2020届江苏省苏州市高三上学期期初调研考试数学（理）试题

页 1 第 江苏省苏州市 20192010 学年度第一学期高三期初调研考试 数学理科试卷 20199 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上 ） 1已知集合 A1，3，B3，9，则 AUB 答案：1，3，9 2如果复数 2 3 bi i (bR)的实部与虚部互为相反数，则 b 等于 答案：1 3下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 次数 1 2 3 4 5 得分 33 30 27 29 31 答案：4 4已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料，从这 4 瓶饮料中随机取 2 瓶，则所取 2 瓶中至少有一瓶是 果汁类饮料的概率为 答案： 5 6 5根据如图所示的伪代码，当输入的 a，b 分别为 2，3 时，最后输出的 b 的值为 答案：2 6在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的两条渐近线方程为 y2x，则该双 曲线的离心率为 答案：5 7如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形，且 AB3，BC5，M 是 AA1的中点，则三棱锥 A1MBC1的体积为 页 2 第 答案：4 8已知等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若 15 30S， 7 1a ，则 10 S的值为 答案：5 9 若( )yf x是定义在 R 上的偶函数， 当x0，)时， sin0, 1) ( ) (1)1, ) xx f x f xx ， ， ， 则(5 ) 6 f 答案： 1 2 10已知在ABC 中，AC1，BC3，若 O 是该三角形内的一点，满足(OAOB) (CA uuu ruuu ruuu r CB) uuu r 0， 则CO AB uuu r uuu r 答案：4 11已知sin222cos2，则 2 sinsin2 答案：1 或 8 5 12已知点 A、B 是圆 O： 22 4xy上任意两点，且满足 AB2 3点 P 是圆 C：(x4)2(y3)24 上任意一点，则PAPB uuu ruu u r 的取值范围是 答案：4，16 13设实数 a1，若不等式2x xaa，对任意的实数x1，3恒成立，则满足条件的实数 a 的取 值范围是 答案：1，2U 7 2 ，) 14在ABC 中，若 tanAtanA tanBtanC 3，则 sinA 的最大值为 答案： 21 5 页 3 第 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC，点 P 是棱 AC 的中点 （1）求证：AB1平面 PBC1； （2）求证：平面 PBC1平面 AA1C1C 16 （本小题满 分 14 分） 已知函数 7 ( )sin()sin() 412 f xxx （1）求函数( )yf x的最小正周期和单调递增区间； （2）当 x0，时，试求函数( )yf x的最大值，并写出取得最大值时自变量 x 的值 页 4 第 17 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为 60的菱形的四个顶点 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 ykx 交椭圆 C 于 A、B 两点，在直线 l：xy30 上存在点 P，使得PAB 为等边三 角形，求实数 k 的值 页 5 第 18 （本小题满分 16 分） 某地举行水上运动会，如图，岸边有 A，B 两点，BAC30小船从 A 点以 v 千米/小时的速度沿 AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过 t 小时与小船相遇 （水流速度忽略不计） （1）若 v4，AB2 km，运动员从 B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在 1 小时内（含 1 小时）能 与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值； （2）若运动员先从 A 处沿射线 AB 方向在岸边跑步匀速行进 m（0mt）小时后，再游泳匀速直线 追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为 4 千米/小时，在水中游泳的速度为 2 千米小时，试求小船在能 与运动员相遇的条件下 v 的最大值 页 6 第 19 （本小题满分 16 分） 已知函数( ) x f xe，( )lng xx （1）设 2 ( )( )h xg xx，求函数( )h x的单调增区间； （2）设 0 1x ，求证：存在唯一的 0 x，使得函数( )yg x的图像在点 A( 0 x， 0 ()g x)处的切线 l 与函 数( )yf x的图像也相切； （3）求证：对任意给定的正数 a，总存在正数 x，使得不等式 ( ) 1 1 f x a x 成立 页 7 第 20 （本小题满分 16 分） 等差数列 n a的前 n 项和为 n S，数列 n b满足： 11 55ba， 52 9ab，当 n3 时， 1n S n b， 且 n S， 1nn Sb ， 2n S 成等比数列，nN （1）求数列 n a， n b的通项公式； 页 8 第 （2）求证：数列 n b中的项都在数列 n a中； （3）将数列 n a、 1 1 nn b b 的项按照：当 n 为奇数时， n a放在前面；当 n 为偶数时， 1 1 nn b b 放在前 面进行“交叉排列”，得到一个新的数列： 1 a， 1 2 1 bb ， 2 3 1 b b ， 2 a， 3 a， 3 4 1 b b ， 4 5 1 b b ，这个新数列的 前 n 和为 n T，试求 n T的表达式 页 9 第 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，解答时应写出 文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 设变换 T 是按逆时针旋转 2 的旋转变换，对应的变换矩阵是 M （1）求点 P(1，1)在 T 作用下的点 P的坐标； （2）求曲线 C：yx2在变换 T 的作用下所得到的曲线 C的方程 B选修 44：坐标系与参数方程 己知直线的参数方程为 1 1 xt yt （t 为参数） ，圆 C 的参数方程为 cos sin xa ya （a0，为参数） ， 点 P 是圆 C 上的任意点，若点 P 到直线的距离的最大值为21，求实数 a 的值 解：由直线的参数方程为 1 1 xt yt （t 为参数）可得2yx 由圆 C 的参数方程为 cos sin xa ya 可得圆的标准方程为 222 xya 求得圆心 O 到直线的距离为2，所以 a221，求得 a 的值为 1 C选修 45：不等式选讲 已知 x、y、z 均为正数，求证： 111xyz yzzxxyxyz 页 10 第 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个，从中任取 2 个都是白球的概率为 5 12 现甲、乙两人从袋中 轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取 1 个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白 球时终止用随机变量 X 表示取球终止时取球的总次数 （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量 X 的概率分布及数学期望