湖南长沙长郡中学高三数学第六次月考理

湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合，则等于 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A,B，然后求解其交集即可.【详解】求解函数的值域可得，求解指数不等式可得，由交集的定义可得：，表示为区间形式即.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.若为虚数单位，复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 故的虚部为故选D3.设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若，则，）A. 7539B. 6038C. 7028D. 6587【答案】D【解析】分析：根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算.详解：，则 则，阴影部分的面积为：0.6587.方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587.故选：D.点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0.4.九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）A. 升B. 升C. 升D. 升【答案】B【解析】分析：设自上而下各节的容积分别为公差为，由上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出 由此能求出自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和详解：设自上而下各节的容积分别为，公差为，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升， ，解得，自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为： （升）故选B点睛：本题考查等比数列中三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题5.已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）A. 16B. C. D. 8【答案】C【解析】由该三视图可知：该几何体是一个正方体，切去四个角所得的正四面体，其外接球等同于该正方体的外接球，设正方体的棱长为，则有，故该正四面体的体积为，选C.6.某城市有连接8个小区、和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他经过市中心的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此人从小区A前往H的所有最短路径共3条记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共2个由此能求出经过市中心的概率【详解】此人从小区A前往H的所有最短路径为：AGOH，AEOH，AEDH，共3条记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：AGOH，AEOH,共2条，即他经过市中心的概率为，故选：B【点睛】本题考查古典概型的概率，注意列举法的灵活运用，属于基础题7.已知的内角的对边分别为，若，则面积的最大值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知，由余弦定理，故，有，故.故选：B8.执行如图所示的程序框图，输出的值等于（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可知即得S=9.已知非空集合满足以下两个条件：（），；（）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，分别讨论集合A、B中元素的个数，列举所有可能，即可得到结果。【详解】根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素1、当集合A只有一个元素时，集合B中有5个元素，且，此时仅有一种结果，；2、当集合A有两个元素时，集合B中有4个元素，且，此时集合A中必有一个元素为4，集合B中必有一个元素为2，故有如下可能结果：（1），；（2），；（3），；（4），。共计4种可能。3、可以推测集合A中不可能有3个元素；4、当集合A中的4个元素时，集合B中的2个元素，此情况与2情况相同，只需A、B互换即可。共计4种可能。5、当集合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1情况相同，只需A、B互换即可。共1种可能。综上所述，有序集合对（A，B）的个数为10。答案选A。【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键。10.设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由求出的表达式，先比较的大小和范围，再求出的范围，根据它们不同的范围，得出它们的大小。详解：由有，因为，所以，而，所以，选C.点睛：本题主要考查比较实数大小，属于中档题。比较大小通常采用的方法有：（1）同底的指数或对数采用单调性比较；（2）不同底的指数或对数采用中间量进行比较，中间量通常有0,1，等。11.在三棱锥中，平面，是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根据题意画出图形，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积详解：三棱锥 设直线 与平面所成角为 ，如图所示；则 由题意且的最大值是，解得 即的最小值为的最小值是，即点到的距离为， 取的外接圆圆心为，作 ， 解得 ；为的中点， 由勾股定理得 三棱锥的外接球的表面积是 故选B.点睛：本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，是中档题12.已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令，可得，可设，解得，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出【详解】令，则，可设，可得：时，函数取得极大值，时，函数取得极小值，时，不等式的解集中恰有两个整数，故的取值范围是，故选C【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值及其图象性质、方程与不等式的解法、数形结合思想方法、构造方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知平面向量，满足，且，则_【答案】【解析】【分析】由已知可求，然后结合向量的数量积的性质|，代入即可求解【详解】，则，故答案为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题14.