2020年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）

第 1 页，共 14 页 2020 年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科）年四川省达州市高考数学一诊试卷（理科） 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 设集合 A=x|-1x2，B=-1，0，1，2，3，则 AB=（ ） A. -1，0，1，2 B. 0，1，2 C. 0，1 D. x|-1x2，或 x=3 2. 若向量 =（4，2）， =（6，k），则 的充要条件是（ ） A. k=-12 B. k=12 C. k=-3 D. k=3 3. 在 30 名运动员和 6 名教练员中用分层抽样的方法共抽取 n 人参加新闻发布会，若 抽取的 n人中教练员只有 1 人，则 n=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 己知直线 a，b，l，平面 ，下列结论中正确的是（ ） A. 若 a ，b ，la，lb，则 l B. 若 a ，ba，则 b C. 若 ，a ，则 a D. 若 ，l，则 l 5. 若 a=0.30.2，b=log0.12，c=0.3 -0.1，则 a，b，c的大小关系为（ ） A. cab B. bac C. acb D. bca 6. 二次项的展开式中常数项为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 已知直线 y=-x+3与圆 x 2+y2-2x-2y=0 相交于 A，B两点，则|AB|=（ ） A. B. C. D. 2 8. 斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实 物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹 槽（长方体去掉一个小长方体）组成若棱台两底面面积分别是 400cm2，900cm2， 高为 9cm，长方体形凹槽的体积为 4300cm3，斗的密度是 0.70g/cm3那么这个斗的 质量是（ ）注：台体体积公式是 A. 3990g B. 3010g C. 7000g D. 6300g 第 2 页，共 14 页 9. 若实数 x，y 满足 ，则 2x-y的最大值为（ ） A. -2 B. 0 C. 7 D. 9 10. 已知函数在区间（0，+）上为增函数，则实数 a 的取值范 围是（ ） A. 0，1 B. 0，+） C. （-1，+） D. （-1，1） 11. 已知 A是双曲线 D：右支上一点， B、 C 分别是双曲线 D 的左、 右焦点 记 ABC 的内角为 A，B，C，当|AC|=8 时，=（ ） A. 1 B. C. D. 2 12. 过抛物线 C：y2=4x 焦点的直线交该抛物线 C 于点 A，B，与 抛物线 C 的准线交于点 P，如图所示，则的最小值是 （ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 己知随机变量 y 与 x 有相关关系，当 x=3时，y 的预报值为_ 14. 复数的实部为_ 15. 已知函数 f （x） =2sin （x+）图象的相邻两条对称轴的距离为 ， 且，则=_ 16. f（x）是定义域为 R的偶函数，对 xR，都有 f（x+4）=f（-x），当 0x2时， ，则=_ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 84.0 分） 17. 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD 是正方形，PD底面 ABCD，点 E是 PC 的中点 （1）求证：PA平面 EDB； （2）若 PD=AD=2，求二面角 C-ED-B 的余弦值 第 3 页，共 14 页 18. 我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高，某市随机统计 了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为 P元） 的情 况，并根据统计数据制成如下频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图估算 P的平均值 ； （2） 视样本中的频率为概率， 现从该市所有住户中随机抽取 3 次， 每次抽取 1户， 每次抽取相互独立，设 为抽出 3户中 P值不低于 65 元的户数，求 的分布列和 期望 E（） 19. 己知数列an满足 a1=1， （1）求证：数列为等比数列： （2）求数列an的前 n 项和 Sn 第 4 页，共 14 页 20. 已知椭圆 C：过点，且以 F1（-c，0），F2（c，0）（c 0）为焦点，椭圆 C的离心率为 （1）求实数 c的值； （2）过左焦点 F1的直线 l与椭圆 C 相交于 B、D两点，O为坐标原点，问椭圆 C 上是否存在点 P，使线段 BD 和线段 OP相互平分？