秘书问题与计算机模拟.ppt

秘书问题与计算机模拟,南京邮电大学理学院杨振华,问题,设想一个经理要从若干个应聘者中雇用一名秘书.按照某种标准,可用1,2,N分别表示这些应聘者的优劣的绝对名次.1表示最优者,N表示最劣者.假设这些应聘者是逐个到来接受经理面试的，并且应聘者到来的优劣次序是随机的.经理每次会见一名应聘者，面试后决定录用与否.如果录用到当时面试的应聘者，则停止下面的会见，否则面试下一位.,问题,我们还假定,每个当时不被录用的应聘者是不能事后再招回录用的,在经理每一次面试后,他只知道当时的应聘者与先前已面试者比较的相对名次,而不知道当时应聘者的绝对名次.现在要问经理要怎样决定他的录用策略,或者说经理在何时停止他的会见(录用当时的应聘者)是最优的.当然这里最优要有一个标准,通常采用下面两种标准:第一标准:使录用到最优应聘者的概率最大;第二标准:使录用的应聘者的绝对名次尽量的小.,录用策略,所谓录用策略,就是何时录用当时的应聘者.在面试某个应聘者时,经理只能知道两个变量:当时的应聘者是第几个?当时的应聘者在前面的所有应聘者中相对名次是多少?因此,录用策略应由这两个变量决定,即要判定这两个变量满足什么条件时予以录用.,第一标准下录用策略的研究,我们yi(i=1,2,N)用表示第k个应聘者的绝对名次.设经理录用的是第k个应聘者，为了要录用到最好的应聘者，显然应有,即有如下的录用准则：录用到的应聘者必须是已面试者中相对名次第一.,显然,仅有此准则是不够的.比如,面试第一人时,此人的相对名次是第一,但是此时录用到第一名的概率仅为1/N,此概率很小,不宜采用.,第一标准录用策略,在面试过程中,可能会遇到多个相对第一,越往后的第一越可靠.但是我们不可能无限制地往后等待,因为一旦第一名已经面试过而未录用,则再也无法录用到相对第一.因此,录用策略就是:确定一个数G，先面试G个应聘者,这G个人仅用来作为参考标准,在这G个人之后,一旦有比他们名次均高者就予以录用.录用策略用前面所说的两个变量可以描述为:相对名次第一,kG(G待定).,数学模型,在上面的录用策略下,显然不能肯定录用到第一名.我们的目的是使录用到第一名的概率最大.即:,计算机模拟求解,下面用计算机模拟的方法来确定G的值，使得此时录用到第一名的概率最大.对于固定的N，首先给出1到N的随机排列作为个应聘者的绝对名次.下面的程序给出了这一随机排列的一个构造方法：u=TableRandom,i,1,n;uu=Sortu;y=TablePositionu,uui1,1,i,1,n;,Matemataca(ms1),算法,step2,若y=1，则录用失败，否则转下一步；,然后即可对给定的G模拟出录用到第一名的概率，算法如下：,step1,取前G个数作为参考数，令,按上述算法模拟多次,记录成功的次数,则成功的概率为近似地等于成功次数除以总次数.,step3,从第G+1个数开始，一但有某个应聘者的绝对名次yiP(G),在G比较大时P(G+1)4,因此,若l42,则第4个应聘者应被录用.,录用策略,类似地，存在数b1,b2,b3，使得第k(k=1,2,3)个应聘者的录用标准为：lkbk.显然b1=0，即第一个应聘者绝对不会被录用.,录用策略：给出数组b1,b2,bN.若前k-1个应聘者都未被录用，则第k个应聘者的录用标准为lkbk.,策略数组,策略数组b1,b2,bN显然以下性质:(1)b1=0,bN=N;(2)bkk/2(kbk,k=k+1;s=s+yk,u,1,m;Ns/m,Matemataca(ms4),求解结果,对前面的三个策略数组,我们模拟得到的一个结果(录取者的目次)为0,0,0,2,5:2.40100,0,1,2,5:2.10390,1,1,2,5:2.0483因此,我们的最优策略数组为0,1,1,2,5,在这一策略下录取者的绝对名次的期望值约为2.0483,理论求解,上面的计算机模拟方法对于N比较的的情况不太适用,因为N比较大时,可能的策略数组相当多.下面我们用理论的方法求解.设vk表示前k-1个应聘者未被录用,从第k个应聘者才开始录用时录用到的应聘者的绝对名次的期望值.显然有vN=(N+1)/2.,理论求解,fk(l)为第k个应聘者在前k个应聘者中相对名次为l时，他的绝对名次的期望值.因此,若fk(l)vk+1,则这个应聘者应被录用.令bk=maxl|fk(l)vk+1,则lbk时,第k个应聘者予以录用.只要求出fk(l)和vk的表达式,即可求出bk.,fk(l)的推导,从第k+1个应聘者开始，任何一个应聘者的绝对名次的值小于l的概率为l/(k+1)，因此在前个应聘者中相对名次为l时，他在N个应聘者中的绝对名次的期望值为,vk的推导,在第k个应聘者的相对名次lbk时,该应聘者被录用,否则应从第k+1个应聘者开始录用.,bk的表达式,根据vk+1的结果,即可求得bk.由于vN=(N+1)/2,得到bN-1=N/2.,。,N=5的结果,b5=5,v5=3b4=3*5/6=2,b3=2.4*4/6=1,b2=2.1*3/6=1,b1=2.05*2/6=0,最优策略数组为0,1,1,2,5,录取者的绝对名次的期望值为2.05.,N=100的结果,最优策略数组:0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8,8,9,9,10,11,11,12,14,15,17,19,21,25,30,37,50,100录取者的绝对名次的期望值为3.60323,Matemataca(ms5),计算机模拟方法综述,计算机模拟的方法可以求