2020届湖南省郴州市湘南中学高三上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2020届湖南省郴州市湘南中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1集合，则是（ ）A，BCD【答案】D【解析】化简集合 ，进而求交集即可.【详解】，故选：D【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二次函数的值域及一次函数的定义域，属于基础题.2若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】利用诱导公式得到和，计算得到答案.【详解】；故选：【点睛】本题考查了诱导公式的应用，属于简单题.3函数f(x)=的零点所在的一个区间是A（-2，-1）B（-1,0）C（0,1）D（1,2）【答案】B【解析】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=10,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B。【考点】本试题主要考查了函数零点的问题的运用。点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间。4设，则 （ ）ABCD【答案】D【解析】根据指、对数的单调性直接将的范围求出来，然后再比较大小.【详解】因为，所以；所以，故选：D.【点睛】指对数比较大小，常用的方法是：中间值分析法（与比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.5要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）A向左平移1个单位B向右平移1个单位C向左平移 个单位D向右平移个单位【答案】C【解析】ycos2x向左平移个单位得ycos2(x)cos(2x1)，选C项6命题“”的否定是（ ）ABC不存在D【答案】B【解析】先将命题“”的任意与存在互换，再将结论否定即可解.【详解】的否定为，的否定为，命题“”的否定是.故选：B.【点睛】考查全称命题的否定，对全称命题的否定除了要对结论进行否定外，还要对全称量词作相应变化.7函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）A0BC1D【答案】B【解析】试题分析：，令，则倾斜角为.【考点】导数的几何意义.8已知函数，若，则 （ ）A3B4C5D25【答案】A【解析】,.故选A.9设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为 ( )ABCD【答案】A【解析】本题首先可以根据函数是奇函数将转化为，再根据“函数在上为单调递减函数且”判断出函数的函数值的正负，最后即可得出结果。【详解】因为函数是奇函数，所以，即，因为奇函数在上为单调递减函数，且，所以奇函数在上为单调递减函数，且，所以奇函数在上是正值，在上是负值，在上是正值，上是负值，所以在上满足大于等于0，故选A。【点睛】本题主要考察函数的单调性，对奇函数的相关性质的理解是解决本题的关键，奇函数有，考查推理能力，考查化归思想，是中档题。10已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）A0B0或C或D0或【答案】D【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值.详解：因为，所以周期为2，作图如下：由图知，直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线 点A(1,1)或与相切，即或选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等11奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示，方程f(g(x)0、g(f(x)0的实根个数分别为a、b，则ab等于()A14B10C7D3【答案】B【解析】试题分析：，即当时，而此时时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，所以共个，即，而当时，即，而时，与轴有个交点，当时，有0个交点，所以，所以【考点】函数的图像【方法点睛】此题考查根据图像解决复合函数实根个数的问题，属于中档习题，如果会看这两个图像，此题本身不难，对于方程，先看有和三个值使，对于复合函数来说，就是，和对应几个的值，所以该看的图像了，时，函数与轴的交点有个，当时，与图像由个交点，当时，与图像由个交点，所以共个，对于是先看函数，然后再看函数12已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】分析：作出函数的图象，利用消元法转化为关于的函数，构造函数求得函数的导数，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得到结论.详解：作出函数的图象，如图所示，若，且，则当时，得，即，则满足，则，即，则，设，则，当，解得，当，解得，当时，函数取得最小值，当时，；当时，所以，即的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了分段函数的应用，构造新函数，求解新函数的导数，利用导数研究新函数的单调性和最值是解答本题的关键，着重考查了转化与化归的数学思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题13，则_.【答案】1【解析】利用赋值法即可得到结果.【详解】，故答案为：.【点睛】本题考查求函数值，考查赋值法，考查对应法则的理解，属于基础题.14曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】求导，可得斜率，进而得出切线的点斜式方程.【详解】由，得，则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；写出切线的点斜式方程；化简整理.15已知， 是夹角为的两个单位向量，2，k，若 0，则实数k的值为_【答案】【解析】解：因为为两个夹角为的单位向量，所以即为16已知函数，则不等式的解集是_.【答案】【解析】当当时，利用导数知识可知在上单调递增，分类讨论解不等式即可.【详解】当时，在上单调递增，由不等式可得： 或解得：或，故答案为：【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，考查利用导数判断函数的单调性，考查学生的计算能力，比较基础三、解答题17在中，三个内角，所对的边分别为，且，成等差数列，成等比数列，求证：为等边三角形【答案】见解析【解析】通过A、B、C成等差数列，且a、b、c成等比数列，得和，结合正弦定理以及余弦定理即可证明ABC为等边三角形；【详解】由，成等差数列，得 因为，为的内角，所以 由，得 ，由，成等比数列，得 由余弦定理及，可得将代入，可得，即，因此，从而有 由，得，所以为等边三角形【点睛】本题考查判断三角形的形状，也考查了正弦定理以及余弦定理和等差，等比数列的基本知识的应用，属于中档题.18在锐角三角形中，内角的对边分别为且（1）求角的大小；（2）若，求 的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理及，便可求出，得到的大小；（2）利用（1）中所求的大小，结合余弦定理求出的值，最后再用三角形面积公式求出值.【详解】（1）由及正弦定理，得.因为为锐角，所以.（2）由余弦定理，得，又，所以，所以.【考点】正余弦定理的综合应用及面积公式.19已知（1）若的解集为，求的值；（2）若对任意的，恒成立，求实数的范围【答案】（1）（2）【解析】(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)，即k.(2)x0，f(x)，当且仅当x时取等号由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.20函数 （1）当 时，求函数在 上的值域；（2）是否存在实数 ，使函数在递减，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1） （2）不存在【解析】试题分析：（1）函数为单调递减函数,根据单调性求值域（2）由复合函数单调性可得,根据函数最值可得,解得,根据函数定义域知无意义 ,所以不存在.试题解析：解：（1）由题意：，令，所以，所以函数的值域为； （2）令，则在上恒正，在上单调递减，即 又函数在递减，在上单调递减，即 ， 又函数在的最大值为1，即， 与矛盾，不存在.21已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；（3）当，且时，证明：.【答案】（1）0；（2）的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为；（3）证明见解析.【解析】（1）求导得到，代入计算得到答案.（2）求导得到，的变化情况表，得到单调区间和极值.（3）证明等价于，设，求导得到函数单调递增，计算最小值得到证明.【详解】（1）函数的定义域为，所以.又曲线在点处的切线与直线平行，所以，即.（2）令，得，当变化时，的变化情况如下表：+0-极大值由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是，所以在处取得极大值，的极大值为.（3）当时，.由于，要证，只需证明，令，则.因为，所以，故在上单调递增，当时，即成立故当时，有，即.【点睛】本题考查了函数的切线，单调区间，极值，证明恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.22某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件，现在把这些工人分成两组同时工作（分组后人数不再进行调整），每组加工同一种型号的零件.设加工型零件的工人数为名.（1）设完成、型零件加工所需的时间分别为、小时，写出与的解析式；（2）当取何值时，完成全部生产任务的时间最短？【答案】（1）（，且）；（，且）；（2）为了在最短时间内完成生产任务，应取32.【解析】（1）分别计算得到和，再计算定义域得到答案.（2）根据和的大小关系得到，分别计算函数的最小值得到答案.【详解】（1）生产150件产品，需加工型零件450个，则完成型零件加工所