已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为1的正三角形，那么_【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性求出，根据是边长为1的正三角形求出和，可得函数的解析式，从而求得的值【详解】由奇函数的导函数的部分图象可知，是最高点，且是边长为1的正三角形，故，那么，故答案为【点睛】本题主要考查由函数部分图象求解析式，函数的奇偶性，正三角形的性质，属于基础题15.已知实数满足约束条件：，若只在点处取得最小值，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，然后对进行分类，当时显然满足题意，当时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线的斜率的大小得到的范围【详解】由实数x，y满足约束条件：作可行域如图，联立，解得当时，目标函数化为，由图可知，可行解使取得最大值，符合题意；当时，由，得，此直线斜率大于0，当轴上截距最大时最大，可行解为使目标函数的最优解，符合题意；当时，由，得，此直线斜率为负值，要使可行解为使目标函数取得最大值的唯一的最优解，则，即综上，实数的取值范围是，故答案为【点睛】本题考查线性规划问题，考查了分类讨论的数学思想方法和数形结合的解题思想方法，解答的关键是化目标函数为直线方程斜截式，由直线在轴上的截距分析的取值情况，是中档题16.已知是抛物线的焦点，点在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则面积的最小值是_【答案】【解析】设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=4x，可得y2-4ty-4m=0，根据韦达定理有y1y2=-4m，x1x2+y1y2=-4，即 ，所以直线AB恒过且y1y2=-8 当 时，面积的最小值是故答案为三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设数列的前项和为，且，在正项等比数列中， （1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据数列通项与前n项和的关系可求数列的通项，根据可求数列公比，进而求正项等比数列的通项公式。（2）数列的前n项和可用错位相消法求解。【详解】（1）当时，当时，=，所以。所以，于是，解得或（舍）所以=。（2）由以上结论可得，所以其前n项和= = -得，=所以=。【点睛】错位相消法是求数列较常用的一种方法，它适用的数列必须是等差数列与等比数列积形成的复合数列，过程如下：（1）列出前n项和；（2）在前n项和式子的两端同乘以公比，（3）二式相减，并利用公式计算，整理得到结果。18.如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且与均为正三角形，为的重心.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证线面平行，则需在平面中找一线与之平行即可，所以连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，故从而的证明（2）求解二面角时则通过建立坐标系求两面的法向量，再利用向量的数量积公式求解即可试题解析： 解：(1)连接并延长交于，连接.由梯形且，知，又为的重心，故.又平面平面平面.(2)平面平面与均为正三角形，延长交的中点，连接平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，可得，设平面的一个法向量为，由，令，得，同理可得平面的一个法向量，所以平面与平面所成锐二面角的正切值为.点睛：证线面平行首先要明确和熟悉其判定定理，在面内找一线与一直线平行即可，求面面角时则通常经过建立直角坐标系，求出两面的法向量，再通过向量夹角公式计算即可19.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数（1）求X的分布列；（2）若要求，确定n的最小值；（3）以购买易损零件所需费用期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【答案】（1）见解析.（2）见解析（3）见解析.【解析】试题分析：（）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（）由X的分布列求出P（X18）=，P（X19）=由此能确定满足P（Xn）05中n的最小值（）由X的分布列得P（X19）=求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适试题解析：（）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为02，04，02，02，从而；所以的分布列为16171819202122（）由（）知，故的最小值为19（）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）当时，当时，可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选考点：离散型随机变量及其分布列20.如图，在平面直角坐标系中，已知点，过直线左侧的动点作于点的角平分线交轴于点，且，记动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点作直线交曲线于两点，点在上，且轴，试问：直线是否恒过定点？请说明理由【答案】（1）；（2）是.【解析】【分析】（1）设，由题意可得：，可得=，即，化简整理即可得出；（2）由题意可得：直线的斜率不为0，可设直线的方程为：，设，与椭圆方程联立化为：，直线的斜率，方程为：，结合根与系数的关系化简整理即可得出【详解】（1）设P（x，y），由题意可得：|MF|=|PF|，=即=，化为：+y2=1（2）由题意可得：直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为：设，联立，化为：，成立，直线AC的斜率，方程为：即：又=y=，即y=直线恒过定点【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21.设函数）. （1）若直线和函数的图象相切，求的值；（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：（1）利用导数的意义，设切点，得斜率，列方程求即可；（2）由（1）得当，；当时，取绝对值构造函数即可.试题解析：（1）设切点的坐标为，由，得，所以切线方程为，即，由已知和为同一条直线，所以，令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，当且仅当时等号成立，所以.（2）当时，有（1）结合函数的图象知：存在，使得对于任意，都有，则不等式等价，即，设 ，由得，由得，若，因为，所以在上单调递减，因为，所以任意，与题意不符，若，所以在上单调递增，因为，所以对任意符合题意，此时取，可得对任意，都有.当时，有（1）结合函数的图象知，所以对任意都成立，所以等价于，设，则，由得得，所以在上单调递减，注意到，所以对任意，不符合题设，总数所述，的取值范围为.点睛：不等式的恒成立问题，常用的方法