2020届湖南师大属中高三上学期第二次月考数学（文）试题

- 1 - 数 学(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 10 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 得分：_ 第卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1已知集合 A x|1x5 ，B x|x23x20 ，则AB(B) A. x|2x5 Bx|2x5 C. x|2x5 D. x|2x5 【解析】Ax|1x5，Bx|x23x20x|1x0” 若方程有实根， 则14m0， 即 m 1 4，不能推出 m0.所以不是真命题 3用二分法求函数 f( ) x ln( )x1 x1 在区间 0，1 上的零点，要求精确度为 0.01 时，所需二分区 间的次数最少为(C) A5 B6 C7 D8 【解析】开区间( )0，1 的长度等于 1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过 n 次操作后， 区间长度变为 1 2n， 精确度为 0.01， 1 2nsin 4，B 4，故 cos B 1 3，故 sin C 4 2 6 ，由 a sin A c sin C 得：c4 2 2.故选 A. - 2 - 5已知 xy10， 7xy70， x0，y0， 表示的平面区域为 D，若 (x，y)D，2xya 为真命题，则实数 a 的取值 范围是(A) A5，) B2，) C1，) D0，) 【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示， 结合目标函数的几何意义可得目标函数 z2xy 在点 B 处取得最大值， 联立直线方程 xy10， 7xy70 可得 x 4 3， y 7 3， 即 B 4 3， 7 3， 则 zmax2 4 3 7 3 5. 结合恒成立的条件可知 a5，即实数 a 的取值范围是 5，)故选 A. 6已知点(1，2)和 3 3，0 在直线 l：axy10(a0)的两侧，则直线 l 倾斜角的取值范围是(C) A. 4， 3 B. 2 3， 5 6 C. 0， 3 3 4， D. 3， 2 3 【解析】点(1，2)和 3 3，0 在直线 l：axy10(a0)的两侧， (a21) 3 3a1 0，解得1A 2B0，所以 sin Asin 2B cos B. 因为 f(x)在0，1上为增函数，所以 f(sin A)f(cos B)选 A. 12定义：对于函数 yf(x)，xD.若存在常数 c，对于任意 x1D，存在唯一的 x2D，使得 f（x1）f（x2） 2 c，则称函数 f(x)在 D 上的“均值”为 c.若 f(x)lg x，x 10，100，则函数 f(x)lg x 在 10，100上的“均值”为(C) A. 3 2 B. 3 4 C. 5 4 D10 【解析】假设存在常数 c，对于任意 x1 10，100，存在唯一 x2 10，100， 使得 lg x1lg x2 2 c，即 x1x2102c，则 x2 102c x1 . 故当 x1 10， 100时，x2 102c 100， 102c 10 ，又 x2 10，100， - 5 - 102c 100 10， 102c 10100， 从而 102c100 10，即 102c10 5 2 ， c 5 4.故选 C. 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C C A A C D D D B A C 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为 选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 13观察下列式子：1 1 22 3 2，1 1 22 1 32 5 3，1 1 22 1 32 1 420，则 kPBk(k0)，(6 分) 所以直线 PA 的方程为 y1k(x2)， 联立 y1k() x2 ， x2 8 y2 21， 解得( )14k2 x2( )8k16k2 x16k216k40， 设 A(x1 ，y1)，B(x2，y2 )， 因为 2，x1是该方程的两根， 所以 2x1 16k216k4 14k2 ，即 x1 8k28k2 14k2 ，(8 分) 同理直线 PB 的方程为 ykx2k1，且 x2 8k28k2 14k2 ， - 10 - 所以 x1x2 16k24 14k2，x1x2 16k 14k2， 所以 kAB y1y2 x1x2 k（x1x2）4k x1x2 1 2， 即直线 AB 的斜率为定值 1 2.(12 分) 21(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)mln x 1 2x 2(mR，m0) ()若 m2，求 f(x)在(1，f(1)处的切线方程； ()若 yf(x)在 e，e上有零点，求 m 的取值范围 【解析】()m2 时，f( ) 1 1 2，f( ) x 2 xx， f( ) 1 1.故所求切线方程为 y 1 2x1，即 2x2y30.(4 分) ()依题意 f( ) x m xx 1 x( )mx()mx ， 当 00，此时函数 yf(x)无零点)(8 分) 当 e0. 故只需 f(e)0，即 m 1 2e 20，又 ee 2 2， 故此时 e0，t20， 由参数 t 的几何意义可知，| |PA| |t1，|PB| |t2， 所以 1 |PA 1 |PB 1 | |t1 1 | |t2 1 t1 1 t2 t1t2 t1t2 1 3 2 .(10 分) 23(本小题满分 10 分)选修 45: 不等式选讲 已知函数 f(x)| |xa | |x2. ()若 f(x)的最小值为 3，求实数 a 的值； ()若 a2 时，不等式 f(x)4 的解集为 A，当 m，nA 时，求证：| |mn4 2| |mn. 【解析】()因为 f( ) x | |xa | |x2 | | ()xa ( )x2 | |a2， 当且仅当( )xa()x2 0 时取“”号， 所以| |a2 3，解得 a1 或5.(5 分) ()当 a2 时，f( ) x | |x2 | |x2 2x，x2， 4，2x2， 2x，x2， 当 x2 时，由 f( ) x 4，得2x4，解得 x2，又 x2，所以不等式无实数解； 当2x2 时，f( ) x 4 恒成立，所以2x2； 当 x2 时，由 f( ) x 4，得 2x4，解得 x2； 所以 f( ) x 4 的解集为 Ax|2x2 - 12 - ()mn4 2 4( )mn 2 ( )m2n28mn16 4( )m2n22mn