2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学（理）试题

页 1 第 武昌区 2020 届高三年级元月调研考试 理科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1已知集合02| 2 xxxA ，2|axaxB，若01|xxBA，则BA A)2 , 1( B. )2 , 0( C) 1 , 2( D)2 , 2( 2已知复数z满足i i z z ，则z在复平面内对应的点位于 A第一象限 B. 第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 n a是各项均为正数的等比数列，1 1 a，32 23 aa，则 n a A 2 3 n B. 1 3 n C 1 2 n D 2 2 n 4已知2 . 0log 1 . 0 a，2 . 0log 1 . 1 b， 2 . 0 1 . 1c，则a，b，c的大小关系为 Acba Bbca Cabc Dbac 5等腰直角三角形ABC中， 2 ACB，2 BCAC，点P是斜边AB上一点，且PABP2，那么 CBCPCACP A4 B. 2 C2 D4 6某学校成立了 A、B、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中 任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意 4 位学生中，恰有 2 人申请 A 学习小组的概率是 A 64 3 B. 32 3 C 27 4 D 27 8 7已知数列 n a的前n项和nnSn 2 1 2 3 2 ，设 1 1 nn n aa b， n T为数列 n b的前n项和.若对任意的 Nn， 不等式39 nTn恒成立，则实数的取值范围为 页 2 第 A B E C D M A1 A)48,( B. )36,( C)16,( D),16( 8已知过抛物线xy4 2 焦点F的直线与抛物线交于点A，B，|2|FBAF ，抛物线的准线l与x轴交 于点C，lAM 于点M，则四边形AMCF的面积为 A 4 25 B. 2 25 C25 D210 9如图，已知平行四边形ABCD中， 60BAD，ADAB2，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE 翻折成DEA1.若M为线段CA1的中点，则在ADE翻折过程中，给出以下命题： 线段BM的长是定值； 存在某个位置，使CADE 1 ； 存在某个位置，使/MB平面DEA1. 其中，正确的命题是 A B C D 10函数)sin()(xAxf（0A，0， 2 0）的部分图象如图所示，给出下列说法： 函数)(xf的最小正周期为； 直线 12 5 x为函数)(xf的一条对称轴； 点)0 , 3 2 (为函数)(xf的一个对称中心； 函数)(xf的图象向右平移 3 个单位后得 到xy2sin2的图象. 其中正确说法的个数是 A1 B2 C3 D4 11已知 F1，F2分别为双曲线1 49 22 yx 的左、右焦点，过 F2且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支交于 A，B 两点，记 21F AF的内切圆半径为 r1， 21F BF的内切圆半径为 r2，则 2 1 r r 的值等于 A3 B2 C3 D2 12已知函数2lne)(xxxxf x ，xx x xg x ln e )( 2 的最小值分别为a，b，则 Aba Bba Cba Da，b的大小关系不确定 页 3 第 A1 C B A B1 D C1 E F 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13 6 ) 1 2( x x 的展开式中， 3 x项的系数是_. 14已知一组数据 10，5，4，2，2，2，x，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的 2 倍，则x所有可 能的取值为_. 15 过动点M作圆C：1)2()2( 22 yx的切线，N为切点.若|MOMN (O为坐标原点)， 则|MN的 最小值为_. 16用 I M表示函数xysin在闭区间I上的最大值，若正数 a 满足 2, 0 2 aaa MM，则 a 的值为 . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分。 17 （本题 12 分） 在ABC中，已知 2 65 AB，7AC，D是BC边上的一点，5AD，3DC. （1）求B； （2）求ABC的面积. 18 （本题 12 分） 如图， 在直三棱柱 111 CBAABC 中，ABAC，2 1 ACABAA，D，E，F分别为AB，BC，BB1 的中点. （1）证明：平面FCA 11 平面DEB1； （2）求二面角DEBB 1 的正弦值. 19 （本题 12 分） 页 4 第 0.00050 0.00075 0.00100 0.00125 1200 1000 800 600 400 200 0 金额 （单位： 元） 频率 组距 已知椭圆E：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭 圆上的点的最短距离为 1. （1）求椭圆E的方程； （2）若不过原点的直线l与椭圆交于A，B两点，求OAB面积的最大值. 