2020届河南省洛阳市高三第一次统一考试数学（理）试卷

AB.C.D . 12.已知正项数列a，的前11项和为S，11，且65,f十3a”2.若对于任意 实数2,2，不等式卫！.！O),A为右顶，点，过坐标原点。的直线交椭圆C IF 于P,Q两点，线段AP的r:J-. 为M，直线QM交.T轴于N(2,0），椭圆C的离心率为3，则 椭圆C的标准方程为 16.已知函数f(x)= ln工2仰，别工）上a ，且f（工）g（工）。在定义域内恒成 立，则实数的取值范阁为 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤 17. （本小题满分12分） 在t6.ABC中，角A,B,C对应边分别为a,b,c. (1）若61-BC的而积S满足4J3S+c22 +t/.,c 汀，4且bc ，求b的倍； (2）若a =J 言 ，A互且6ABC为锐角三角形，求.6ABC周长的范围 3 18. （木小题满分12分） 如阁，已知四边形ABCD为等腰梯形，BDEF为正方形，平面 BDEF _l平面ABCD ,AD II BC ,AD= AB= 1 ，ABC= 60。 (1）求证：平面CDEJ_平面BDEF; (2）点M为线段EF上一动点，求ED与平面BCM所成角正弦 值的取值范到 19 （本小题满分12分） 过点P(O.2）的直线与抛物线C:x2= 4y相交于A、B两点 (1）若灭Ji= z PB，.点A在第一象限，求直线AB的方程； 高三数学（理）第3页 （共4页）(2020. 01) (2）若A,B在直线y=-2上的射影分别为儿，Bi，线段A1B1的中点为Q, 求证BQII PA1. 20. （本小题满分 12分） 1 1 设函数f( X) = ex ( X -2）一 kx 3十一位2 3 2 (1）若k=l，求！川的单调区间； (2）若f(x）存在三个极值点X1, X2，句，且X1 Zxz. 21. （本小题满分12分） “公平正义 ” 是社会主义和谐社会的重要特征是社会主义法治理念的价值追求“考 试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用每次考试过后 ，考生最关心 的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？ 某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中 275个高薪职位 和25个普薪职位实际报名人数为2000名，考试满分为400分 一般地，对于一次成功的 考试来说，考试成绩应服从正态分布）考试后考试成绩的部分统计结果如下： 考试平均成绩是180分， 360分及其以上的高分考生30名 (1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数） (2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取 ，请说明 理由 参考资料：(1）当XN怡，Z）时，令Y主二丘，则YN(O;l). (2）当YN(O,l)时，P(Y2. 17)勾0. 985 ,P 0 ,b 0) . az bz 的左，右焦点，0为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且 满足IF,F2 I= 2 I OP I ,tanL三PF2F1= 4，则双曲线C的离心率为 . /1 7 17 A.,/5 B. 5C.工 3 9 10.设Jb：） 是定义在R上的函数，满足条件f(x+1) = f(-x+ 1)，且当z1时， f（工）e-3,YWa二JClogz7) ,b = f(3一句， C= f(3 一1 .5.）的大小关系是 A.a. b cB. C b.C. b c D.c b 11.正方体ABCD-A,B,CiD，的棱长为1，点E为棱cc，的 中点下列结论：线段 BD上存在点F，使得CFf平面AD1E；线段BD上存在点F，使得CF_l平面 AD,E；平面AD1E把正方体分成两部分，较小部分的体积为工其巾所有正确 24 的序号是 高三数学（理）第2页（共4页）(2020. 01) 理 数学试卷参考答案 一、选择题1-5 CBDCB 二、填空题 11-12 CA6-10 BCACB 16. a I a = e2或 t:.,e 15.豆i.= 1 36 20 14. -913. ,/f百 三、解答题 分分 17. (1）由条件和正弦定理得 4./3S + c2 = 2./3 ahsinC + c2 = a2 + b 2 , 即2./3ah sinC 2 + b2 _ c2. 将余弦定理a2+ b 2 -c 2 = 2ahcosC 代人上式时sinC = cosC, NP tanC 子，因为C川，所以C号 4分 将c 疗， 4,C 互代人c2 = a2 + b 2 2ahcosC，得b 2 4./3 b + 9 = 0 6 6分 结合条件bc得b = 3./3. (2）由正弦定理得一一_ = 2 sinA sinB sinC 7分 所以b十c= 2(sinB十sinC) = 2sinB + sin(rr B互） = 2sinB + sin（ B) 3 =2个inB 字叫） = 2./3 sin(B 号） 9分 因为A十B+C ，且A 互及锐角角形得Bco，王）且（主B）co 3 - 2 3 分 2 ./3 . 