若存在，求出点 P 的坐标，若 不存在，说明理由 21. 已知 f（x）=（x-m）ex （1）当 m=2时，求函数 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程； （2）若函数 f（x）在区间（-1，0）上有极小值点，且总存在实数 m，使函数 f（x） 的极小值与互为相反数，求实数 a的取值范围 22. 在新中国成立 70周年国庆阅兵庆典中，众多群众 在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之 情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线， 其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标 系中，以原点 O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐 标方程为 =1-sin（p=1-sin，0），M为该曲 线上的任意一点 （1）当时，求 M 点的极坐标； （2）将射线 OM绕原点 O逆时针旋转 与该曲线相交于点 N，求|MN|的最大值 第 5 页，共 14 页 23. 己知函数 f（x）=|x+1|+2|x-1| （1）求不等式 f（x）x+5 的解集； （2）若|x1-x2|1，求证：f（x1+x2）+f（2x1）3 第 6 页，共 14 页 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：A=x|-1x2，B=-1，0，1，2，3， AB=0，1，2 故选：B 进行交集的运算即可 本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2.【答案】D 【解析】解：由向量 =（x1，y1），向量 =（x2，y2），他们平行的充要条件是：x1y2=x2y1 则有若向量 =（4，2）， =（6，k）， 则 的充要条件是：4k=2 6， 即 k=3， 故选：D 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 本题主要考查充分条件和必要条件的判断， 根据充分条件和必要条件的定义是解决本题 的关键 3.【答案】B 【解析】解：在 30 名运动员和 6 名教练员中用分层抽样的方法共抽取 n 人参加新闻发 布会， 若抽取的 n 人中教练员只有 1人，则 =， 求得 n=6， 故选：B 由题意利用分层抽样的定义，求出 n 的值 本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题 4.【答案】D 【解析】解：A 错，直线垂直平面内两条相交直线才垂直平面，缺少条件直线 a，b相 交； B 错，平面外一条直线平行平面内一条直线才平行于平面，缺少条件 b ； C错，两个平面垂直，一个平面内的直线可能平行，相交，垂直于另外一个平面 D对，直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另外一个平面 故选：D 通过对立体几何的定义，定理得了解，可判断对错 本题考查对立体几何知识点的理解，属于基础题 5.【答案】A 【解析】解：y=0.3x是单调递减函数； 0a=0.30.20.30.1=c0.30=1， 又因为 b=log0.12log0.11=0， a，b，c 的大小关系为 bac 第 7 页，共 14 页 故选：A 利用指数函数、对数函数的单调性直接求解 本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 6.【答案】D 【解析】解：利用二次项定理的通项公式，求得二次项的展开式通项公式为 ， 令 6-2r=0，求得 r =3，可得常数项为， 故选：D 由题意利用二次项定理的通项公式，求得展开式中常数项 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题 7.【答案】C 【解析】解：由 x2+y2-2x-2y=0，得（x-1）2+（y-1）2=2 圆 x2+y2-2x-2y=0 的圆心坐标为（1，1），半径为 圆心到直线 x+y-3=0的距离 d=， |AB|= 故选：C 由圆的方程求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长 本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题 8.【答案】C 【解析】解：依题意，又长方体形凹 槽的体积为 4300， 故“斗”的体积为 10000cm3， 其质量为 10000 0.7=7000g 故选：C 由题意，求出“斗”的体积，再利用 m=V求解即可 本题主要考查台体的体积计算，同时也跨学科考查了质量，密度，体积之间的关系，考 查运算求解能力，是基础题 9.