20 （本题 12 分） 某健身馆在 2019 年 7、8 两月推出优惠项目吸引了一批客户为预估 2020 年 7、8 两月客户投入的健 身消费金额， 健身馆随机抽样统计了 2019 年 7、 8 两月 100 名客户的消费金额， 分组如下：0， 200)，200， 400)，400，600)，1000，1200（单位：元） ，得到如图所示的频率分布直方图： （1）请用抽样的数据预估 2020 年 7、8 两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表） ； （2）若把 2019 年 7、8 两月健身消费金额不低于 800 元的客户，称为“健身达人” 经数据处理，现 在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“健身 达人”与性别有关？ 健身达人 非健身达人 总计 男 10 女 30 总计 （3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案 方案一：每满 800 元可立减 100 元； 方案二：金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 1 2 ，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折， 中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折 若某人打算购买 1000 元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案 附附： P（kK 2 ） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 页 5 第 k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K . 21 （本题 12 分） 已知函数1ee)(xxf x . （1）若e)(axxf对Rx恒成立，求实数 a 的值； （2）若存在不相等的实数 1 x， 2 x，满足0)()( 21 xfxf，证明：2 21 xx. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分。请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（本题 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 C1的参数方程为 ty tx 2 2 2 , 2 2 （t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正 半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 . 2 2 cos23 9 . （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）若 1 C与y轴交于点M， 1 C与 2 C相交于A、B两点，求|MBMA 的值 23选修 4-5：不等式选讲（本题 10 分） （1）已知|)(xaxxf，若存在实数x，使2)(xf成立，求实数a的取值范围； （2）若0m，0n，且3nm，求证：3 41 nm 页 6 第 A1 C B A B1 D C1 E F G H A B C D 武昌区 2020 届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案及评分细则 一、选择题：一、选择题： 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 D A B D D D A C B C A A 二、填空题：二、填空题： 13. 240 14.11，3，17 15. 8 27 16. 4 3 或 8 9 三、解答题：三、解答题： 17 （ （本题本题 12 分）分） 在ABC中，已知 2 65 AB，7AC，D是BC边上的一点，5AD，3DC. （1）求B； （2）求ABC的面积. 解：解： （1）在ADC中，由余弦定理，得 2 1 cosADC， 所以 120ADC，从而 60ADB. 在ABD中，由正弦定理，得 2 2 sinB，所以 45B. （4 分） （2）由（1）知 75BAD，且 4 62 75sin . 所以 8 ) 33(25 sin 2 1 BADADABS ABD ， 4 315 sin 2 1 ADCDCDAS ADC ， 所以 8 75355 ADCABDABC SSS. （12 分） 18 （ （本题本题 12 分）分） 解：解： （1）因为ABAC，ACDE /，所以ABDE . 