辽宁省大连市2020届高三双基测试数学（理）试题 含答案

1 2020 年大连市高三双基测试年大连市高三双基测试 数学（理科）参考答案与评分标准 数学（理科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应 得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一选择题一选择题 （1）（A）；（2）（B）；（3）（D）；（4）（A）；（5）（C）；（6）（B）； （7）（D）；（8）（C）；（9）（B）；（10）（D）；（11）（C）；（12）（C），（D）. 二二.填空题填空题 （13）2； （14）1； (15)4 3； 16 9 , 42 . 三三.解答题解答题 （17）(本小题满分 12 分) 解： (I)连接AC，CE，ACE即为所求，3 分 ABCD是菱形，ADAB，又PAAB，ADPA， E为PD中点，AEPD，同理CEPD， 又AECEE，AECE，PD.6 分 (II) 连接BD，交AC于O，连接PO， ABCD是菱形，ACBD，且O为AC，BD中点， PAPC，ACPO， 同理BDPO， 又ACBDO， ，平面ACBDABCD，POABCD面， 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间 直角坐标系， 7 分 设2PAPCAB，60ABC，2AC，2 3BD ，各点坐标为 (0, 1,0)A，( 3,0,0)B， (3,0,0)D ，(0,0, 3)P ( 3,0, 3)DP ，( 3,1,0)AB ，(0,1, 3)AP ， E D CB A P z y x O E D CB A P 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 2 PD，平面的一个法向量为( 3,0, 3)DP ， 8 分 设平面PAB的一个法向量为( , , )x y zn， 则 0 0 AB AP n n ，即 30 30 xy yz ，设1x ，则3y ，1z ， (1,3,1)n， 10 分 设平面与平面PAB所成的锐二面角大小为， 则 2 310 cos|cos,| | 5|65 DP DP DP n n |n 综上平面与平面PAB所成的锐二面角余弦值为 10 5 12 分 (18)(本小题满分 12 分) 解：（）方法一： n a n 是公比为2的等比数列， 21 21 2,4 21 aa aa2 分 又 2 n n a 是公差为1的等差数列， 21 21 1 22 aa ，4 分 解得 1 2 2 8 a a 6 分 方法二： n a n 构成公比为2的等比数列， 1 1 (1) 1 2,2 n nn n a n n aa a n n 2 分 又 2 n n a 构成公差为1的等差数列， 1 1 1 22 nn nn aa 4 分 由解得：2n n an 1 2 2 8 a a 6 分 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 3 （） 1 1 22 ,2 1 nnn n n aa an n 7 分 方法一： 123 123 1 22 23 22 n nn Saaaan 2341 21 22 23 22 n n Sn9 分 两式作差可得： 23111 2(1 2 ) 222222(1) 22 1 2 n nnnn n Snnn ， 1 (1) 22 n n Sn 12 分 方法二： 1 2(22) 2(24) 2() nnn n annnnN ，9 分 设 1 (24) 2n n bn ，则 1nnn abb . 122132111 ()()()(22) 22 n nnnnn Saaabbbbbbbbn ， 1 (1) 22 n n Sn 12 分 (19)(本小题满分 12 分) 解：(I)设事件A表示：辩论队员甲收到队长的通知信息， 则 3 ( ) 8 P A ， 5 ( ) 8 P A ， 1 分 设事件B表示：辩论队员甲收到副队长的通知信息， 则 3 ( ) 8 P B ， 5 ( ) 8 P B ， 2 分 设事件C表示：辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息， 则 2 539 ( )1( ) ( )1 ( ) 864 P CP A P B ， 所以辩论队员甲收到队长或副队长的通知信息的概率为 39 64 . 4 分 (II)由题意可得随机变量X可取值为 3，4，5，6， 5 分 则 3 8 33 88 1 (3) 56 C P X CC ， 211 865 33 88 15 (4) 56 CCC P X CC ， 122 875 33 88 15 (5) 28 CCC P X CC ， 33 85 33 88 5 (6) 28 CC P X CC ， 9 分 所以随机变量X的分布列为： 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 4 X 3 4 5 6 P 1 56 15 56 15 28 5 28 10 分 其数学期望 11515539 ()3456 565628288 E X 12 分 (20) （本小题满分 12 分） 解：（） 2 222 1 2 1(2)1 ( ) (1)(1)(1) xa axax x g x xxxxx 1 分 1 0,222xxaa x ，4a 时，( )0g x恒成立， 所以( )g x在(0,)单调递增，没有单调递减区间.2 分 4a 时，设 2 ( )(2)1m xxax，则对称轴 2 0 2 0,40 2 a xaa ， 解不等式( )0m x 可得： 2 (2)4 2 aaa x ，或 2 (2)4 2 aaa x . 