第二阶段数学能力备考的几点建议一人教

第二阶段数学能力备考的几点建议一一抓住数学特点，提升数学思想 （一）要充分认识数学学科特点，紧紧抓住学科特点概念性强 充满思辨性 量化突出 解法多样 （二）要经常总结数学思想和方法，注重提升数学思想函数与方程的思想 数形结合的思想 分类与整合的思想 化归与转化的思想 特殊与一般的思想 有限与无限的思想或然与必然的思想二抓住高考热点，拿分点，进行专题复习 （一）以综合题为核心，围绕高考热点，进行专题复习。1以解答题为例看试题的综合情况2专题复习的选题建议3专题复习举例 专题1. 含参数的不等式问题专题2. 概率综合题专题3数列不等式和点列问题专题4圆锥曲线与平面向量的综合 专题5圆锥曲线与函数，导数的综合专题6导数的综合应用（二）进行拿分点的专门训练：三抓住学生的盲点，重视审题训练和细节训练（一）注意审题是在高考中取得最佳成绩的关键（二）细节决定成败第二阶段数学能力备考的几点建议 首先介绍2006年的考试大纲的几处修订：文 科 数 学1 文科的三角函数部分，将考试内容中的“任意角的三角函数. 单位圆中的三角函数线. 同角三角函数的基本关系式. 正弦、余弦的诱导公式”改为“任意角的三角函数. 单位圆中的三角函数线. 同角三角函数的基本关系式：，. 正弦、余弦的诱导公式”,同时将考试要求中的“（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义. 了解余切、正割、余割的定义. 掌握同角三角函数的基本关系式：，. 掌握正弦、余弦的诱导公式. 了解周期函数与最小正周期的意义”改为“（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义. 了解余切、正割、余割的定义. 掌握同角三角函数的基本关系式. 掌握正弦、余弦的诱导公式. 了解周期函数与最小正周期的意义”.2 文科的三角函数部分，将考试要求中的“（5）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用五点法画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解、的物理意义”改为“（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用五点法画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解、的物理意义”.3 文科的直线和圆的方程部分，将考试要求中的“（6）掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程”改为“（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程”.4 文科的圆锥曲线方程部分，将考试要求中的“（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 理解椭圆的参数方程”改为“（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 了解椭圆的参数方程”.理科数学1. 理科的三角函数部分，将考试要求中的“（5）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用五点法画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解、的物理意义”改为“（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用五点法画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解、的物理意义”.2. 理科的圆锥曲线方程部分，将考试要求中的“（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 理解椭圆的参数方程”改为“（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 了解椭圆的参数方程”.3 理科的极限部分，将考试要求中的“（4）了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质”改为“（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质”.2006年的考试大纲与2005年相比，除了有几处对“理解”和“了解”的层次作了调整之外，没有其他变化，这就意味着2006年的试卷也不会有大的变化，所以2006年的试卷将会有以下的特点： 1命题重点：强化主干知识，从学科整体意义上设计试题，强调知识之间的交叉，渗透和综合； 2命题思想：淡化特殊技巧，强调数学思想和方法，对数学思想方法的考查是考查考生能力的必由之路； 3命题原则：深化能力立意，突出考查能力与素质，对知识的考查侧重于理解和应用，在考查中，以思维能力为重点，对思维能力的考查贯穿全卷； 4命题导向：坚持数学应用，考查应用意识，应用题是对考生“综合实力”的考查，应用题要“贴近生活，背景公平，控制难度”；开放探索，考查探究精神，开拓展现创新意识的空间， 5命题特色：体现要求层次，控制试题难度，在强调综合性的同时，重视试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度，多层次的考查，试题的命制注意“立意鲜明，背景新颖，设问灵活，层次清晰”，“新题不难，难题不怪”； 6命题调整：自主命题的省市，会针对2004年和2005年的情况，进行合理地调整。 一抓住数学特点，提升数学思想 （一）要充分认识数学学科特点，紧紧抓住学科特点 教育部考试中心对全国高考数学考试大纲的说明中指出：“数学的研究对象和特点体现在数学考试中就形成数学考试的学科特点。” 数学考试的学科特点包括以下四个方面： 1概念性强：数学是由概念，命题组成的逻辑系统。而概念是基础，是使整个体系连结成一体的结点。这个特点反映到考试中就要求考生在解题时首先要透彻理解概念的含义，弄清不同概念之间的区别和联系，切忌将数学语言和日常用语混为一谈，更不应该出现“望文生义”之类的错误。 2充满思辨性：这个特点源于数学的抽象性，系统性和逻辑性，数学不是知识性的学科，而是思维型的学科。因此，数学试题靠机械记忆，只凭直觉和印象就可以作答的很少，为了正确解答，就要求考生具备一定的观察，分析和推断能力。 3量化突出：数量关系是数学领域研究的一个重要方面，也是数学测试不可缺少的内容，因此，数学试题中定量性占有较大比重，试题中的定量要求一般不是简单，机械的计算，而是把概念，法则，性质寓于计算之中。