2020届湖北省部分重点中学高三（上）期末试卷数学（理科）

1 页 2019-2020 学年湖北省部分重点中学高三（上）期末学年湖北省部分重点中学高三（上）期末 数学试卷（理科）数学试卷（理科） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. i2020=（ ） A. 1 B. -1 C. i D. -i 2. 已知集合 A=x|0log2x2，B=y|y=3 x+2，xR，则 AB=（ ） A. （1，4） B. （2，4） C. （1，2） D. （1，+） 3. 若 a=ln2， 的大小关系为（ ） A. bca B. bac C. abc D. cba 4. 当 0x1 时，则下列大小关系正确的是（ ） A. x33xlog3x B. 3xx3log3 x C. log3 xx33x D. log3 x3xx3 5. 已知 cos（ -）=2cos（+），且 tan（+）= ，则 tan的值为（ ） A. -7 B. 7 C. 1 D. -1 6. 将函数 f（x）=sin（2x+）（0）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的 图象，则函数 f（x）的一个单调减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 设向量=（1，-2）， =（a，-1），=（-b，0），其中 O 为坐标原点，a0，b0，若 A，B，C 三 点共线，则 + 的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 若数列an满足 - =d（nN*，d 为常数），则称数列an为调和数列已知数列 为调和数列， 且 x1+x2+x20=200，则 x5+x16=（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 9. 设函数 f（x）=x2+2cosx，x-1，1，则不等式 f（x-1）f（2x）的解集为（ ） A. （-1， ） B. 0， ） C. （ D. 0， 10. 设椭圆的左焦点为 F，在 x 轴上 F 的右侧有一点 A，以 FA为直径的圆与椭圆在 x 轴上方部分交于 M、N两点，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 页 11. 已知向量、 、 满足， ， E、 F 分别是线段 BC、 CD 的中点 若， 则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 12. 已知变量 x1，x2（0，m）（m0），且 x1x2，若 x1x2恒成立，则 m 的最大值为（ ） A. e B. C. D. 1 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知数列an满足 a1=1，前 n项和未 sn，且 sn=2an（n2，nN*），则an的通项公式 an=_ 14. 已知边长为 3的正ABC三个顶点都在球 O 的表面上，且 OA与平面 ABC 所成的角为 30 ，则球 O的 表面积为_ 15. 公元前 6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现 0.618就是黄金分 割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为 a=2sin18 ，若 a2+b=4，则=_ 16. 如图，已知双曲线 C： - =1（a0，b0）的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲 线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若PAQ=60 ，且=3，则双曲线的离心率为_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c满足 （1）求 A （2）若ABC的面积，求ABC 的周长 18. 棋盘上标有第 0，1，2，100 站，棋子开始时位于第 0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏若掷出 正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第 99站或第 100 站时，游戏结 束设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn （1）当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望； （2）证明：; （3）求 P99，P100的值 3 页 19. 如图，已知平面 BCC1B1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴截面）BC是圆柱底 面的直径，O为底面圆心，E为母线 CC1的中点，已知 AB=AC=AA1=4 （1）求证：B1O平面 AEO （2）求二面角 B1-AE-O 的余弦值 20. 椭圆 C焦点在 y轴上，离心率为 ，上焦点到上顶点距离为 2- （）求椭圆 C的标准方程； （）直线 l与椭圆 C交与 P，Q 两点，O为坐标原点，OPQ的面积 SOPQ=1，则|2+|2是否为 定值，若是求出定值；若不是，说明理由 21. 已知函数 f（x）=excosx-xsinx，g（x）=sinx-ex，其中 e 为自然对数的底数 （1） x1- ，0， x20， ，使得不等式 f（x1）m+g（x2）成立，试求实数 m 的取值范围； （2）若 x-1，求证：f（x）-g（x）0 22. 在平面直角坐标系中，已知直线 l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程 =4cos （1）求直线 l的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）直线 l与曲线 C交于 A、B 两点，点 P（1，2），求|PA|+|PB|的值 4 页 23. 已知函数 f（x）=|2x+1|+|x-4| （1）解不等式 f（x）6； （2）若不等式 f（x）+|x-4|a2-8a 有解，求实数 a 的取值范围 5 页 答案答案 1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】B 10.【答案】A 11.【答案】A 12.【答案】A 13.【答案】 14.【答案】16 15.【答案】 16.【答案】 17.【答案】解：（1）， 由正弦定理可得：， ，且 A（0，）， ， （2）， bc=12， 又 a2=b2+c2-2bcosA，9=（b+c）2-3bc， ， 即ABC的周长为 18.