2020届江苏省苏北四市高三上学期第一次质量检测（期末）数学（理）试题

页 1 第 2019-2020 学年度高三年级第一次质量检测 数学数学理科理科卷 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1.已知集合 |02Axx， | 11Bxx ，则AB U_. 答案：12xx 2.已知复数z满足 2 4z ，且z的虚部小于 0，则z _. 答案：2i 3.若一组数据7, ,6,8,8x的平均数为 7， 则该组数据的方差是_. 答案： 4 5 4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_. 答案：20 5.函数 2 ( )log2f xx的定义域为_. 答案：4,+ ) 6.某学校高三年级有,A B两个自习教室，甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自 习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为_. 答案： 1 2 7.若关于x的不等式 2 30 xmx 的解集是(1,3)，则实数m的值为_. 答案：4 8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线 2 2 1 3 x y的右准线与渐近线的交点在抛物线 2 2ypx上， 则实数p的值为_. 9.已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 29 8aa， 5 5S ，则 15 S的值为_. 答案：135 10.已知函数3sin2yx的图象与函数cos2yx的图象相邻的三个交点分别是, ,A B C， 则ABC 的面积为_. 答案： 3 2 11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆 22 :48120M xyxy，圆N与圆M外切与点(0, )m， 页 2 第 且过点(0, 2)，则圆N的标准方程为_. 答案： 22 (2)8xy 12.已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1x 对称，当(0,1x时，( ) ax f xe （其中e是自然对数的底数） ，若(2020ln2)8f，则实数a的值为_. 答案：3 13.如图，在ABC中，,D E是BC上的两个三等分点，2AB ADAC AE uuu r uuu ruuu r uuu r ，则cos ADE的最小 值为_. 答案： 4 7 14.设函数 3 ( ) |f xxaxb， 1,1x ，其中, a bR.若( )f xM恒成立，则当M取得最小值时， ab的值为_. 答案： 3 4 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答内作答解答时应写出文字说明、证明解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 15. （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥PABC中，APAB，,M N分别为棱,PB PC的中点，平面PAB 平面PBC. （1）求证：BC平面AMN； （2）求证：平面AMN 平面PBC. 页 3 第 解： （1）在PBC中，因为 M，N 分别为棱 PB，PC 的中点， 所以 MN/ BC 3 分 又 MN平面 AMN，BC平面 AMN， 所以 BC/平面 AMN6 分 （2）在PAB中，因为APAB，M 为棱 PB 的中点， 所以AMPB8 分 又因为平面 PAB平面 PBC，平面 PABI平面 PBCPB，AM 平面 PAB， 所以AM 平面 PBC12 分 又AM 平面 AMN，所以平面 AMN平面 PBC 14 分 16. （本小题满分 14 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且 5 cos 5 A . （1）若5a ，2 5c ，求b的值； （2）若 4 B ，求tan2C的值. 解： （1）在ABC中，由余弦定理 222 2cosbcbcAa得， 2 5 202 2 525 5 bb ，即 2 450bb ， 4 分 解得5b或1b（舍） ，所以5b 6 分 （2）由 5 cos 5 A及0A得， 22 52 5 sin1 cos1 () 55 AA，8 分 所以 210 coscos()cos()(cossin ) 4210 CABAAA ， 又因为0C，所以 22 103 10 sin1cos1() 1010 CC， 从而 3 10 sin10 tan3 cos 10 10 C C C ，12 分 所以 22 2tan2 33 tan2 1tan1 34 C C C 14 分 17. （本小题满分 14 分） 如图，在圆锥SO中，底面半径R为 3，母线长l为 5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截 面圆的圆心为 1 O，半径为r，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O为顶点挖去一个倒立的小圆 锥 1 OO，记圆锥 1 OO的体积为V. （1）将V表示成r的函数； （2）求V得最大值. 页 4 第 解：（1）在SAO中， 2222 534SOSAAO ， 2 分 由 1 SNOSAO可知， 1 SOr SOR ，所以 1 4 3 SOr，4 分 所以 1 4 4 3 OOr，所以 223 144 ( )(4)(3),03 339 V rrrrrr7 分 （2）由（1）得 23 4 ( )(3),03 9 V rrrr， 所以 2 4 ( )(63) 9 V rrr，令( )0V r ，得2r ，9 分 当 (0,2)r 时，( )0V r ，所以 ( )V r在(0,2)上单调递增； 当 (2,3)r 时，( )0V r ，所以 ( )V r在(2,3)上单调递减 所以当2r 时， ( )V r取得最大值 16 (2) 9 V 答：小圆锥的体积V的最大值为16 9 14 分 18. （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的右顶点为A,过点A作直线l与圆 222 :O xyb相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q.