在运算过程中考查考生对算理，运算法则的理解程度，灵活运用的能力及准确严谨的科学态度。 4解法多样：一般数学试题的结果虽确定唯一，但解法却多种多样，有利于考生发挥各自的特点，灵活解答，真正显现其水平。 数学考试的学科特点是命题的基础，在高考复习的过程中，要紧紧抓住不放。 （二）要经常总结数学思想方法，提升数学思想 高考对数学思想的考查是与数学知识的考查结合进行的。是通过对数学知识的考查来反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度。对数学思想方法的考查是考查考生能力的必由之路。 教育部考试中心对全国高考数学考试大纲的说明中指出：“数学思想方法属方法范畴，但更多地带有思想，观点的属性，属于较高层次的提炼和概括。” 数学基本方法包括：待定系数法，换元法，配方法，割补法，反证法等； 数学逻辑方法（或思维方法）包括：分析与综合。归纳与演绎，比较与类比，具体与抽象等； 数学思想包括：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想。有限与无限的思想，或然与必然的思想等。 在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，有意识地在复习中渗透数学思想，提升数学思想。 1函数与方程的思想： 考试中心对考试大纲的说明中指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。”什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系,在解题时，用函数思想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程,研究方程的根有什么要求.著名数学家克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考”一个学生仅仅学习了函数的知识，他在解决问题时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一些问题建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函数思想是中学数学，特别是高中数学的主线，函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数,尤其是导数的引入为函数的研究增添了新的工具因此，在数学教学中注重函数思想是相当重要的对函数和方程思想的考查,主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题,在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题:是否需要把一个代数式看成一个函数?是否需要把字母看作变量？如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质？如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题？是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程？如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？ 【例1】(2005年，江西卷，理21)已知数列各项都是正数,且满足（）证明（）求数列的通项公式an.这是一个以递推公式为背景的数列不等式，但是把递推公式看作一个函数，就可以获得一个很简单的解法。 【分析及解】（）方法一:把看作一个函数由此启发得 于是 又因为所以 ,由以上有方法二：用数学归纳法证明：1当n=1时，； 2假设n = k时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有：即也即当n=k+1时 成立，所以对一切. （）下面来求数列的通项：方法一: 所以, 又b0=1，所以方法二：由已知的递推式，有,即 ,设 由（）有于是两边取常用对数,得 构造等比数列，为此设，用待定系数法可得。这是方程思想的作用。则是以为首项,为公比的等比数列., 【例2】(2004年，全国卷，理21)给定抛物线,是的焦点,过点的直线与相交于两点.（）设的斜率为1,求与的夹角的大小;（）设,若,求在轴上的截距的变化范围.【分析及解】 （）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为将代入方程，并整理得 设则有 所以夹角的大小为 （）由题设 得 即 由得， 联立、解得，依题意有又F（1，0），得直线l方程为 当时，l在方程y轴上的截距为把看作函数，设 可知在4，9上是递减的，（或用导数，证明是减函数。） 直线l在y轴上截距的变化范围为【例3】(2005年，山东卷，理19)已知是函数的一个极值点，其中，（）求与的关系式； （）求的单调区间；（）当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围. 【分析及解】 ()因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减故当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即 设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，而式恒成立等价于所以解之得又所以即的取值范围为【例4】（2001年，全国卷）已知是正整数，且1() 证明 ；() 证明 【分析及解】重点研究第()问. , 构造函数,只要证明为减函数就可以了. 由 , 则为减函数,由可得 因而 , 于是, 成立.2. 数形结合的思想数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过:“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微.”.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由形到数的转化为主。”【例1】（2005年，辽宁卷，10）已知是定义在上的单调函数，实数，若，则（ ）。（A） （B） （C） （D）【分析及解】如果采用代数运算，则无所适从，如果画出单调函数的示意图象，由可断定横坐标为的点，至少有一个在横坐标为的点的外部，因而，应选（A）. 