安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测（一模）数学（理）试题 含答案

黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第卷（选择题60分）和第卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2答第卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3答第卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.4考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式 球的体积公式第卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卷的相应区域答题.）1. 已知复数满足,则A. 5 B. 3 C. D. 2. 设UR，A，B，则 A B C D3. 已知，则ABCDBACD4. 函数的大致图象为5. 裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列满足：，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是A. B. C. D. 6将向量绕原点O顺时针方向旋转75得到，则A B C D7. 已知数列满足，数列的前 项和为，则=ABCD8. 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是A B C D 9. 函数在内单调递增，且图象关于直线对称，则的值为 A. B. C. D. 10.如图，半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为A2 B4C6 D811.已知函数有4个零点，则实数的取值范围是A B C D 12.如图，,分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为A. B. C. D. 第卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请在答题卷的相应区域答题.）13. 已知函数则 .14. 已知实数满足约束条件，则的最大值为 .15. 函数 与函数的图象有两个不同的公共点,则实数的取值范围是 .16. 如图，在棱长为 1 的正方体中，点是的中点，动点在底面正方形内（不包括边界），若平面，则长度的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答题卷的相应区域答题.）17.（本小题满分12分）已知在中,角,所对的边分别为,且,（1）求角的大小; （2）若,求的取值范围.18.（本小题满分12分）公子的马获胜的概率田忌的马田忌赛马是史记中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得了许多赌注。假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示:上等马中等马下等马上等马0.50.81中等马0.20.50.9下等马00.050.4比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.（1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;（2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.19（本小题满分12分）已知是以为直径的圆周上一点，平面（1）求证：平面平面；（2）若异面直线与所成的为，求二面角的余弦值。20（本小题满分12分）已知椭圆的焦距为，过点。（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标。21（本小题满分12分）函数， （1）求的单调区间；（2）在函数的图象上取，两个不同的点，令直线的斜率为，则在函数的图象上是否存在点，且，使得？若存在，求，两点的坐标，若不存在，说明理由。考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线。以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与直线相交于，两点，求的取值范围.23.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（1）解不等式;（2）若恒成立,求的取值范围.黄山市2020届高中毕业班第一次质量检测高三数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C7.A 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）解: （1）由则3分所以 而 故6分（2）由 且 所以 10分又 所以的取值范围是 12分18. （本小题满分12分）解： （1）记事件：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜，对于事件，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜，故4分（2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量（金），则的取值为和。若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负6分设在该月的比赛中田忌获胜的概率为，则8分 10分因此田忌一年赛马获利的数学期望为（金） 12分19.（本小题满分12分）（1）证明：因为为圆的直径，所以，又平面，而平面，所以，又,所以平面，而平面，所以平面平面5分（2）解法1：建系如图所示，令，而，则,，则，,，令所以，因为异面直线与所成的角为，故，解得令平面的一个法向量为，而，由,所以由，所以，即而平面的一个法向量为所以解法2：过作的平行线交圆于，连接，所以直线与所成的角即为与所成的角，因为为圆的直径，所以，又平面，而平面，所以又,所以平面而平面，所以，则令，且所以，,过作交于，过作交于,连接，由三垂线定理知，所以即为二面角的平面角8分， ， 即为二面角的余弦值为 12分20. （本小题满分12分）解： （1）由题知 解得，所以椭圆的方程为4分（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：由 得则，6分因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以，则则，故的方程为：8分由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，则而，所以故直线恒过定点，且定点为 12分21.（本小题满分12分）解： （1）由题知定义域为，1分当时，令，解得，解得即函数在上单调递增，在 及上单调递减；当时，在上，即函数在上单调递减；当时，令，解得，解得即函数在上单调递增，在 及上单调递减；当时，令，解得，解得即函数在上单调递增，在 上单调递减；5分综上所述：当时，增区间为，减区间为及；当时，减区间为；当时，增区间为，减区间为及；当时，减区间为，增区间为；6分（2）假设存在，即满足因为已知，不妨令则 而由得存在，也就是证存在9分只要证存在，令，故转化为存在即需要证明令则有故在上单调递增，所以，故不存在。 12分22（本小题满分10