设直线l的斜率为k. （1）用k表示椭圆C的离心率； （2）若0OP OQ uuu r uuu r ,求椭圆C的离心率. 页 5 第 （1）直线 l 的方程为)(axky，即0akykx， 因为直线 l 与圆 222 byxO：相切，所以b k ak 1 2 ，故 22 2 2 ba b k 所以椭圆C的离心率 2 22 1 1 1 b e ak 4 分 （2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为 2 a x c ， 由 c a x axky 2 )( 得 c aca ka c a ky 22 )(，所以) )( ,( 22 c acak c a Q ，6 分 由 )( 1 2 2 2 2 axky b y a x 得02)( 2224232222 bakaxkaxkab， 解得 222 223 kab abka xp ，则 222 2 222 223 2 )( kab kab a kab abka kyp ， 所以) 2- 222 2 222 223 kab kab kab abka P ，（，10 分 因为0OQOP，所以0 2)( 222 22 222 2232 kab kab c acak kab abka c a ， 即)(2)( 22222 cakbbkaa，12 分 由（1）知， 22 2 2 ba b k ，所以 22 4 2 22 22 )(2 )( ba cab b ba ba a ， 所以caa22 ，即ca2，所以 2 1 a c ，故椭圆C的离心率为 2 1 16 分 19. （本小题满分 16 分） 已知函数 1 ( )()lnf xax x ()aR. （1）若曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为10 xy ，求a的值； （2）若( )f x的导函数( )fx存在两个不相等的零点，求实数a的取值范围； （3）当2a 时，是否存在整数，使得关于x的不等式( )f x恒成立？若存在， 求出的最大值；若不存在，说明理由. 解： （1） 2 11 1 ( )lnfxxa x x x ， 页 6 第 因为曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为10 xy ， 所以(1)11fa ，得0a 2 分 （2）因为 2 1ln ( ) axx fx x 存在两个不相等的零点 所以( )1 lng xaxx 存在两个不相等的零点，则 1 ( )g xa x 当0a时，( )0g x，所以( )g x单调递增，至多有一个零点4 分 当0a 时，因为当 1 (0)x a ，时，( )0g x，( )g x单调递增， 当 1 (+ )x a ，时，( )0g x，( )g x单调递减， 所以 1 x a 时， max 11 ( )()ln()2g xg aa 6 分 因为( )g x存在两个零点，所以 1 ln()20 a ，解得 2 e0a 7 分 因为 2 e0a ，所以 21 e1 a 因为(1)10ga ，所以( )g x在 1 (0) a ，上存在一个零点 8 分 因为 2 e0a ，所以 211 () aa 因为 22111 () ln()1g aaa ，设 1 t a ，则 2 2ln1(e )yttt ， 因为 2 0 t y t ，所以 2 2ln1(e )yttt 单调递减， 所以 222 2ln ee13e0y ，所以 22111 () ln()10g aaa ， 所以( )g x在 1 () a ，上存在一个零点 综上可知，实数a的取值范围为 2 ( e ,0) 10 分 （3）当2a 时， 1 ( )(2)lnf xx x ， 22 11 121ln ( )ln2 xx fxx x x xx ， 设( )21 lng xxx ，则 1 ( )20g x x 所以( )g x单调递增， 且 11 ( )ln0 22 g，(1)10g ，所以存在 0 1 (1) 2 x ，使得 0 ()0g x，12 分 因为当 0 (0)xx，时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递减； 当 0 (+ )xx，时，( )0g x ，即( )0fx，所以( )f x单调递增， 所以 0 xx时，( )f x取得极小值，也是最小值， 此时 0000 000 111 ()(2)ln(2) 12(4)4f xxxx xxx ，14 分 因为 0 1 (1) 2 x ，所以 0 ()( 1 0)f x ， 因为( )f x，且为整数，所以1，即的最大值为116 分 20. （本小题满分 16 分） 已知数列 n a的首项 1 3a ，对任意的*nN,都有 1 1 nn aka (0)k ，数列1 n a 是公比不为 1 的等比数列. （1）求实数k的值； （2）设 4, 1, n n n n b an 为奇数 为偶数 ，数列 n b的前n项和为 n S，求所有正整数m的值，使得 2 21 m m S S 恰好 页 7 第 为数列 n b中的项. 