所以此时( )g x的单调递增区间为 2 (2)4 (0,) 2 aaa 和 2 (2)4 (,) 2 aaa ， 单调递减区间是 22 (2)4(2)4 (,) 22 aaaaaa .3 分 综上： 4a 时，单调递增区间是(0,)，没有单调递减区间； 4a 时，单调递增区间为 2 (2)4 (0,) 2 aaa 和 2 (2)4 (,) 2 aaa ， 单调递减区间是 22 (2)4(2)4 (,) 22 aaaaaa .4 分 （）（i） 1 ( )( )(1)ln(1) x h xfxf xaxexax ， 1 ( ) 1 x h xea x 在(0,)单调递增，又因为(0)0ha ， ln(1) 1ln(1) (ln(1)0 ln(1) 1ln(1) 1 a a haea aa ， 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 5 0 (0,ln(1)xa，使得 0 ()0h x，且 0 (0,)xx时，( )0h x， 0 (,)xx时， ( )0h x， ( )h x在 0 (0,)x单调递减， 0 (,)x 单调递增， ( )h x在(0,)上有且仅有一个零点，所以此零点为极小值点 0 x.8 分 （ii）由（i）得 0 0 ()0 ()0 h x h x ，即 0 0 0 00 1 0 1 ln(1)0 x x ea x exax ， 解得： 0 0 1 1 x ae x ，且 0 0 00 0 (1)ln(1)0 1 x x xex x .9 分 设( )(1)ln(1) 1 x x u xxex x ，（(0,ln(1)xa） 22 111 ( )() 1(1)(1) xx u xx exe xxx ， 则( )u x在(0,ln(1)xa单调递减. 因为 1131 ( )ln0 2223 ue， 1 (1)ln20 2 u ， 0 1 ( ,1) 2 x.11 分 又因为 1 ( ) 1 x v xe x 在 1 ( ,1) 2 单调递增， 1 2 121 ( ), (1) 232 veve， 1 2 21 32 eae12 分 (21)（本小题满分 12 分） 解：（） 1 2 c a ， 22 22 1 43 xy cc ，又椭圆E经过点 3 (1, ) 2 ， 1c ，椭圆E的标准方程为 22 1 43 xy . 3 分 （）方法一：l的方程为ykxm，设 1122 ( ,),(,)C x yD xy， 联立方程组 22 1 43 xy ykxm ，化简得 222 (43)84120kxkmxm， 由0 解得 22 34km，且 2 1212 22 8412 , 4343 kmm xxxx kk . 4 分 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 6 1212 1212 9 22224 ACAD yykxm kxm kk xxxx ， 22 1 212 (49)(418)()4360kx xkmxxm， 2 22 22 4128 (49)(418)4360 4343 mkm kkmm kk 6 分 化简可得： 22 230kkmmkm或2km（舍），满足0 7 分 直线l的方程为ykxk， 直线l经过定点( 1,0). 8 分 方法二：设l的方程为xmyn，设 1122 ( ,),(,)C x yD xy， 联立方程组 22 1 43 xy xmyn ，化简得 222 (34)63120mymnyn， 0 解得： 22 34mn，且 2 1212 22 6312 , 3434 mnn yyyy mm 4 分 1212 1212 9 22(2)(2)4 ACAD yyy y kk xxmynmyn ， 22 1212 (94)9 (2)()9(2)0my ym nyyn， 6 分 2 22 22 3126 (94)9 (2)9(2)0 3434 nmn mm nn mm 化简可得： 2 320nn，1n 或者2n （舍）满足0 7 分 直线l经过定点( 1,0). 8 分 方法三：设 2 xx yy ，则有 22 (2)() 1 43 xy ， 22 ( )() 0 43 xy x， 设l方程为1mxny， 22 ( )() ()0 43 xy x mxny， 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 7 2 1 0 34 k nkm， 12 1 9 4 1 4 3 m k k，1m， :1l xny， 21 xny，1 xny， 直线l经过定点( 1,0). 8 分 （）方法一：l的方程为ykxm，设 1122 ( ,),(,)C x yD xy， 联立方程组 22 1 43 xy ykxm ，化简得 222 (43)84120kxkmxm， 由 22 =48(43)0km，且 2 1212 22 8412 , 4343 kmm xxxx kk . 0OCODOB，点 1212 (,)Bxxyy， 又点B在椭圆E上， 22 1212 ()() 1 43 xxyy ， 2222 11221212 22 1 434343 xyxyx xy y ， 1212 1 432 x xy y . 22 22 121212 2 3(4) =() 43 mk y yk x xkm xxm k 222 22 22 341 ,4430 43432 mmk mk kk 9 分 222 22 22 48(43)12|3 1 |1= 1 434| kmmk CDkk kmm .10 分 点点B到直线l距距离 12121212 22 | ()()| ()()| = 11 kxxyymkxxkxmkxmm d kk 11 分 2 3| = 1 m k 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 8 . 19 | 22 BCD SCD d. 方法二：前面同法一 点点O到直线l距离 2 | 1 m d k 11 分 13 | 22 OCD SCD d ， 9 3 2 BCDOCD SS . 12 分 方法三：设(2cos , 3sin),(2cos , 3sin)CD， 0OCODOB，点( 2cos2cos ,3sin3sin)B， 又点B在椭圆E上， 22 ( 2cos2cos)(3sin3sin) 1, 43 1 cos() 2 ，10 分 1 |( 2cos2cos) ( 3sin3sin) 2 BCD S 11 2cos3sin)( 2cos3sin)| 22 (-） （-11 分 3 3|sin()| 2 ， 9 3 2 BCDOCD SS . 12 分 (22)（本小题满分 10 分）选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解：(I) 2 sin4cos， 22 sin4 cos， 曲线C的直角坐标方程为 2 4yx， 3 分 直线l的参数方程为 2cos sin xt yt （t 为参数）， 5 分 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 大连教育学院 9 (II) 2cos sin xt yt 与 2 4yx联立可得： 22 sin4 cos80tt ， 0 ， 12 2 4cos sin tt ， 1 2 2 8 sin t t ， 所以 2 2 42 121 2 22222 2 121 2 2 16cos16 ()21111161 sinsin 8 |()644 () si