【答案】D 【解析】解：实数 x，y满足的 可行域如图所示： 联立，解得 A（4，1） 化目标函数 z=2x-y 为 y=2x-z， 由图可知，当直线 y=2x-z过 A 时， 第 8 页，共 14 页 直线在 y轴上的截距最小，z 有最大值为 2 4+1=9 故选：D 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立 方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 10.【答案】B 【解析】解：函数在区间（0，+）上为增函数， f（x）0在区间（0，+）上恒成立， ax+2a+ 0 在区间（0，+）上恒成立， a在区间（0，+）上恒成立， y=x2+2x 在区间（0，+）上单调递增，x2+2x0， -0， a0， 故选：B 把函数在区间 （0， +） 上为增函数转化为 f （x） 0在区间 （0， +） 上恒成立， 再分离参数法转化为求-的最大值， 因为-0， 所以得到 a0 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题 11.【答案】A 【解析】解：A 是双曲线 D：右支上一点，B、C分别是双曲线 D 的左、右焦 点 可得 B（-6，0），C（6，0），|BC|=12， 由|AC|=8，可得|AB|=2a+|AC|=2+8=10， 在ABC中，cosB= ，= = ， 可得=2 =1， 故选：A 求得双曲线的焦点坐标，运用双曲线的定义可得|AB|，在ABC 中，运用正弦定理和余 弦定理，结合二倍角的正弦公式，计算可得所求值 本题考查双曲线的定义、方程和性质，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及二倍 角的正弦公式，考查化简运算能力，属于中档题 12.【答案】A 【解析】解：抛物线 C：y2=4x焦点（1，0）， 设直线 PB方程为：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线 PB 与抛物线的方程得， k2x2-（2k2+4）x+k2=0， x1+x2=，x1x2=1，y1y2=-2， 第 9 页，共 14 页 y1+y2=k（x1-1）+k（x2-1）=k（x1+x2）-2k=k-2k= ， P（0，-k）， 所以=（x1，y1+k）（x2，y2+k）=x1x2+y1y2+k（y1+y2）+k2， =+ （-2） +k+k2=k2+ +42=8， （当且仅当 k2= ， 即 k=-时取“=”） ， 则的最小值是 8， 故选：A 物线 C：y2=4x 焦点（1，0）设直线 PB 方程为：y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2） 联立直线PB与抛物线的方程得 k2x2- （2k2+4） x+k2=0， 由韦达定理得 x1+x2= ， x 1x2=1， y1y2=-2，y1+y2=k（x1-1）+k（x2-1）=k（x1+x2）-2k=k-2k= ，用坐标表示，再 求最小值即可 本题考查的是直线与抛物线相交问题，以及向量，属于中档题 13.【答案】7 【解析】解：随机变量 y 与 x 有相关关系， x=3时，y 的预报值为 2 3+1=7 故答案为：7 直接在线性回归方程中取 x=2求得 y值即可 本题考查线性回归方程，是基础的计算题 14.【答案】 【解析】解：=， 复数的实部为 故答案为： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 15.【答案】 【解析】解：函数 f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为 ， = 得 T=，即 =， 得 =2， 即 f（x）=2sin（2x+）， ， 第 10 页，共 14 页 =2sin（ +）， 即 sin（ +）=1， 0 ， += ， 得 = - = ， 则 f（x）=2sin（2x+ ）， 则=2sin（2+ ）=2sin（ + ）=2（sin cos +cos sin ）=2（ + ）=， 故答案为： 根据条件先求出函数的周期，及 ，结合条件建立方程求出 ，然后代入计算即可 本题主要考查三角函数值的计算，结合条件建立方程关系求出 和 的值是解决本题 的关键比较基础 16.【答案】 【解析】 解： 根据题意， f （x） 是定义域为 R 的偶函数， 对 xR， 都有 f （x+4） =f （-x） ， 则有 f（x+4）=f（x），即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， 则有 f（- ）=f（ ）=f（4+ ）=f（ ），f（21）=f（1+4 5）=f（1）， 又由当 0x2 时， 则 f（ ）=-1，f（1）=1， 则=f（ ）+f（1）=（-1）+1=； 故答案为： 根据题意，分析可得 f（x+4）=f（x），即函数 f（x）是周期为 4的周期函数，进而可 得 f（- ）=f（ ）=f（ ），f（21）=f（1），结合函数的解析式计算可得 f（ ）、f（1） 的值，相加即可得答案 本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题 17.