【答案】解：（1）解：由题意得 X 的可能取值为 3，4，5，6， P(X=3)=( )3= ， P(X=4)= ， P(X=5)= ， P(X=6)=( )3= X的分布列如下： 6 页 X 3 4 5 6 P （2）证明：棋子先跳到第 n-2 站，再掷出反面，其概率为， 棋子先跳到第 n-1 站，再掷出正面，其概率为， ，即， . （3）解：由（2）知数列Pn-Pn-1（n1）是首项为Pn-Pn-1(n1)， ，公比为的等比数列 ， 由此得到， 由于若跳到第 99站时，自动停止游戏， 故 【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，等比数列的性质，考查运算求解能力，考 查化归与转化思想，属于较难题 （1）由题意得 X的可能取值为 3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 （2） 棋子先跳到第 n-2 站， 再掷出反面， 其概率为， 棋子先跳到第 n-1 站， 再掷出正面， 其概率为， 从而，由此能证明. （3）数列Pn-Pn-1（n1）是首项为Pn-Pn-1（n1）， ，公比为的等比数列，从而 ，由此能求出 P99，P100的值 19.【答案】证明：（1）依题意可知，AA1平面 ABC，BAC=90 ， 如图建立空间直角坐标系 A-xyz，因为 AB=AC=AA1=4， 则 A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），B1（4，0，4）， C（0，4，0），O（2，2，0），（2 分） =（-2，2，-4），=（2，-2，-2），=（2，2，0），（3分） =（-2） 2+2 （-2）+（-4） （-2）=0， 7 页 ，B1OEO， =（-2） 2+2 2+（-4） 0=0，B1OAO，（5 分） AOEO=O，AO，EO 平面 AEO， B1O平面 AEO（6 分） （2）由（1）知，平面 AEO 的法向量为=（-2，2，-4），（7分） 设平面 B1AE的法向量为 =（x，y，z）， ， 则，令 x=2，则 =（2，2，-2），（10 分） cos = = ， 二面角 B1-AE-F 的余弦值为 （12 分） 【解析】（1）依题意可知，AA1平面 ABC，BAC=90 ，建立空间直角坐标系 A-xyz，利用向量法能证 明 B1O平面 AEO （2）求出平面 AEO的法向量和平面 B1AE的法向量，利用向量法能求出二面角 B1-AE-F 的余弦值 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合 理运用 20.【答案】解：（）由题意可得， 解得， 可得 b2=a2-c2=1， 即有椭圆 C的标准方程为：； （）设 P（x1，y1），Q（x2，y2） （1）当 l斜率不存在时，P，Q两点关于 x 轴对称， SOPQ=|x1|y1|=1， 又，解得， |2+|2=2（x12+y12）=2 （ +2）=5； （2）当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y=kx+m， 由题意知 m0，将其代入，得 （k2+4）x2+2kmx+m2 -4=0， 8 页 即有， 则，O到 PQ距离， 则， 解得 k2+4=2m2，满足0， 则， 即有|2+|2=（x12+y12）（x22+y22） = =-3+8=5， 综上可得|2+|2为定值 5 【解析】（）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，及 a，b，c 的关系，解得 a，b，进而得到椭圆 方程； （）设 P（x1，y1），Q（x2，y2），讨论直线 l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运 用韦达定理和判别式大于 0，结合三角形的面积公式，点到直线的距离公式和弦长公式，化简整理，即可 得到所求和为定值 5 本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查直线和椭圆联立，运用韦达定理和弦长公式，注意 讨论直线的斜率不存在，考查化简整理的运算能力，属于中档题 21.【答案】解：（1）f（x）=excosx-exsinx-sinx-xcosx； ； cosx0，sinx0，ex0； excosx-exsinx-sinx-xcosx0； 即 f（x）0； f（x）在上单调递增； f（x）的最大值为 f（0）=1； ，设 h（x）=g（x），则：； ； ； h（x）0； h（x）在0， 上单调递减； h（x）的最大值为 h（0）=； h（x）0，即 g（x）0； 9 页 g（x）在0， 上单调递减； g（x）的最大值为 g（0）=； 根据题意知，f（x）maxm+g（x）max； ； ； 实数 m 的取值范围为； （2）； 设 F（x）=ex-（x+1），则 F（x）=ex-1； x（-1，0）时，F（x）0，x（0，+）时，F（x）0； F（x）在（-1，+）上的最小值为 F（0）=0； F（x）0； exx+1在 x（-1，+）上恒成立； ； ，x=0时取“=”； ； =； ； ，该不等式和不等式等号不能同时取到； ； f（x）-g（x）0 【解析】（1）根据题意便知，f（x）maxm+g（x）max，这样可根据导数求 f（x），g（x）的最大值：求导 数 f（x），容易说明 f（x）0，从而可以得出 f（x）在上单调递增，从而可求出最大值为 1； 同样的办法，求，可设 h（x）=g（x），再求导便可得出 h（x）0 在上恒成立， 从而得出 g（x）单调递减，从而可以得出最大值为 g（0）=，从而便可得到 1，这样便可得出 实数 m的取值范围； （2）先求出 f（x）-g（x）=，根据导数可以证明 exx+1，而显然 恒 成立，从而有，而根据两角和的余弦公式即 可说明（x+1）（cosx+）-sinx（x+1）0，并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到，从而 便证出 f（x）-g（x）0 考查根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性求函数最大值的方法，在判断导数符号时可以 两次求导，以及两角和的余弦公式，不等式的性质 22.【答案】解：（1）直线 l的参数方程为（t为参数）， 由得， l的普通方程为：， C 的极坐标方程是 =4cos， 2=4cos，x2+y2=4x， 10 页 C 的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0 （2）将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程，得： ， ， ，t1，t2同号， 【解析】（1）由直线 l的参数方程，能求出 l的普通方程；由曲线 C的极坐标方程，能求出曲线 C的直角 坐标方程 （2）将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程，得，由此能求出|PA|+|PB|的值 本小题考查直线和曲的直角坐标方程、极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归 与转化思想等 23.【答案】解：（1）由已知得当时，不等式 f（x）6化为-3x+36， 解得 x-1，所以取； 当时，不等式 f（x）6 化为 x+56， 解得 x1，所以取； 当 x4 时，不等式 f（x）6 化为 3x-36， 解得 x3，不合题意，舍去； 综上知，不等式 f