由八 个相等的小立体组成。 他们用平行于底面的平面在高h处截小立方体及方盖 差，发现在h处截得的牟合方盖截面积等于等高处方盖 差的截面积，而这一截面积为高度h的平方。 祖氏父子抓住这一特点，设计了一个底边长与高等于 小立方体边长的倒正方锥，则它的平行于底面的截面 积亦有此特点，即小方盖差与倒立正方锥在等高h处的 截面面积总成对相等，对此祖暅提出了“幂势既同，则 积不容异”着名原理。 正方锥体积可求，为同底立方体的三分之一，于是可 得小方盖差体积，进而可求得牟合方盖体积：，(r为其 内切球半径)，再利用刘徽早已求出的球与牟合方盖体 积之间的关系：V球：V牟=：4，可求出：，这是球 体积的正确公式。 唐李淳风注释九章少广章开立圆术时曾引祖氏父 子开立圆术“以二乘积，开立方除之即立圆径。 ”约四百余字，当为缀术之引文。 唐王孝通在上缉古算经表中称赞