所以互 B 互一即一sm(B 一）1.所以（b十c）（3,2./3. 6 3 . 2 6 主），所以互B互 2 6 11分 12分 所以周长b十c范围是 C3 疗，3 18. (1）证明：在等腰梯形ABCD中，ADII BC ,AD = AB = 1，ABC= 60 。 ， BAD CDA = 120。，ADB = 30。， BD = ,/AB 2 +AD2 -2AB AD cosl20。 ./3. CDB = 90。 2分 (2020. 01) （共5页）第1页 高兰数学答案（理） 即BD_l CD. 3分 又 平面BDEFi平面ABCD，平面BDEFn平面ABCD=BD,CD C平 面ABCD, CD上平面BDEF, 4分 CD C平面CDE, 平面CDEi平面BDEF. 5分 (2）解：由(1）知，分别以直线DB，町，DE为z轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 系，设 EM =m(Om./3），则B(.j言，0,0),C(0,1,0) ,D(0,0,0) ,M(m,0,./3), 亘古（.言，1,0),B政(m .言，0,./3),1冠（疗，0,0), 6分 设平面BMC的法向量为n = (x,y，材， （二百二0tv3x户。 一，即 BM = 0 lCm-./3)x十./3z=O 令X=.j言，则y= 3,z = J3 m, 平面BMC的一个法向量为二（.言，3,./3-m). 8分 设BD与平面BCM所成角为（） sin() = I cos 二，亘古 _ lBDI _ J3 一们南DI -V(m-./3)2十12 当m = 0时取最小值子，当m =./3时取最大值， 故皿与平面 BCM所成角正弦值的取值范围为宁主 分分 12分 19.解：(1） 设AB方程为y二是x+ 2(k 0) ,A(x1 ,Y1) ,B(x2 ,Y2) ,x1 0, rx 2 = 4y, 联立方程消去y 得：x 2 -4kx - 8 = 0,.6 = 16厅十 32 0. ly = kx + 2. - （冉冉 8, 2分 X1 岛 性 又互芦（屿，2Y1),PB = （岛，只2) 由互芦2n得：工1= 2x2 4分 代人解得k = _!_, 5分 2 直线AB的方程为：y = _!_x+2，即z2y+4 = 0. 2 由得A1Cx1, -2) ,B1 Cx2, -2) ,Q咛旦， 2) 6分 7 分 高兰数学答案（理）第2页（共5页）(2020. 01) (2) J (x) = ex (x -2) + ex -kx2 + kx = (ex -kx) (x -1) f(x）有三个极值点， 方程ex-kx=O有两个不等根，且都不是 1, 令g(x)= ex一 缸， 是0时，g(x）单调递增，以x)= 0至多有一根， kO解g(x) 0 得X lnk，解g(x) 0 得X O,lnk l,g(l) = e k e时，J(x) = 0有三个根矶山2，岛，且 0 O,h(x) O, 解J(x) 0得xl，解J(x)0 cp(t）在 (1 ，十）上递增， 二r3十二r1 2xz. X3十二LI2, cp(t) (1) = 0. 1 lnx3 -lnx1 2 一、-一 X3 X1 X3 町 12 分 分 21. (1）设考生成绩为X，则依题意X应服从正态分布，即XNC180 ， 2). X-180 令Y 一一一一一，则YN(0,1). 3 分 30 由360分及其以 上的高分考生30名可得PCX 飞 360) 一一，即 2000 30 360 -180 P(X 360) = 1 一一一句0 985，亦即P(Y 267，所以能被录取 286 -180 P ex 286) = P CY ) = P CY 1. 28）0.90，表明不低于考生 甲 83 的成绩 的人数约为总人数的10. 90 = 0. 10, 20000. 1200，即 考生甲大约排 在第200名， 排在275名之前，所以他能获得高薪职位12分 1分 2分 22. (1）由已知得，圆心 C(6 ， 王）的直角坐标 为C(3,3,/3) ,r = 3, 3 所以C的直角坐标方程为（x-3)2+(y-3,v3)2= 9, rx = 3十3cos( 所以圆C的参数方程为4（为参数） lY = 3,/3 + 3sin(J . 4分 (2 ）由 (1 ）得，圆C的极坐标方程为2_6（cos（ 十,/3sin（）十27 = O, . 6 分 即2均sin（号）-27. 7分 (2020. 01) （共5页）第4页 设 PC，的，QC1, (l ) , 高兰数学答案（理） I OP I : I PQ I = 2 : 3, ：1 = 2: 5 ，又（） = fJ1. 8分 将 1 = t 户。 1 二 州人C的极坐标方程，得2矿120sin（）十 号 ）十108 二O, 9分 即动点P轨迹的极坐标方程为均2-120sin（） 号 ）+108二O -3