解： （1）由 1 1 nn aka ， 1 3a 可知， 2 31ak， 2 3 31akk， 因为1 n a 为等比数列，所以 2 213 (1)(1)(1)aaa， 即 22 (32)2 (32)kkk ，即 2 31080kk ，解得2k 或 4 3 k ，2 分 当 4 3 k 时， 1 4 3(3) 3 nn aa ，所以3 n a ，则12 n a ， 所以数列1 n a 的公比为 1，不符合题意； 当2k 时， 1 12(1) nn aa ，所以数列1 n a 的公比 1 1 2 1 n n a q a ， 所以实数k的值为2 4 分 （2）由（1）知12n n a ，所以 4 n n nn b n 为奇数, 为偶数, 则 2 2 (4 1)4(43)44(21)4m m SmL 2 (4 1)(43)4(21)444mmLL 1 44 (4) 3 m mm ，6 分 则 2122 44 (4) 3 m mmm SSbmm ， 因为 22+1 324m mm bbm ，又 222 +322 +1 ()()3 420 m mmmm bbbb ， 且 23 50bb， 1 30b ，所以 21 0 m S ，则 2 0 m S， 设 2 21 0, m t m S bt S * N，8 分 则1,3t 或t为偶数，因为 3 1b 不可能，所以1t 或t为偶数， 当 2 1 21 = m m S b S 时， 1 44 (4) 3 3 44 (4) 3 m m mm mm ，化简得 2 624844 m mm， 即 2 42mm 0，所以m可取值为 1，2，3， 验证 624 135 787 ,3, 323 SSS SSS 得，当2m时， 4 1 3 S b S 成立12 分 当t为偶数时， 1 2 2 21 44 (4) 33 1 443124 (4)1 3 4 m m m m m mm S S mm mm ， 设 2 3124 4 m m mm c ，则 2 1 1 94221 4 mm m mm cc ， 由知3m，当4m时， 54 5 3 0 4 cc ； 当4m时， 1 0 mm cc ，所以 456 cccL，所以 m c的最小值为 5 19 1024 c ， 所以 2 21 3 015 19 1 1024 m m S S ，令 2 2 21 4 m m S b S ，则 2 3 14 3124 1 4m mm ， 即 2 31240mm，无整数解 综上，正整数 m 的值216 分 页 8 第 2019-2020 学年度高三年级第一次质量检测 数学（附加题） 21 【选做题】【选做题】本题本题包含包含 A、B、C 小题小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则若多做，则 按作答的前两题评分，按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 已知矩阵 2 M t 3 1 的一个特征值为 4，求矩阵M的逆矩阵 1 M . 解：矩阵M的特征多项式为 23 ( )(2)(1)3 1 ft t 2 分 因为矩阵M的一个特征值为 4，所以(4)630ft，所以2t 5 分 所以 23 21 M，所以 1 1313 2 13 22 13 244 2211 2 13 22 13 222 M10 分 B选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的 极坐标方程为(cossin )12，曲线C的参数方程为 2 3cos 2sin x y （为参数，R）.在曲 线C上点M,使点M到l的距离最小，并求出最小值. 解：由:cossin120l，及cosx，siny， 所以l的直角坐标方程为120 xy 2 分 在曲线C上取点 2 3cos2sinM，则点M到l的距离 4sin12124sin 2 3cos2sin12 33 222 d ，6 分 当 6 时，d取最小值4 2，8 分 此时点M的坐标为3,110 分 C选修选修 45：不等式选讲不等式选讲 （本小题满分 10 分） 已知正数, ,x y z满足1xyz，求 111 + 222xyyzzx 的最小值. 解：因为xyz， ，都为正数，且1xyz， 所以由柯西不等式得， 111 3() 222xyyzzx 111 () (2 )(2 )(2 ) 222 xyyzzx xyyzzx 5 分 2111 (222 )9 222 xyyzzx xyyzzx ， 当且仅当 1 3 xyz时等号成立， 页 9 第 （第 22 题） B A C x y z B1 A1 C1 所以 111 222xyyzzx 的最小值为 310 分 第第 22 题题、第、第 23 题题，每题，每题 10 分，共计分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤 22.（本小题满分 10 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AAB B为正方形，侧面 11 BBC C为菱形， 11 60BBC o，平 面 11 AAB B 平面 11 BBC C. （1）求直线 1 AC 与平面 11 AAB B所成角的正弦值； （2）求二面角 1 BACC的余弦值. 解： （1）因为四边形 11 AAB B为正方形，所以 1 ABBB， 因为平面 11 AAB B 平面 11 BBC C，平面 11 AAB BI平面 111 BBC CBB， AB 平面 11 AAB B，所以AB 平面 11 BBC C. 2 分 以点B为坐标原点，分别以BA, 1 BB所在的直线 为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz. 不妨设正方形 11 AAB B的边长为 2， 则2 0 0A， ， 1 0 2 0B， ， 在菱形 11 BBC C中，因为 11 60BBC， 所以 1(0 1 3) C， ，所以 1 ( 2 1 3)AC uuuu r ， ， 因为平面 11 AAB B的法向量为0 0 1， ，n， 设直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角为， 则 1 |3| 6 sin|cos,| 4 2 2 1 AC uuuu r n， 即直线 1 AC与平面 11 AAB B所成角的正弦值为 6 4 6 分 （2）由（1）可知， 0 1 3C，所以 1 0 2 0CC uuuu r ， ， 设平面 1 ACC的一个法向量为 1111 xyz，n， 因为 11 11 0, 0, AC CC uuuu r uuuu r n n 即 111 111 2 1 30 0 2 00 xyz xyz ， ， ， ， ， 取 1 3 2 x ， 1 0y ， 1 1z ，即 1 3 0