2020届安徽省蚌埠铁路中学高三上学期期中检测数学（理）试题

- 1 - 蚌埠铁中 2019-2020 学年度第一学期期中检测试卷 高 三 数 学（理） 考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分 一、一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1.设集合(5) 4Ax xx，|Bx xa，若ABB，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.已知i为虚数单位，若复数 1 1 ti z i 在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（ ） A. 1,1 B. ( 1,1) C. (, 1) D. (1,) 3.已知 1 sin 123 ，则 17 cos 12 的值等于（ ） A. 1 3 B. 2 2 3 C. 1 3 D. 2 2 3 4.若1,01acb，则下列不等式不正确的是（ ） A. 20192019 loglogab B. loglog cb aa C. cb cb acb a D. cb ac aac a 5.在等比数列 n a中，“ 412 a ,a是方程 2 x3x10 的两根”是“ 8 a1 ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.已知 ( )f x是定义在 2 ,1bb 上的偶函数，且在 2 ,0b上为增函数，则(1)(2 )f xfx的解集为 （ ） A. 2 1, 3 B. 1 1, 3 C. 1,1 D. 1 ,1 3 7.如图，在平行四边形ABCD中，,M N 分别为,AB AD上的点，且，连接 ,AC MN 交于P 点，若，则点N在AD上的位置为（ ） - 2 - A. AD中点 B. AD上靠近点D的三等分点 C. AD上靠近点D的四等分点 D. AD上靠近点D的五等分点 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 5 B. 16 3 C. 7 D. 17 3 9.执行如图所示的程序框图，如果输出6T ，那么判断框内应填入的条件是（ ） A. 32k B. 33k C. 64k D. 65k 10.函数( )sin(0)f xx的图象向右平移 12 个单位得到函数( )yg x的图象，并且函数( )g x在区 间, 6 3 上单调递增，在区间, 3 2 上单调递减，则实数的值为（ ） A. 7 4 B. 3 2 C. 2 D. 5 4 11.已知x，y满足约束条件 20, 53120, 3, xy xy y 当目标函数zaxby（0a ，0b ）在该约束条件下 取得最小值 1 时，则 12 3ab 的最小值为（ ） A. 42 2 B. 4 2 C. 3 2 2 D. 3 2 12.设函数 3 3 x a f xex xx ，若不等式 0f x 有正实数解，则实数a的最小值为（ ） - 3 - A. 3 B. 2 C. 2 e D. e 二填空题（共二填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，合计分，合计 2020 分）分） 13.已知函数2cosyx（02x）的图象和直线2y 围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形 的面积是_ 14.若函数( )ln2f xxax的图象存在与直线2 0 xy 垂直的切线，则实数a的取值范围是_ 15.已知球 O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3， 2 3AB ，点 E 在线段 BD 上，且 BD=3BE，过点 E 作圆 O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_. 16.在ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足 2 2sin3cos40aaBB， 2 7b ，则ABC 的面积为_. 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17（本小题满分 10 分） 已知数列 n a是等差数列，前n项和为 n S，且 53 3Sa， 46 8aa （1）求 n a （2）设2n nn ba，求数列 n b的前n项和 n T 18. （本小题满分 12 分） ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点, a b在直线 sinsinxABsinsinyBcC上. （1）求角C的大小； （2）若ABC为锐角三角形且满足 11 tantantan m CAB ，求实数m的最小值. 当且仅当ab，实数m的最小值为 2. 19（本小题满分 12 分） “绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决定投入生产某种惠 民型的空气净化器根据以往的生产销售经验得到年生产销售的统计规律如下：年固定生产成本为 2 万元；每生产该型号空气净化器 1 百台，成本增加 1 万元；年生产x百台的销售收入R（x） - 4 - （万元）假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润销售收入 生产成本） （1）为使该产品的生产不亏本，年产量x应控制在什么范围内？ （2）该产品生产多少台时，可使年利润最大？ 20（本小题满分 12 分） 如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为 AOC的垂心 （1）求证：平面OPG 平面 PAC； （2）若22PAABAC，求二面角A OPG的余弦值. 