【答案】解：（1）证明：连接 AC与 BD 相 交于 F，连接 EF 底面 ABCD是正方形， F为 AC 中点， 又 E 是 PC 的中点， EFPA， PA 平面 EDB，EF 平面 EDB， PA平面 EDB （2）以 D为原点，分别为 x，y，z 第 11 页，共 14 页 轴的正方向建立空间直角坐标系 D-xyz， |PD|=|AD|=2， D（0，0，0），E（0，1，1），B（2，2，0）， 取平面CED的一个法向量， 设平面EDB的一个法向量为， ， 由得 不妨令 z=1，解得 x=1，y=-1，即， ， 二面角 C-ED-B 的余弦值为 【解析】（1）只需证明 EFPA 即可 （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解 本题考查线面平行的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值， 考查逻辑推理能力及运 算求解能力，属于基础题 18.【答案】解：（1） =（30 0.014+40 0.026+50 0.036+60 0.014+70 0.01） 10=48 （2）由已知，三次随机抽取为 3 次独立重复试验，且每次抽取到十月人均生活支出增 加不低于 65元的的概率为 0.1， 则 B（3，0.1），P（=0）=0.729， P（=1）=0.243，P（=2）=0.027，P（=3）=0.001 的分布列为 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 E（）=3 0.1=0.3 【解析】（1）利用频率分布直方图直接估算 P的平均值 ； （2）三次随机抽取为 3 次独立重复试验，推出 B（3，0.1），然后求解分布列，求 出期望即可 本题考查频率分布直方图以及应用，其中频率=频数 样本容量=矩形的高 组矩，是处 理利用频率分布直方图问题关键独立重复实验的概率以及期望的求法，考查分析问题 解决问题的能力 19.【答案】解：（1）由， 两边同除以 n（n+1）得， 第 12 页，共 14 页 ， ， 数列是以 2为首项，2 为公比的等比数列 （2）由（1）有， .n2n- （1+2+3+n） = 令，+（n-1） 2 n+n2n+1， =， 则前 n 项和 Sn=（n-1）2n+1+2- 【解析】（1）将已知等式两边同除以 n（n+1），结合等比数列的定义，即可得证； （2）求得，由数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比 数列的求和公式，化简变形可得所求和 本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和错位相 减法求和，考查化简变形能力、运算能力，属于中档题 20.【答案】解：（1）椭圆方程为（ab0） 已知椭圆 C过点， F1（-c，0），F2（c，0）（c0）为椭圆 C的焦点， 椭圆 C的离心率为 ，c2=a2-b2 解得，b=1，c=1 （2）由（1）有椭圆 C 的方程为，F1（-1，0） 假设存在点 P 满足题意，且 BD和 OP 相交于点 Q（x0，y0） 当直线 l与 x 轴重合时，不满足题意 设直线 l的方程为 x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2） 联立得（2+t2）y2-2ty-1=0， 则， 将 x0，y0代入 有 第 13 页，共 14 页 解得，或， 故存在 P 使线段 BD 和 OP相互平分，其坐标为，或 【解析】（1）点在椭圆上得到结合离心率，以及 c2=a2-b2求解 即可 （2）设直线 l的方程为 x=ty-1，A（x1，y1），B（x2，y2）联立结合韦达 定理，通过线段 BD 和线段 OP相互平分推出关系式，求解坐标即可 本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用， 考查转化思想以及计 算能力是难题 21.【答案】解：（1）f（x）=x-（m-1）ex 当 m=2 时，f（x）=（x-2）ex，f（x）=（x-1）ex f（0）=-2，f（0）=-1， 所以，函数 f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为 y+2=-（x-0），即 x+y+2=0 （2）f（x）=x-（m-1）ex 得 x（-，m-1）时，f（x）0，x（m-1，+）时，f （x）0， 函数 f（x）在区间（-，m-1）上单调递减，在区间（m-1，+）单调递增， 函数 f（x）的极小值点为 m-1 由已知-1m-10， 0m1. 故在区间（0，1）上存在 m，使得 （0m1） 设 当 0m1 时， 函数 g（m）在区间（0，1）上递增