因为 1 AA平面ABC，DE平面ABC，所以DEAA 1 . 因为AAAAB 1 ，所以DE平面BBAA 11 . 因为FA1平面BBAA 11 ，所以FADE 1 . 易证FADB 11 ，因为DEDDB 11 ， 所以FA1平面DEB1. 因为FA1平面FCA 11 ， 所以平面FCA 11 平面DEB1. （4 分） （2）方法一：过B作DBBH 1 ，垂足为H，过H作EBHG 1 于G，连结BG， 则可证BGH为二面角DEBB 1 的平面角. 在BDB1Rt中，求得 5 2 BH；在BEB1Rt中，求得 6 22 BG. 页 7 第 所以 5 15 sin BG BH BGH. （12 分） 方法二方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦. 19 （ （本题本题 12 分）分） 解：解： （1）由 , 1 , 3 ca c b 及 222 cba，得2a，3b. 所以，椭圆E的方程为1 34 22 yx . （4 分） （2）当直线l的斜率存在时，设其方程为)0(mmkxy，代入椭圆方程，整理，得 01248) 34( 222 mkmxxk. 由0，得034 22 mk. 设),( 11 yxA，),( 22 yxB，则 34 8 2 21 k km xx， 34 124 2 2 21 k m xx. 于是 34 34 1344)(1| 2 22 2 21 2 21 2 k mk kxxxxkAB. 又，坐标原点O到直线l的距离为 2 1 | k m d . 所以，OAB的面积 34 34 |32| 2 1 2 22 k mk mdABS. 因为 2 1 34 2 ) 34( 34 ) 34( 34 34 | 2 222 2 222 2 22 k mkm k mkm k mk m， 所以，3| 2 1 dABS. 当直线l的斜率不存在时，设其方程为mx ，同理可求得 3312| 2 1 | 2 1 2 mmdABS. 所以，OAB面积的最大值为3. （12 分） 20 （ （本题本题 12 分）分） 解：解： （1）因为 90000125. 070000100. 050000075. 030000050. 0100(x 620200)00050. 0110000100. 0 （元） ， 所以，预估 2020 年 7、8 两月份人均健身消费为 620 元 （2 分） （2）列联表如下： 因为841. 3762. 4 70305050 )40203010(100 2 2 K，因此有 95%的把握认为“健身达人”与性别有关 系 （6 分） （3）若选择方案一：则需付款 900 元； 若选择方案二：设付款 X 元，则 X 可能取值为 700，800，900，1000 8 1 ) 2 1 ()700( 33 3 CxP， 8 3 ) 2 1 ()800( 22 3 CxP， 健身达人 非健身达人 总计 男 10 40 50 女 20 30 50 总计 30 70 100 页 8 第 8 3 ) 2 1 ()900( 31 3 CxP， 8 1 ) 2 1 ()1000( 30 3 CxP， 所以850 8 1 1000 8 3 900 8 3 800 8 1 700)(XE（元） 因为900850，所以选择方案二更划算 （12 分） 21 （ （本题本题 12 分）分） 解：解： （1）令1)1 (ee)()()(xaaxxfxg x ，则axg x 1e)(. 由题意，知0)(xg对Rx恒成立，等价0)( min xg. 当1a时，由0)( x g知1)1 (e)(xaxg x 在R上单调递增. 因为01)1 ( 1 ) 1(a e g，所以1a不合题意； 当1a时，若)1ln(,(ax，则0)( x g，若),1(ln(ax，则0)( x g， 所以，)(xg在)1ln(,(a单调递减，在),1(ln(a上单调递增. 所以0) 1ln()1 (2)1(ln()( min aaaagxg. 记) 1( ) 1ln()1 (2)(aaaaah，则 ) 1ln()(aah. 易知)(ah在)2 , 1 (单调递增，在), 2( 单调递减， 所以0)2()( max hah，即0 ) 1ln()1 (2aaa. 而0) 1ln()1 (2)( min aaaxg， 所以0) 1ln()1 (2aaa，解得2a. （6 分） （2）因为0)()( 21 xfxf，所以) 1e (2ee 21 21 xx xx . 因为 2 21 21 e2ee xx xx ， 21 xx ，所以 2 21 21 e2ee xx xx . 令txx 21 ，则02e2e2 2 t t . 记02e2e2)( 2 ttm t ，则01e)( 2 t tm，所以)(tm在R上单调递增. 又0)2(m，由02e2e2 2 t t ，得)2()(mtm， 所以2t，即2 21 xx. （12 分） 另证：另证：不妨设 21 xx ，因为01e)( x xf，所以)(xf为增函数. 要证2 21 xx，即要证 12 2xx，即要证)2(