【例2】（2005年, 辽宁卷，12)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）（A） (B) (C) (D)【分析及解】这是一道函数,数列,函数图象综合在一起的选择题,需要通过数列的性质研究函数图象的特征.实际上,只要设,则有且,并对所有都成立,因此选(A).【例3】 (2005年，江苏卷，5)ABC中，则ABC的周长为( ).（A） （B）（C） （D）【分析及解】本题大部分考生都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长到,使,则 ,由正弦定理,即,由此,选(C).【例4】(2005年，上海卷)设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）(A) 且 ( B)且 (C)且 (D)且【分析及解】画出函数的图像,该图像关于对称,且,令,若有7个不同实数解,则方程有2个不同实数解,且为一正根,一零根.因此, 且,故选(C).【例5】(2005年，湖南卷，理15)设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f (x)在a，b上的面积，已知函数ysinnx在0，上的面积为（nN*），（i）ysin3x在0,上的面积为；（ii）ysin（3 x）1在，上的面积为 . 【分析及解】本题给出了ysinnx在0，上的面积为,需要由此类比ysin3x在0,上的面积及ysin（3x）1在，上的面积,这需要寻求相似性,其思维的依据就是已知条件给出的面积的定义和已知函数的面积,因此要研究这个已知条件,要注意已知条件所给出的是半个周期的面积,而第(1)问则是时一个周期的面积,第(2)问又是ysin3x经过平移和翻转后一个半周期的面积,画出ysin（3 x）1在，上图像,就可以容易地得出答案.3. 分类与整合的思想在解题时,我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是“分”，但分类解决问题问题之后，还必须把它们总合在一起，这种“合分合”的解决问题的过程，就是分类与整合的思想方法分类与整合的思想是以概念的划分，集合的分类为基础的思想方法，对分类与整合的思想的考查,有以下几个方面。一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类？例如（1）有些概念就是分类定义的，如绝对值的概念，又如整数分为奇数、偶数，把三角形分为锐角三角形,直角三角形,钝角三角形等等；（2）有的运算法则和定理,公式是分类给出的，例如等比数列的求和公式就分为和两种情况;对数函数的单调性就分为，两种情况;求一元二次不等式的解又分为及共六种情况;直线方程分为斜率存在与不存在等等；（3）图形位置的相对变化也会引起分类，例如两点在同一平面的同侧,异侧,二次函数图像的对称轴相对于定义域的不同位置等；（4）对于一些题目如排列组合的计数问题,概率问题又要按题目的特殊要求，分成若干情况研究；（5）整数的同余类，如把整数分成奇数和偶数等。二是如何分类，即要会科学地分类，分类要标准统一，不重不漏；三是分类之后如何研究；四是如何整合.【例1】(2005年，福建卷,理9)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）(A) 300种(B) 240种(C) 144种(D) 96种 【分析及解】 本题的关键问题是甲、乙两人不去巴黎游览这一要求,因此,就要针对甲,乙是否被挑选上,甲,乙去何处游览进行研究. 对甲,乙是否被挑选上可分为4类.(1) 有甲有乙：这时有种；(2) 有甲无乙：这时有种；(3) 无甲有乙：这时有种；(4) 无甲无乙：这时有种 由以上，不同的选择方案共有种，因此选（B）.【例2】 (2005年，江西卷，理17)已知函数为常数),且方程有两个实根为,.() 求函数的解析式;() 设，解关于的不等式：.【分析及解】()将,代入方程得 解得 ()不等式可化为, 进而有.这等价于解到这里就要针对与的大小关系进行分类:(1) 当时,解集为;(2) 当时, 解集为【例3】(2005年，浙江卷，文20)已知函数和的图象关于原点对称,且.（）求函数的解析式;（）解不等式;（）若在上是增函数,求实数的取值范围.(3) 当时, 解集为.【分析及解】本题是浙江文科卷的压轴题，主要考查函数图象的对称，二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，分类讨论的数学思想以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。（）是用函数图象的对称求解函数的问题.容易求出.（）由于涉及到含有绝对值符号,所以要用分类讨论思想求解.不等式 化为 需要对和分类:当时, 不等式为 ,此不等式无解;当时, 不等式为 , 解得.于是解集为.（）为求实数的取值范围,就要对的取值分类.(1) 当时, ,此时在上是增函数,(2) 当时,对称轴方程为 . 当时,需满足,解得; 当时, ,解得.综合(1),(2),.【例4】(2005年，天津卷，理, 18)已知.（）当时，求数列的前项和；（）求.【分析及解】 () 当时,利用错位相减法,可得二式相减得这时,就要对分类:若,则即;若,则 . ()为求,就首先要分和对求和.(1) 当时,则 =.(2) 当时,可以求得.此时,为求,又要进行第二级分类. 当时, ; 当时, =【例5】(2005年，广东卷20)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合.将矩形折叠，使A点落在线段DC上. （）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程； （）求折痕的长的最大值. 【分析及解】设点A关于折痕的对称点E，由于点E在线段DC上，故可设点E的坐标为（t，1）（）由于的取值不同，就要对分类。（）若，则“折痕”所在的直线为线段AD的中垂线，它的方程为；若，由，则，从而线段AE的中点M的坐标为，故“折痕”所在直线的方程为综上所述，“折痕”所在直线的方程为（）设“折痕”的长为注意几个特殊的值：“折痕”过AD的中点时，当“折痕”过点B时，折痕”过点D时，“折痕”过AC的中点时， ，由于有，所以在求折痕的长的最大值时，要对分为三类：（1）；（2）；（3）进行讨论。（1） 当“折痕”过AD的中点时，；当“折痕”过点B时（如图4），求得所（2） 以，当时，“折痕”与y轴及均有交点，分别求得为、此时，由于l是关于k的函数，它在上是减函数，所以，当时，（2）当“折痕”过点D时，所以，当时，“折痕”与y轴及轴均有交点，分别求得