21（本小题满分 12 分） 已知函数f（x）2 x+（k1）2x（xR R）是偶函数 （1）求实数k的值； （2）求不等式f（x）的解集； （3）若不等式f（2x）+4mf（x）在xR R 上有解，求实数m的取值范围 22. （本小题满分 12 分） 已知函数 lnf xxxaxaR （1）若1a ，求函数 fx的图像在点 1,1f处的切线方程； - 5 - （2）若函数 fx有两个极值点 1 x， 2 x，且 12 xx，求证： 2 1 2 f x - 6 - 蚌埠铁中 2019-2020 学年度第一学期期中检测试卷 高 三 数 学（理）答案 一、一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1D 2B 3A 4D 5A 6B 7B 8D 9C 10C 11C 12D 二填空题（共二填空题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，合计分，合计 2020 分）分） 134 14 1 , 4 152 ,4 16 三、解答题三、解答题 （本大题共（本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17（本小题满分 10 分） 【答案】(1) 23 n an (2) 2 (4) 216 n n Tn 【解析】 (1)由题意，数列 n a是等差数列，所以 53 5Sa，又 53 3Sa， 3 0a， 由 465 82aaa，得 5 4a ，所以 53 24aad，解得2d ， 所以数列的通项公式为 3 323 n aandn (2)由（1）得 1 232 nn nn ban ， 2341 221 20 232n n Tn ， 3412 221 242322 nn n Tnn ， 两式相减得 23412 22 222232 nn nn TTn ， 1 22 8 1 2 8(3) 2(4) 216 1 2 n nn nn ， 即 2 (4) 216 n n Tn 18. （本小题满分 12 分） 【答案】（1） 3 （2）实数m的最小值为 2. 【解析】 （1）由条件可知sinsinsinsinaABbBcC，根据正弦定理得 222 abcab ， - 7 - 又由余弦定理 222 1 cos 22 abc C ab ，故角C的大小为 3 ； （2） 11 tan tantan mC AB sincoscos cossinsin CAB CAB sincos sincos sin cossin sin CABBA CAB 22 2sin2 sin sin Cc ABab 22 2 abab ab 21 ab ba 22 12， 19（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由题意得，成本函数为C（x）x+2， 从而年利润函数为L（x）R（x）C（x） 要使不亏本，只要L（x）0， 当 0x4 时，由L（x）0 得0.5x 2+3x2.50，解得 1x4， 当x4 时，由L（x）0 得 5.5x0，解得 4x5.5 综上 1x5.5 答：若要该厂不亏本，产量x应控制在 100 台到 550 台之间 （2）当 0x4 时，L（x）0.5（x3） 2+2， 故当x3 时，L（x）max2（万元）， 当x4 时，L（x）1.52 综上，当年产 300 台时，可使利润最大 20【答案】（1）见解析（2） 2 51 17 . 【解析】 （1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为AOC的重心，所以M为AC的中点. 因为O为AB的中点，所以/ /OMBC.因为AB是圆O的直径，所以BCAC，所以OMAC. 因为PA平面ABC，OM 平面ABC，所以PAOM.又PA平面PAC，AC 平面 ,PAC PAAC=A， 所以OM 平面PAC.即OG 平面PAC， 又OG 平面OPG， 所以平面OPG 平 面PAC. - 8 - （2）以点C为原点，CB，CA，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz，则0,0,0C， 0,1,0A，3,0,0B， 3 1 ,0 22 O ，0,1,2P， 1 0,0 2 M ，则 3 ,0,0 2 OM ， 3 1 ,2 22 OP .平面OPG即为平面OPM，设平面OPM的一个法向量为, ,nx y z，则 3 0, 2 31 20, 22 n OMx n OPxyz 令 1z ， 得0 , 4 ,1n .过点C作CHAB于点H， 由PA平面ABC， 易得CHPA，又PA ABA ，所以CH 平面PAB，即CH为平面PAO的一个法向量. 在Rt ABC中，由2ABAC，得30ABC，则60HCB， 13 22 CHCB . 所以 3 cos 4 H xCHHCB ， 3 sin 4 H yCHHCB.所以 3 3 ,0 44 CH . 设二面角A OPG的大小为，则cos CH n CHn 22 33 041 0 44 2 51 1739 41 1616 . 21（本小题满分 12 分） 【解析】解：（1）f（x）是偶函数， f（x）f（x）， 即 2 x+（k1）2x2x+（k1）2x， 即（k2）（2 2x1）0 恒成立， 则k20，得k2； （2）k2， - 9 - f（x）2 x+2x，不等式 f（x）等价为 2 x+2x ， 即 2（2 x）25（2x）+20， 得（22 x1）（2x2）0， 得2 x2，得1x1，即不等式的解集为（1，1）； （3）不等式f（2x）+4mf（x）等价为 2 2x+22x+4m（2x+2x） 即f 2（x）+2mf（x）， f（x）2 x+2x2，当且仅当 x0 时，取等号， 则mf（x）， 函数yx在2，+）上是增函数， 则f（x）的最小值为 3， 即m3， 故实数m的取值范围是（3，+） 22. （本小题满分 12 分） 【答案】（1） 0 xy （2）见解析 【解析】 （1）由已知条件， lnf xxxx，当1x 时， 1f x ， ln1 2fxxx ，当1x 时， 1fx ，所以所求切线方程为0 xy （2）由已知条件可得 ln1 2fxxax有两个相异实根 1 x， 2 x， 令 fxh x，则 1 2hxa x ， 1）若0a ，则 0hx ， h x单调递增， fx不可能有两根； 2）若0a ， 令 0hx 得 1 2 x a ，可知 h x在 1 0, 2a 上单调递增，在 1 , 2a 上单调递减， 令 1 0 2 f a 解得 1 0 2 a， - 10 - 由 11 2ea 有 12 0 a f ee ， 由 2 11 2aa 有 2 12 2ln10fa aa ， 从而 1 0 2 a时函数 fx有两个极值点， 当x变化时， fx， fx的变化情况